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高等光学


3-1 根据折射定律 n1 sin θ1 = n2 sin θ 2 得

θ 2 =17.1?

反射波电场强度垂直于入射面和平行于入射面的分量与入射波的振幅比为:

rs =

sin(θ1 ? θ 2 ) sin(θ1 + θ 2 )

rp =

tan(θ1 ? θ 2 ) tan(θ1 + θ 2 )

相应的强度反射率

Rs = rs 2 =0.093

R p = rp 2 =0.045

主要错误:直接求的 rs、rp

3-4 (1)设两种介质的分界面为 z=0 平面,光波入射面 y=0 平面,入射角(反射角)和折 射角分别为 θ1 和 θ 2 。为方便讨论,将电场强度矢量 E 和磁场强度矢量 H 各分解成两个正交 分量。按照电磁场的边界关系,可得

n × E2 ?n × ( E1 + E1 ') = ? n H2 ?n × ( H1 + H1 ') =×
若分别以 x0、y0、z0 表示 3 个坐标轴方向单位矢量,则 n=z0,上述边界条件简化为
? ? ( E1x + E1′x ) y ′ ??? 0 ? ( E1 y + E1 y ) x0 = E2 x y0 ? E2 y x0 ? ? ? ′ ??? ′ ? ?( H1x + H1x ) y0 ? ( H1 y + H1 y ) x0 = H 2 x y0 ? H 2 y x0



? E1x + E1′x = E2 x ? E + E′ = E ? 1y 1y 2y ? ? H1x + H1′x = H 2 x ? ? H1 y + H1′y = H 2 y

考虑到平面光波电磁矢量振幅间的关系 H = ( ε 分量间的投影关系,可将上式简化为

? ) E ,并结合 s 分量和 p 分量与场的坐标

? ( E1 p ? E1′p ) cos θ1 = E2 p cos θ 2 ? E1s + E1′s = E2 s ? ? ?a1 ( E1s ? E1′s ) cos θ1 = a2 E2 s cos θ 2 ? a1 ( E1 p + E1′p ) = a2 E2 p ?
式中取参数 a1 = (

ε1

ε2 ) ?1 ) , a2 = ( ?2

解此可得振幅反射系数和振幅透射系数

E1′p E1 p

= rp =

a2 cos θ1 ? a1 cos θ 2 a2 cos θ1 + a1 cos θ 2

E2 s 2a1 cos θ1 = ts = E1s a1 cos θ1 + a2 cos θ 2

E2 p E1 p E2 p E1 p

= tp =

2a1 cos θ1 a1 cos θ 2 + a2 cos θ1 2a1 cos θ1 a1 cos θ 2 + a2 cos θ1

= tp =

对一般非磁性介质, ? = ?0 ,因而 a1 a2 = n1 n2 ,又因为平面波垂直入射, θ1 = θ 2 = 0° ,

rs =
所以

E1' s n1 ? n2 = = ?rp E 1s n1 + n2 2n1 n1 + n2 n 2 ? Ts = 2 t s ? ? n1 ? n2 2 ?T p = tp ? n1 ?

t= t= s p

(2)以 R 和 T 分别表示强度反射率和强度透射率
2 ? ? Rs = rs 2 ? ? ? R p = rp

Rw 和 Tw 分别表示光能流反射率和透射率,则

? Rws = Rs ? ? Rwp = R p
n2 cos θ 2 2 cos θ 2 ? = = T T ts ws s ? ? n1 cos θ1 cos θ1 ? n cos θ 2 2 cos θ 2 ?Twp = Tp = 2 tp ? n1 cos θ1 cos θ1 ?
光能流反射率与透射率满足能量守恒定律,即

? Rws + Tws = 1 ? ? Rwp + Twp = 1
综合上述式子可得 r + ( n1 n2 )t = 1
2 2

主要问题:1.没有注意到 rs=-rp

2.忽略了垂直入射的条件,即入射角为零 3.最终结果直接用 a1 = ε1 ? 和 a2 = ( ε 2 ? ) 来表示 1 2

3-8 由菲涅尔公式出发讨论透射波和反射波的相位关系

sin(θ1 ? θ 2 ) ? ?rs = sin(θ + θ ) 1 2 ? tan(θ1 ? θ 2 ) ? ?rp = tan(θ + θ ) ? 1 2 菲涅尔公式 ? 2n1 cos θ1 ?t = s ? n1 cos θ1 + n2 cos θ 2 ? 2n1 cos θ1 ?t = p ? n1 cos θ 2 + n2 cos θ1 ?
1.首先讨论透射波。由菲涅尔公式,不管 θ1 取何值,ts 和 tp 都为正值,表明其辐角为零, 即 E1 与 E2 总是同相位的,即光波通过界面时透射波相位不变。 2.讨论反射波。 θ1 = θ B (布儒斯特角)时,rp 的辐角会有一个突变。 (1)n1<n2(外反射) 这时 θ1 > θ 2 ,不发生全反射。 θ1 < θ B 时,rp>0, 辐角为零; θ1 > θ B 时, rp<0, 辐角为 π 。rs 的辐角始终是 π 。 (2)n1>n2(内反射) 这时 θ1 < θ 2 ,当 θ1 > θ c (全反射临界角)时发生全反射。

θ c = arcsin( n2 n ) > arctan( n2 n ) = θ B ,即在布儒斯特角处未发生全反射。当 θ1 经由 θ B 增
1 1

到 θ c 时,rp 和 rs 的符号变化恰与外反射情形相反。 θ1 > θ c 时情况较复杂。

?r ? n(1 + iK ) = ε 3-10 (1)= n ?r 的值可得 n ? =1.43(1+i0.147) 带入 ε
从而 n=1.43,K=0.147

? 的实部反映了光波在介质中的相位传播特性,虚部反映了衰减特性。因而求折 (2)n
射角时应利用实部来求。将其代入折射定律表达式可得折射角。 (3)垂直入射情况下,入射光波电场的振幅衰减到入射点的 1/e 时的距离称为穿透距 离。

~ E = E0 exp[i (k r ? ωt )] ~ = E0 exp[i (k h / cos θ ? ωt )] ~kh / cos θ ? ωt )] = E exp[i (n
0

= E0 exp[i (n(1 + iK )h / cos θ ? ωt )] = E0 exp(?nKh / cos θ ) exp[i (nh / cos θ ? ωt )]

E = e ?knKh / cosθ = e ?1 E0
h= 1 cos θ =0.33 ? m <10 ? m knK

主要问题:1.直接用负折射率代入折射公式 2.关于衰减系数 3. 直接用 z0 =

2

ω?σ

计算,如果是磁性介质,磁导率 ? 不等于空间磁导率

4.衰减距离计算的是沿着波矢 k 方向 3-16 根据切向边界平衡 n p sin θ1 = n0 sin θ3 得到 θ1 ≈63? 设光从空气进入棱镜的入射角为 θi ,折射角为 θt 可知 0?≤ θi ≤90? 结合 n空气 sin θi = n p sin θt 得到 0?≤ θt ≤25.8 ? 由几何关系知 θ1 + π

2

= α + π 2 + θt

所以 α = θ1 ? θt ∈ [37.2°, 63°]



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