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【数学】1.5.3 定积分的概念 (用)


1.5.3 定积分的概念

定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步
曲”: 分割---近似代替----求和------取极限得到解决.

b?a 小矩形面积和S= n ? f (?i )?x ? ? f (?i ) ? n i ?1 i ?1
n n

如果当n?∞时,S n 无限接近某个常数, 这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b?a lim 即 )dx ? lim (?i ) f (x)dx,即 ? f (? i)??? xif 。 ? ? ?a?af f(x()xdx ? ?0n?? n i ?1 i ?1
b b
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y ? f ( x)

a

b

x

积分上限

f (? i )?x i ? ?a f ( x )dx ? I ? lim ? ? 0 i ?1
积分下限

b

n

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

定积分的定义: 即

?

b

a

b?a f ( x)dx ? lim ? ? f (?i ) n?? n i ?1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y?f(x) (f(x)?0) ,直线x?a、x?b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S? ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v?v(t),则此物体在时间区间 v ? v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s? ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

y

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S ? ? f ( x)dx ? ? x dx ? 0 0 3
v
2

f(x)=x2
S? 1 3
1

g gg

D S1 DS2 D S3 DS4

g

v(t ) = - t 2 + 2
D Sj

O
n

x

gD S

g

根据定积分的定义左边图形的面积为 1 1 5 2 S ? ? v(t )dt ? ? (?t ? 2)dt ? 0 0 3
t

O

1 1 2 3 j n - 1

n n n n

n

说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx ? ?a f (t)dt ??a
(3)

b

b

b

f(u)du。

(2)定义中区间的分法和 ?i 的取法是任意的.

?a f(x)dx ? - ?b f (x)dx
b

a

定积分的几何意义:
当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x?a、x?b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y?f ( x)
b

?a f (x)dx ? ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a?b 时,有? f (x)dx?0。

定积分的几何意义:
当f(x)?0时,由y?f (x)、x?a、x?b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y??f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S ? ? [? f ( x)]dx
a b

S ? ? [? f ( x)]dx
a

??
b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c
b

f (x

? ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx ?? a c

f (x)dx。

y?f ( x)

探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分 y?f ( x) 的面积? y

S ? S1 ? S2 ? ? f ( x)dx ? ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 ? y )dx ? ? fg ( x)

b

S2 ? ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x

a

A1

A2

A3

A4

b

?a f ( x )dx ? A1?

b

A2 ? A3? A4

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx
a
b b

b

性质2.

?

b

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx ? ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

性质3.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y?f ( x)

推论

O
c1 a

a
c2 c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

性质4

?a 1 ? dx ? ?a

b

b

dx ? b ? a .

性质5

如果在区间[a , b] 上 f ( x ) ? 0 ,
则? f ( x )dx ? 0 . (a ? b)
a b

以下为性质证明部分 16-----19

性质1 证
b

?a kf ( x )dx ? k ?a f ( x )dx
kf (? i )?xi ? ?a kf ( x )dx ? lim ? ? 0 i ?1
n

b

b

k ( 为常数).

? lim k ? f (? i )?xi ? k lim ? f (? i )?xi
? ?0
i ?1

n

n

? ? 0 i ?1

? k ?a f ( x )dx.

b

性质2 证

?a [ f ( x ) ? g( x )]dx ? ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx .
b

b

b

b

?a [ f ( x ) ? g( x )]dx n ? lim ? [ f (? i ) ? g (? i )]?xi ? ?0
? lim ? f (? i )?xi ? lim ? g(? i )?xi
? ? 0 i ?1
b
i ?1 n n

? ? 0 i ?1

? ?a f ( x )dx ? ?a g( x )dx.
(此性质可以推广到有限多个函数作和的情况)

b

性质3
b

假设a ? c ? b
c b

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?c
例 若 a ? b ? c,
c b

f ( x )dx .

补充:不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx


c

?a f ( x )dx ? ?a f ( x )dx ? ?b f ( x )dx
? ?a f ( x )dx ? ?c f ( x )dx.
c b

b

c

c

(定积分对于积分区间具有可加性)

性质4

?a 1 ? dx ? ?a
b a

b

b

dx ? b ? a .

性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) ? 0 ,
则? f ( x )dx ? 0 . (a ? b)



? f ( x ) ? 0, ? f (? i ) ? 0, ( i ? 1,2,?, n)

? ?xi ? 0,
n

?

? ? max{?x1 , ?x2 ,?, ?xn }
b

f (? i )?xi ? 0, ? i ?1

n

? lim ? f (? i )?xi ? ? f ( x )dx ? 0. ? ?0 a
i ?1

例1 利用定积分定义计算定积分

?0

1

x dx.

2

?

1

x3dx
0

i 解 将[0,1]n 等分,分点为 x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 1 小区间[ x i ?1 , x i ]的长度?x i ? ,(i ? 1,2,? , n ) n 取? i ? x i ,(i ? 1,2,?, n )

?
i ?1

n

f (? i )?xi

? ? ? i ?xi? ? xi2 ?xi ,
2 i ?1
i ?1

n

n

13+23+33+…….+n3=

1 2 2 n ( n ? 1) 4

1 n 2 1 n( n ? 1)(2n ? 1) ?i? 1 ? ?? ? ? ? 3 ?i ? 3 ? n n i ?1 n 6 i ?1 ? n ?
n

2

1? 1 ?? 1? ? ? 1 ? ?? 2 ? ? , ? ? 0 ? n ? ? 6? n ?? n?

? ?0 x dx ? lim ? ? 0 i ?1
2

1

n

? i ?x i
2

1? 1 ?? 1? 1 ? lim ? 1 ? ?? 2 ? ? ? . n? ? 6 ? n ?? n? 3

例2
将和式极限:
1? ? 2? ( n ? 1)? ? lim ?sin ? sin ? ? ? sin n? ? n ? n n n ? ?

表示成定积分.

原式

1? ? 2? ( n ? 1)? n? ? ? lim ?sin ? sin ? ? ? sin ? sin ? n? ? n ? n n n n?
n 1 i? ? ? 1 i ? ? lim ? sin ? ? lim ? ? sin ? ? n? ? n ? n? ? i ? 1 ? n? n n i ?1 n

1 ? ? ? sin xdx. ? 0

? i ?x i

例3、下列命题不正确的是(D)
A若f(x)是连续奇函数,则

?

a

f(x)dx=0

-a

B若f(x)是连续偶函数,则

?
b

a

f(x)dx=2

-a

C若f(x)在区间[a,b]连续且恒正,则

D若在区间[a,b]上连续且

?

?

b a

?

a

f(x)dx

0

f(x)dx>0

f(x)dx>0

,则f(x)在[a,b]上恒正

a

例4、已知 ?
A0

t
0

Xdx=2


C -1

?

0 -t

xdx=

(D )

B2

D-2

例5计算定积分
(1)

?
?

1

-1

4 ? x 2 dx
( 9 ? x 2 ? x 3 )dx

(2)

3

-3

例6已知 求

?

1

x3dx
0

1 = 4

?
1

2

15 x3dx= 4

?
?
2 1

2 X2dx=

1

7 3

?
0

2

3x3dx

?

4 2

6x2dx

(3x2-2x3)dx

1

例 7 比较积分值 ?0 e dx 和 ?0 xdx 的大小.
x

?2

?2



令 f ( x ) ? e x ? x , x ? [?2, 0]

? f ( x ) ? 0,

?
0

x ( e ??2 ? x )dx ? 0,

0

?

??2 e

0

x

dx ? ??2xdx, e dx ? ?0 xdx.
x
?2

于是

?0

?2

结 束



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