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2019.空间向量及其加减与数乘运算课件.ppt_图文

复习回顾： 平面向量

这是什么?

向量

1.定义： 既有大小又有方向的量; 几何表示法:用有向线段表示; 字母表示法：用小写字母表示,如 a ； 或者用表示向量的有向线段的起点和终点 字母表示，如 AB . 相等向量：长度相等且方向相同的向量.
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0)

(k<0)

向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律：

a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) k (a ? b) ? k a＋k b

加法结合律：

数乘分配律：

推广: （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

问题 1:

C
向上

B
正北

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=

O

正东

A
F2

?

问题 2:

已知F1=10N, F3

F2=15N，F3=15N

F1

这三个力两两之间 的夹角都为900, 它们的合力的大小 为多少N?

这需要进一步来认识空间中的向量

空间向量的有关概念： 空间向量：在空间中,具有大小和方向的量.
常用 a 、 b、 c ……等小写字母来表示.
1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a .

2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.

B
起点

终点

c a b

A

3.(1)我们规定，长度为0的向量叫做零向量， 记为 0 ；模为1的向量称为单位向量. (2)与向量 a 长度相等而方向相反的向量， 称为 a 的相反向量，记为 ? a ； (3)方向相同且模相等的向量称为相等向量.

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka, k为正数,负数,零

空间向量

概念 平面中，具有大小和方向的量 空间中，具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a＋k b

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a
ka

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

(k>0)
空间向量的数乘

ka

(k<0)

思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B

b

O

A

思考：它们确定的平面是否唯一？

a
结论：空间任意两个向量都是共面的，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示； 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们；

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗？ 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a＋k b

k (a ? b) ? k a＋k b

向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B a O

C A c

b b

+

c

C

B

c

(平面向量)

空间中
O

向量加法结合律：
O

( a + b )+ c = a +( b + c )
a
A

a b
C
A +

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

推广:

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量.

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

F2

F1=10N F2=15N F3 F1 F3=15N

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体：平行四边形ABCD平移向量

a

到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做平行六面体ABCD-A1B1C1D1

例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
解： (1) AB ? BC ＝AC;
A D B A1 D1 B1 C1

M

G
C

(2) AB ? AD ? AA 1 ? AC ? AA 1 ? AC ? CC1 ? AC 1

始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

(5)用AB， AD ， AA1表示AC BD1及DB1. 1 ，
D1 A1
B1

C

D A
B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka, k为正数,负数,零 数乘:ka, k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a＋k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a＋k b

定义: 数乘空间向量的运算法则
与平面向量一样 , 实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? a 仍然是一个向量. ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

例如:
3a

a

?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律

即：? (a ? b) ? ? a ? ? b （? ? ?） a ? ?a ? ?a

? (? a) ? (?? )a
其中?、?是实数.
类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念.（你认为应该怎样规定?）

定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)

思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a ? ? b , 那 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?

向量共线定理
类似于平面,对于空间任意两个 向量 a , b ( b ? 0 ),

b c

a // b ? 存在唯一的 ? ? R , a ? ? b .

由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

a

A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

1 OA ? OB 中点公式：若P为AB中点, 则 OP ? 2
B

?

?

P
A

O

共面向量定义
平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

b c a

d

注意：空间任意两个向量是共面的，但空间 任意三个向量 既可能共面，也可能不共面

? ? a e2 ? e1

那么什么情况下空间三个向量共面呢？ ? ? 由平面向量基本定理知，如果 e1，e 2
1 1 2

是平面内的两个不共线的向量，那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ，有且 ? ? ?2 使 a ? ? e 只有一对实数 ?1 ， ?? e
2

面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则 有 p ? x? ? yb

? 如果空间向量 p 与两不共线向量 a ， b 共

? 反过来，对空间任意两个不共线的向量 a ， b ，如 ? 果 p ? x? ? yb ，那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系？

b

C

p

P

A aB

xa, yb分别与a， b共线，

? xa, yb都在a， b确定的平面内

并且此平行四边形在a， b确定的平面内，

? p ? xa ? yb在a， b确定的平面内即 , p与a， b共面

? 共面向量定理：如果两个向量 a ， b 不共线，

? 则向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是
存在唯一的实数对x,y使

p ? xa ? yb

b

C

p

P

A a B

空间四点P、A、B、C共面
? 存在唯一实数对（x , y） , 使得AP ? x AB ? y AC

? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中，x ? y ? z ? 1)

C'
b
C

p

P

A a B

O

例1、给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； （2）若空间向量

a、 b 满足| a |?| b |则 a ? b ；

（3）在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中，必有AC ? AC 1 1 ；

、 n、 p 满足m ? n, n ? p，则 m ? p ； （4）若空间向量 m
（5）空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是（ A.1 B.2 C.3 C ） D.4

例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A D A1

D1 B1

C1

C B

例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值.
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值. (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2 AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1

在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD 边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2

D

G B M C

练习2 在立方体AC ,中,点E是面A ’ C’ 的中心,求下列各式 中的x,y.
A E B C D

(1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ' ) (2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D
C

B

例4:
1.下列命题中正确的有：B
(1) p ? xa ? yb　 ? p与 a 、 b 共面 ;
(2) p 与 a 、 b 共面 ? p ? xa ? yb　 ；
(3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面；

(4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ；

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2MA －MB 2.对于空间中的三个向量 MA 、MB 、

它们一定是： A

A.共面向量
C.不共面向量

B.共线向量

D.既不共线又不共面向量

3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM ? xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 2 6 的值为：D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？

2 1 2 (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

(2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ；

例5. 如图，已知平行四边形ABCD，过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD，在 四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使 O OE OF OG OH

求证：

OA

?

OB

?

OC

?

OD

? k,

D
B H F

C
G

A ⑴四点E、F、G、H共面；

⑵平面EG//平面AC.
E

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理
a / /b (b ? 0)

? a, b, p ? a ? ?b
共面

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB
OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC
OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)

运用 判断三点共线，或两 判断四点共面，或直线 直线平行 平行于平面

作业
如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB ? a , AC ? b ,

AD ? c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心,
试用 a 、 b 、 c 表示下列向量: ⑴ DM ⑵ AG
A

D B M C G


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