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高等光学


第二章习题:
2.2 Solved:
1.偏振方向:偏振方向与幅值有关,故从题目得: ( ? , ? ,1),表示 在坐标系里电场的振幅方向。 2.行进方向:行进方向与波矢 k 有关,代表电场的行进方向,故从传 播因子可得传播方向为(1,1,1) 。 3.振幅: 由于存在三个坐标分量, 所以总振幅应为他们三个的合振幅:
1 2 1 2

1 1 6 E = (? ) 2 + (? ) 2 + 12 = 2 2 2
分清楚时间圆频率,空间频率,空间圆频率的概念 4.频率:由题目可知,

f = 3 ×104

时间圆频率?空间圆频率?空间圆频率就是波数 k 5.波长:由空间频率的定义得:

λ=

1 fs

这里 k 代表总波数,是三个分量的合成,故得:

= λ

1 = fs

3 = 102 + 102 + 102 30


1

6.相位速度:相速度公式的推导可得:

常数 对于等相面,我们有: wt ? k r =
0 ,于是我们得出: 两边取全微分,有: w?dt ? k ?d r =


Vp =

dr w = dt k



这里的 w 代表时间圆频率,k 代表总波数。故由题目可得:

w 2π × 3 ×104 V= = = g k 2π × 3 ×10
2.5 Solved:

3 ×103

这题的题目应该出错了。如果不是出错的话,那么空间频率太大了, 导致 z 分量会很大, 计算会很麻烦。 因此, 应该将复振幅的公式改为:

3 × E ( x, y ) = exp ? i 2 10 π ( x + 1.5 y ) ? ? ?
这样才会比较好算,就是把题目中的 10 改为 10 才会比较好算。
13

3

题目变成这样的话,那么我们就可以用如下的解法。 由于单色平面波在空间内是有分布的,故在 xy 平面上的的复振幅只 是这个平面波在 xy 平面内的投影,这里我们需要确定的是 z 分量。 由波长为 500nm 这个条件可得单色波的空间频率为(注意题目给出 的单位 mm) :

1 3 ?1 fs = = 2 10 mm = × λ 500 ×10?6
而这个频率应该是三个分量的合值。所以根据题目,我们可得:

1

fs =

fx2 + f y2 + fz2

代入已知的值,可求得:

= fz

3 ×103 2

3 3 故得到了单色平面波的空间复振幅。 此时的传播方向为 (1, , ) , 2 2
空间频率为 2 × 10
3

3 ?1 mm ?1 ,空间圆频率为 4π × 10 mm 。

2.12 Solved:
这里的证明存在多种证法,只要思路对了,最后的结果一样,那么都 是对的,我们鼓励同学们用多种方法去证明这题,并了解其中的物理 意义,这里只给出一种常用的证明方法:

= w kv = k? p 从公式

c 出发,变形可得: n c n = k? w

两边对 w 取一阶导数(k 与 w 有关 ):

dn c c dk = ?k ? 2 + ? dw w w dw

c dw V p = ,得出: 利用 Vg = n dk 和
dn n c 1 = ? + ? dw w w Vg
整理公式,最后可得:

Vg =

c n + w? dn dw

2.13 Solved:
由于光波的群速度与 n,w,V p 都有关系,这里只要根据题目给出的 已知,选取合适的公式以简化计算就行了。题目不止一种解法,而且 选用的公式不同,得出的答案也会不同,都是正确的,但可能有的答 案比较复杂。以下只给出最简单的答案。 (1)对于给出折射率 n 的变化公式,由于题目说明是正常的色散介 质,所以可使用简化的群速度公式:

c dn = n ? λ? Vg dλ
把已知代入可得:

c dn B C 2 B 4C 3B 5C n ? λ? = =A + 2 + 4 ? λ ?(? 3 ? 5 ) =A + 2 + 4 Vg dλ λ λ λ λ λ λ
得:

Vg =

A+

c 3B

λ2

+

5C

λ4

(2)对于给出了圆频率的变化公式,可使用群速度公式:

Vg =
代入已知,可得:

dw dk

2 2 2 dw d ( ( wc ) + c k ) V = = = g dk dk

c2k ( wc ) 2 + c 2 k 2

(3)对于给出了 V p 的变化公式,可以使用与 V p 有关的群速度公式:

V= Vp + k g

dV p dk

而已知的 V p 也可先化成以 k 表达的公式:

λ g T 4π 2T Vp = (g + 2 ) = +k λ ρ k ρ 2π
代入上式,可得:

g T g T 2kT Vg = ( + k ) + k ?(? 2 + ) = k k ρ ρ ρ


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