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江苏省如东县掘港高级中学2011-2012学年高一数学上学期期末检测试题(1) 苏教版

如东县掘港高级中学高一年级期末检测(一)

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.如果全集 U ? ? ,2,3,4,5,6,7,8?, A ? ?2,5,8? , B ? ?1,3,5, 7? ,那么( CU A ) ? B 等 1 于 . .

2.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {0,1, x ? 1} ,且 A ? B ,则实数 x 的值为 3.与不共面的四点距离都相等的平面共有______ 4.函数 f ( x) ? x ? 1 ? ln(2 ? x) 的定义域是
0.1 5

个. . . . .

5.设 a ? 4 , b ? log 1 3, c ? 0.5 ,则 a, b, c 的大小关系为
2

6.正方体的全面积为 a,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是 7.二次函数 f ( x) ? x ? 2 x 的值域为 ?? 1,3?, x ? ?? 1, m? ,则 m ?
2

8. 、已知直线 l , m, 平面? , ? , 且l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? // ? , 则l ? m; ②若 l ? m, 则? // ? ; ③若 ? ? ? , 则l // m; ④若 l // m, 则? ? ? . 其中正确的命题是 . .

9.已知幂函数 y ? (m2 ? 5m ? 5) x 2 m?1 在 (0,? ?) 上为减函数,则实数 m ?

10.已知函数 y ? log a ( x ? 3) ? 1 ( a ? 0, a ? 1 )的图像恒过定点 A ,若点 A 也在函数

f ( x) ? 3x ? b 的图像上,则 f (log3 2) =
11.将函数 f ( x) ? 2
x ?1



? 1 的图像向左平移一个单位得到图像 C1 ,再将 C1 向下平移一个单


位得到图像 C2 , 作出 C2 关于直线 y ? x 对称的图像 C3 , C3 的解析式 g ( x) ? 则

12.如图是一正方体的表面展开图,B、N、Q 都是所在棱的中点,则在原正方体中, ① AB 与 CD 相交;②MN∥PQ;③AB∥PE;④MN 与 CD 异面;⑤MN∥平面 PQC.其 中真命题的 序号是________. 13 . 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 同 时 满 足 以 下 三 个 条 件 : ① f ( x) ? f (? x) ? 0 ;

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1

② f ( x ? 2) ? f ( x) ;③当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 14.下列说法正确的是

x 3 ,则 f ( ) ? 2 2



. (只填正确说法序号)

①若集合 A ? y y ? x ? 1 , B ? y y ? x ? 1 ,则 A ? B ? {(0, ?1),(1,0)} ;
2

?

?

?

?

②函数 y ? log 1 x ? 2 x ? 3 的单调增区间是 ? ??,1? ; ③若函数 f ? x ? 在 (??,0] , ??) [0,
2
2

?

?

都是单调增函数,则 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上也是增函数;④ y ?

1 ? x2 是非奇非偶函数. 1? 3 ? x

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15、如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠

BCD=90°(1)求证:PC⊥BC

(2)求点 A 到平面 PBC 的距离.

16、已知函数 y ?

1 x

的定义域为集合 A ,集合 B ? {x | ax ? 1 ? 0, a ? N *} ,

集合 C ? {x |log 1 x ?} ,且 C ? ( A ? B) . (1)求 A ? C ; (2)求 a . 1
2

17.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且 x ? 0 时, f ( x) ? log 1 ( x ? 1) .
2

(1)求 f (0) , f (?1) ; (2)求函数 f ( x) 的表达式;
用心 爱心 专心 2

(3)若 f (a ?1) ? f (3 ? a) ? 0 ,求 a 的取值范围.

18、如图,已知在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD⊥DC,AB∥DC,DC=DD1=2AD=2AB=2.(1) 求证:DB⊥平面 B1BCC1;(2)设 E 是 DC 上一点,试确定 E 的位置,使得 D1E∥平面 A1BD,并 说明理由.

