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福建省福州八县(市)一中2014届高三上学期期中联考数学(理)试题


福建省福州八县(市)一中 2014 届高三上学期期中联考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题意要求的。 1. 已知全集 U ? ? ,2,3,4? ,集合 A ? ? ,2? , B ? ?2,3?,则 CU ( A ? B) ? ( 1 1 A. ? ,2,3? 1 B. ?3,4? C. ?3? ) D. )

?4?

2. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( A. ?x ? R, x ? 0 C. ?x ? R, x ? 0 3. 设函数 f ( x ) ? ? A. 0

B. ?x0 ? R, x0 ? 0 D. ?x0 ? R, x0 ? 0 ,则 f ? f ( ?1)? ? ( C. ? 1 ) D.

?3x ,x ? 0 ?log 3 x,x ? 0
B.

1

3

4. 已知函数 y ? lg(4 ? x) 的定义域为 A ,集合 B ? ?x | x ? a?,若 P : x ? A” 是 “ Q: x ? B” ”充分不必要条件,则实数 a 的取值范围是( “ A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 4
x

) D. a ? 4 )

5. 设 f (x) 为定义在 R 上的奇函数, x ? 0 时,f ( x) ? 2 ? 2 x ? b b 为常数)则 f (?1) = 当 ( , ( A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3

6. 为了得到函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象( )

? 个长度单位 4 ? C.向左平移 个长度单位 2
A.向左平移

? 个长度单位 4 ? D.向右平移 个长度单位 2
B.向右平移

7. 在 ?ABC 中,角 A,B, C 所对的边分别为 a, b, c .若 a ? ( A. )

2,c ? 4,B ? 45 0 ,则 sin A 等于

1 10
ln x

B.

10 10

C.

10 5
)

D.

3 10 10

8. 函数 y ? e

? x ? 1 的图像大致是(

·1·

9. 函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? b 的图象如图,则 f (x) 的解析式和

S ? f (0) ? f (1) ? f (2) ? ? f (2013 ) 的值分别为 (



1 sin 2?x ? 1,S ? 2013 2 1 1 B. f ( x) ? sin 2?x ? 1 S ? 2013 , 2 2 1 ? C. f ( x) ? sin x ? 1 S ? 2014 , 2 2 1 ? 1 D. f ( x) ? sin x ? 1 S ? 2014 , 2 2 2
A. f ( x) ? 10. 定义在 R 上的函数 y ? f (x) ,满足 f (4 ? x) ? f ( x) , ( x ? 2) f ?( x) ? 0 ,若 x1 ? x2 ,且

x1 ? x2 ? 4 ,则有(
A. f ( x1 ) ? f ( x2 )

) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.不确定 )

11.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? A. [ , ]

?

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( 4 2 1 C. (0, ] D. (0, 2] 2

?

12.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点.设顶点 P( x, y ) 的轨迹方 程是 y ? f ( x) ,则对函数 y ? f ( x) 有下列判断: ①函数 y ? f ( x) 是偶函数; ②对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ; ③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减; ④

?

2

0

f ( x)dx ?

? ?1
2

.

其中判断正确的序号是( C. ①②④

). D. ②③④

A. ①③

B. ①④

二、填空题:本大题共 4 题,每小题 4 分,共 16 分. 把答案填在答题卡的相应位置上。
·2·

13. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) ? __________. 14. 已知命题 p : m ? R ,且 m ? 1 ? 0 , 命题 q : ?x ? R, x ? mx ? 1 ? 0 恒成立, p ? q 为假命题且 若
2

1 2

p ? q 为真命题,则 m 的取值范围是__________________.
15. 已知 sin(? ?

?
3

) ? sin ? ? ?

4 3 2? ,则 cos( ? ? ) =________. 5 3

16.

? ? 是正实数,设 S? ? ? | f ( x ) ? sin[? ( x ? ? )]是偶函数?,若对每个实数 a ,S ? ? (a, a ? 1) 的

元素不超过 2 个,且有 a 使 S ? ? (a, a ? 1) 含 2 个元素,则 ? 的取值范围是_________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题 12 分)

A ? ?x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0?, B ? ?x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0?, C ? ?x | x 2 ? 3ax ? 2a 2 ? 0?,
(1)求 A ? B . (2)试求实数 a 的取值范围,使 C ? ( A ? B) .

18. (本小题 12 分) 函数 f ( x) ? 2 3 sin

?x
2

? cos

?x
2

? 3 cos?x , (? ? 0) 在一个周期内的图象如图所示,

A 为图象的最高点, B 、 C 为图象与 x 轴的交点,且 ?ABC 为正三角形.
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若将 f (x) 的图象向右平移 2 个单位得到函数 g (x) , 求 g (x) 的单调减区间.