19. (本题满分 16 分)新年为刺激消费,如东文峰开展让利促销活动,规定:顾客购物总金 额不超过 1000 元,不享受任何折扣;若购物总金额超过 1000 元,则享受一定的折扣优惠, 折扣按下表累计计算. 可以享受折扣优惠的金额(购物金额超出 1000 元的部分)
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折扣率

3

不超过 500 元的部分 超过 500 元的部分

10% 20%

例如,某人购物 1300 元,则其享受折扣优惠的金额为(1300-1000)元,优惠额 300 ×10%=30,实际付款 1270 元. (Ⅰ)某顾客购买 1800 元的商品,他实际应付款多少元? (Ⅱ)设某人购物总金额为 x 元,实际应付款 y 元,求 y 关于 x 的函数解析式.

20.已知函数 f ( x) ? ax ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数). (1)若 a ? 1 ,求 f ( x) 的单调区间;
2

( 2 ) 若 a ? 0 , 设 f ( x) 在 区 间 [1, 2]的 最 小 值 为 g ( a ) , 求 g ( a ) 的 表 达 式 ; 3 ) 设 (

h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h( x ) 在区间 [1, 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

如东县掘港高级中学高一年级期末检测(一) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分。 1.{1,3,7} 8.①④ 2.0 9. ?1 3.7 10. 4.[1, 2)

8 9

3 1 11. log 2 x 12.①②④⑤, 13. ? 4

5. a ? c ? b

6.

?a

7. ?1,3? 14.③

二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。 15、(1)∵PD⊥平面 ABCD,BC? 平面 ABCD,∴PD⊥BC. 由∠BCD=90°知,BC⊥DC,
用心 爱心 专心 4

∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC, ∴BC⊥PC. ……………7 分 (2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h, ∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°, 1 1 ∵AB=2,BC=1,∴S△ABC= AB·BC=1,∵PD⊥平面 ABCD,PD=1,∴VP-ABC= S△ABC·PD 2 3 1 = ,∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥DC,∵PD=DC=1,∴PC= 2,∵PC⊥BC,BC=1, 3 1 2 1 1 ∴S△PBC= PC·BC= ,∵VA-PBC=VP-ABC,∴ S△PBC·h= ,∴h= 2, 2 2 3 3 ∴点 A 到平面 PBC 的距离为 2.……………14 分 16、解析:由题知 A ? (0, ??) , B ? (??, ) , C ? (0, ) ……………6 分(每个 2 分)

1 a

1 2

1 2 1 (2) A ? B ? (0, ) ……………………………………10 分 a 1 1 ∴ ……………………………………12 分 ? a 2 ∴ a ? 1 、2 ……………………………………14 分(求出一个 1 分)
(1) A ? C ? (0, ) ……………………………………8 分 17、解析: (1) f ? 0 ? ? 0 ……………………………………2 分

f (?1) ? f (1) ? ?1

……………………………………4 分
2

(2)令 x ? 0 ,则 ? x ? 0 f (? x) ? log 1 (? x ? 1) ? f ( x) ∴ x ? 0 时, f ( x) ? log 1 (? x ? 1) ……………………………8 分
2

?log 1 ( ? x ? 1),( x ? 0) ? 2 ∴ f ( x) ? ? ……………………………10 分 ?log 1 ( ? x ? 1),( x ? 0) ? 2
(3)∵ f ( x) ? log 1 ( x ?1) 在 [0, ??) 上为减函数,∴ f ( x) 在 (??,0) 上为增函数。
2

由于 f (a ? 1) ? f (3 ? a) ∴ a ? 1 ? 3 ? a ……………14 分∴ a ? 2

………16 分

18、(1)证明:∵AB∥DC,AD⊥DC,∴AB⊥AD,在 Rt△ABD 中,AB=AD=1,∴BD= 2, 易求 BC= 2,又∵CD=2,∴BD⊥BC. 又 BD⊥BB1,B1B∩BC=B, ∴BD⊥平面 B1BCC1. …………7 分 (2)DC 的中点即为 E 点.