·3·

19. (本小题 12 分) 函数 f ( x) ? 2ax ? x ? ln x , a 为常数.
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x) 的最大值; 2

(2)若函数 f (x) 在区间 [1, 2] 上为单调函数,求 a 的取值范围。

20. (本小题 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且满足 (2c ? a) ? cos B ? b cos A ? 0 . (1)若 b ? 4,a ? c ? 8 ,求 ?ABC 的面积; (2)求 3 sin A ? sin(C ?

?
6

) 的取值范围.

21.(本小题 12 分) 永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅游增加值,经过 市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x( x ? 10) 万元之间满足: y ? f ( x) ? ax 2 ?

101 x x ? b ln , 50 10
(参考数

a, b 为常数.当 x ? 10 万元, y ? 19.2 万元;当 x ? 30 万元时, y ? 50.5 万元.
据: ln 2 ? 0.7, ln 3 ? 1.1, ln 5 ? 1.6 ) (Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)求该景点改造升级后旅游利润 T (x) 的最大值.(利润=旅游增加值-投入)

22. (本小题 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R) ,其中 m ? 0 . 3

(1)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点( 3,f (3) )处的切线的方程; (2)求函数 f (x) 的单调区间与极值; (3)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1,x2 且 x1 ? x2 ,若对任意的 x ? ?x1 , x 2 ? ,

f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围.

·4·

2013---2014 学年度第一学期八县(市)一中期中联考

高中三 年 数学(理科)科答题卷
---------密???封????装????订???线---------考试日期:11 月 14 日
1~12 13~16 17

完卷时间:120 分钟
18 19 20

满分:150 分
21 22 总分

.

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)
.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

准考号:

13、 15、

14、 16、

姓名

座号

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 74 分) 17、 (本小题满分 12 分)

学校

班级

.

·5·

18、 (本小题满分 12 分)

19、 (本小题满分 12 分)

·6·

20、 (本小题满分 12 分)

21、 (本小题满分 12 分)

·7·

22、 (本小题满分 14 分)

·8·

一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分)

三、解答题 (共 74 分)

18.解:(1)由已知得: f ( x) ? 2 3 sin

?x
2

? cos

?x
2

? 3 cos?x ? 3 sin ?x ? 3 cos?x

= 2 3 sin(?x ?

?
3

) ?????????????2 分

?A 为图象的最高点, ?A 的纵坐标为 2 3
又?

?ABC 为正三角形,所以 | BC |? 4 ?????????????3 分
·9·

? ?

2? ? T ? 4 可得 T ? 8 即 ? 8 得 ? ? ?????????????5 分 ? 4 2 f ( x) ? 2 3 sin( x ? ) ???????????????????6 分 4 3

?

?

(2)由题意可得 g ( x) ? 2 3 sin ? 令

?? ? ? ?? ( x ? 2) ? ? ? 2 3 sin( x ? ), ???8 分 3? 4 6 ?4

3? ? 2k? , k ? z ,??????????????10 分 2 4 6 2 1 1 1 3 可得 ? 2k ? x ? ? ? 2k , k ? z 2 4 6 2 8 20 ? ? 8k ? x ? ? 8k , (k ? z ) ???????????????????11 分 3 3 ? 2k? ? x? ?
故函数 g (x) 的减区间为 ? ? 8k, ? 8k ? (k ? z ) 。???????????12 分 19. 解: (1)当 a ?

?

?

?

?8 ?3

20 3

? ?

1 2 时, f ( x) ? x ? x ? ln x ,则 f (x) 的定义域为: ?0,??? ??1 分 2 1 ? (2 x ? 1)( x ? 1) . ???????????????3 分 ? f ' ( x) ? 1 ? 2 x ? ? x x

?由f ' ( x) ? 0, 得0 ? x ? 1;由f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 ;

? f (x) 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1,??? 上是减函数. ??????????????5 分

? f (x) 的最大值为 f (1) ? 0 .???????????????????????6 分
(2)? f ( x) ? 2a ? 2 x ?
'

1 . x

若函数 f (x) 在区间 ?1,2? 上为单调函数, 则 f ( x) ? 0 ,或 f ( x) ? 0 在区间 ?1,2? 上恒成立.
' '

1 1 ? 0, 或2a ? 2 x ? ? 0 在区间 ?1,2? 上恒成立. x x 1 1 即 2a ? 2 x ? ,或2a ? 2 x ? 在区间 ?1,2? 上恒成立. ??????????9 分 x x 1 1 设 h( x ) ? 2 x ? ? h ' ( x) ? 2 ? 2 ? 0 x x 1 ? h( x) ? 2 x ? 在区间 ?1,2? 上为增函数. x 7 ? h( x) max ? h(2) ? ,h( x) min ? h(1) ? 1 ????????????11 分 2 ? 2a ? 2 x ?
·10·

7 ?只需 2a ? ,或2a ? 1 2 7 1 ? a ? , 或a ? . ??????????????????????12 分 4 2
20. 解:(1)由已知及正弦定理得:

(2 sin C ? sin A) ? cos B ? sin B cos A ? 0
即 2 sin C cos B ? sin(A ? B) ? 0 ,在 ?ABC 中, sin(A ? B) ? sin C

? sin C (2 cos B ? 1) ? 0 ??????????????????????2 分
? C ? ?0, ? ?, sin C ? 0 ,

? 2 cos B ? 1 ? 0 ,又? B 为三角形的内角.
?B ?
2

?