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5

∵DE∥AB,DE=AB,∴四边形 ABED 是平行四边形. ∴AD 綊 BE.又 AD 綊 A1D1,∴BE 綊 A1D1, ∴四边形 A1D1EB 是平行四边形.∴D1E∥A1B. ∵D1E?平面 A1BD,A1B? 平面 A1BD. ∴D1E∥平面 A1BD. ……………14 分 19、 (Ⅰ)解:若某顾客购买 1800 元的商品实际付款为

1000 ? (1800 ? 1500 ) ? (1 ? 20%) ? 500 ? (1 ? 10%) ? 1690 元…………6 分
(Ⅱ)当 x ? 1000 时,应付款 1000 元…………8 分 当 1000<x≤1500 时,应付款 1000 ? ( x ? 1000 ) ? (1 ? 10%) ? 100 ? 0.9 x …………11 分 当 x ? 1500 时,应付款 1000 ? 500 ? (1 ? 10%) ? ( x ? 1500 ) ? (1 ? 20%) ? 250 ? 0.8x 14 分

?1000 , x ? 1000 ? ∴y= ?100 ? 0.9 x,1000 ? x ? 1500 …………16 分 ?250 ? 0.8 x, x ? 1500 ?

20、解析:(1) a ? 1

1 2 3 ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ? ? x ? x ? 1, x ? 0 ? f ( x) ? x 2 ? | x | ?1 ? ? 2 ?? 2分 1 2 3 ? x ? x ? 1, x ? 0 ? ? ?( x ? 2 ) ? 4 , x ? 0 ?
2

∴ f (x) 的单调增区间为( ,?? ),(-

1 ,0) 2 1 1 f (x) 的单调减区间为(- ?,? ),( 0, ) 2 2
2

1 2

……………………………………4 分

(2)由于 a ? 0 ,当 x ∈[1,2]时, f ( x) ? ax ? x ? 2a ? 1 ? a( x ? 1
0

1 2 1 ) ? 2a ? ?1 2a 4a

0?

1 ?1 2a

即a ?

1 2

f (x)在[1,2]为增函数
………………………………6 分

g (a) ? f (1) ? 3a ? 2
2 3
0

1?

1 ?2 2a

0

1 ?2 2a

1 1 1 1 ? a ? 时, g ( a ) ? f ( ) ? 2a ? ? 1 ………8 分 4 2 2a 4a 1 即 0 ? a ? 时 f (x)在[1,2]上是减函数 4
即 ………………………………………………… 10 分

g (a) ? f (2) ? 6a ? 3

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6

综上可得

1 ? ?6a ? 3,0 ? a ? 4 ? 1 1 1 ? g ( a ) ? ?2 a ? ? 1, ? a ? 4a 4 2 ? 1 ? ?3a ? 2, a ? 2 ?

……………………………11 分

(3) h( x) ? ax ?

2a ? 1 ? 1 在区间[1,2]上任取 x1 、 x2 ,且 x1 ? x2 x
2a ? 1 2a ? 1 ? 1) ? (ax1 ? ? 1) 2 x1 x
……13 分

则 h( x1 ) ? h( x2 ) ? (ax2 ?

? ( x2 ? x1 )( a ?

2a ? 1 x2 ? x1 )? [ax1 x2 ? (2a ? 1)] (*) x1 x2 x1 x2
∴ h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0

∵ h(x)在[1,2]上是增函数

∴(*)可转化为 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 对任意 x1 、 x2 ? [1,2]且x1 ? x2都成立 即 ax1 x2 ? 2a ? 11 2 3
0 0

当 a ? 0时, 上式显然成立 由 1 ? x1 x2 ? 4 得

a?0 a?0

x1 x2 ?

0

2a ? 1 a 2a ? 1 x1 x2 ? a
1 2

2a ? 1 ?4 a

2a ? 1 ? 1 解得 0 ? a ? 1 a
……15 分 (求对一步得 1 分)

得?

1 ?a?0 2

所以实数 a 的取值范围是 [? ,1]

………………………………16 分

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7


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