3
2

???????????????????????????4 分
2

由 b ? a ? c ? 2ac cos
2 2

?
3

? (a ? c) 2 ? 3ac

即 4 ? 8 ? 3ac 得 ac ? 16 ?????????????????????6 分 所以 ?ABC 的面积 S ? (2) 3 sin A ? sin(C ?

?

1 ac sin B ? 4 3 . ??????????????7 分 2

) ? 3 sin A ? sin( ? A) 6 2

?

= 3 sin A ? cos A ? 2 sin(A ? 又 A ? ? 0, ? ,? A ? 则 3 sin A ? sin(C ? 即 3 sin A ? sin(C ?

?

6

) ??????????????????9 分

? ?

2? ? 3 ?

?

? ? 5? ? ? ? , ? , ????????????????10 分 6 ?6 6 ?

?
?
6

) ? 2 sin(A ?

?
6

) ? ?1,2?

6

) 的取值范围 ?1,2? .??????????????12 分

101 ? 2 ?a ? 10 ? 50 ? 10 ? b ln 1 ? 19 .2 ? 21. 解:(Ⅰ)由条件可得 ? ?a ? 30 2 ? 101 ? 30 ? b ln 3 ? 50 .5 ? 50 ?
解得 a ? ?

1 , b ? 1 ?????????????????????4 分 100

·11·

则 f ( x) ? ?

x 2 101 x ? x ? ln ( x ? 10) 100 50 10

(定义域没写扣 1 分)???6 分

(Ⅱ)由 T ( x) ? f ( x) ? x ? ?

x 2 51 x ? x ? ln ( x ? 10) ?????????8 分 100 50 10

则 T ?( x) ?

( x ? 1)( x ? 50) ? x 51 1 ? ? ?? ?????????????9 分 50 50 x 50 x

令 T ?( x) ? 0, 则x ? 1 (舍)或 x ? 50 当 x ? (10, 50) 时, T ?( x) ? 0 ,因此 T (x) 在(10,50)上是增函数; 当 (50,??) 时, T ?( x) ? 0 ,因此 T (x) 在(50,+∞)上是减函数,

?当x ? 50时 , T (x) 取最大值.???????????????????11 分
即该景点改造升级后旅游利润 T ( x) 的最大值为 T (50) ? 24.4 万元。 ??12 分 22. 解:(1)当 m ? 2 时, f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

? f ' ( x) = ? x 2 ? 2 x ? 3 ,??????????????????????1 分
故 k ? f (3) ? 0 ,
'

又? f (3) ? 9 所以曲线 y ? f (x) 在点(3, f (3) )处的切线方程为: y ? 9 .??????4 分 (2)? f ( x) ? ? x ? 2 x ? m ? 1,
' 2 2

令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m , 因为 m ? 0 ,所以 1 ? m ? 1 ? m ,??5 分
'

当 x 变化时, f ( x)、f ( x) 的变化情况如下表:
'

? f (x) 在 ( -∞ , 1 ? m ), ( 1 ? m , +∞) 内 是 减 函 数 , 在 (1 ? m,1 ? m) 内 是 增 函
数...................................................................7 分

·12·

2 1 ?函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) ? ? m 3 ? m 2 ? , 3 3
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) ? (3)由题设可得 f ( x) ? x(?

2 3 1 m ? m 2 ? .??9 分 3 3

1 2 1 x ? x ? m 2 ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) , 3 3

1 ?方程 ? x 2 ? x ? m 2 ? 1 ? 0 有两个相异的实根 x1 , x 2 ,????????10 分 3 4 故 x1 ? x 2 ? 3 ,且 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 3 1 1 解得: m ? ? (舍去)或 m ? , 2 2 3 ? x1 ? x2 ,所以 2 x2 ? x1 ? x2 ? 3 ,? x2 ? ? 1 ,?????????11 分 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 ,则 f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 , 3 而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意。??????????????????????12 分 若 1 ? x1 ? x 2 ,对任意的 x ? ?x1 , x 2 ? ,有 x ? 0, x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0 , 1 则 f ( x) ? ? x( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0 , 3 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以 f (x) 在 ?x1 , x2 ? 上的最小值为 0, 1 2 于是对任意的 x ? ?x1 , x 2 ? , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 , 3 3 3 ?m? 解得 ? ; ???????????????????13 分 3 3 1 3 ) 。????????????????14 分 综上, m 的取值范围是 ( , 2 3

·13·


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