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北京四中2014-2015学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)


北京四中 2014-2015 学年下学期高二年级期中考试数学试卷(理科)
试卷分为两卷,卷(Ⅰ)100 分,卷(Ⅱ)50 分,满分共计 150 分。

卷(Ⅰ) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 1. 设 i 为虚数单位,则 A. i

1 =( t3

) C. 1 ) C. 1 ? e
x

B. -i

D. -1

2. 函数 y ? xe x 的导函数 y ? =( A. xe 3.
x

B. e

x

D. ( x ? 1)e x

? (e
0

1

x

? 2 x)dx 等于(
B. e ? 1

) C. e D. e ? 1 )

A. 1

4. 在复平面内,复数 z ? A. 第一象限

1? i (i 是虚数单位)对应的点位于( i
C. 第三象限 )

B. 第二象限

D. 第四象限

5. 函数 f ( x) ? 3 ? x ln x 的单调递增区间为( A. ? 0, ? 6. 由直线 x ? ?

? 1? ? e?

B. (e,??)

C. ? ,?? ?

?1 ?e

? ?

D. ? , e ? )

?1 ?e

? ?

?
3

,x ?

?
3

, y ? 0 与曲线 y ? cos x 所围成的封闭图形的面积为(
C.

A.

1 2

B. 1

3 2

D.

3

7. 函数 f ( x) 是定义在 (??,??) 内的可导函数,且满足: xf ?( x) ? f ( x) ? 0 ,对于任意 的正实数 a , b ,若 a ? b ,则必有( A. af (b) ? bf (a) C. af (a) ? bf (b)
m n

) B. bf (a) ? af (b) D. af (a) ? bf (b) )

8. 函数 f ( x) ? ax (1 ? x) 在区间 [0,1] 上的图象如图所示,则 m, n 的可能值是(

1

A. m ? 1, n ? 1 C. m ? 2, n ? 1

B. m ? 1, n ? 2 D. m ? 3, n ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 设 i 是虚数单位,复数

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为____________。 2?i

10. 已 知 a, b ? R , i 是 虚 数 单 位 , 若 a ? i 与 2 ? bi 互 为 共 轭 复 数 , 则

(a ? bi) 2 ? ____________。
11. 设 函 数 f ( x ) ? ax ?

b , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 方 程 为 x

7 x ? 4 y ? 12 ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 的解析式是__________。
12. 函数 f ( x) ? x ? 2 cos x 在 [0,2? ] 上的极大值点为____________。 13. 曲线 y ? sin( x ?

?
4

)( 0 ? x ?

3? ) 与坐标轴围成的面积是____________。 4

2 14. 函数 f ( x) 在 R 上存在导数 f ?( x) , 对 ?x ? R 有 f (? x) ? f ( x) ? x , 且在 (0,??) 上,

f ?( x) ? x ,若 f (2 ? a) ? f (a) ? 2 ? 2a ,则实数 a 的取值范围为____________。
三、解答题:本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分。 15. 已知函数 f ( x) ? x ln x 。 (1)求函数 f ( x) 的极值点; (2)若直线 l 过点 (0,?1) ,并且与曲线 y ? f ( x) 相切,求直线 l 的方程。 16. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y ?

a ? 10( x ? 6) 2 ,其中 3 ? x ? 6 ,a 为常数,已知销 x?3

售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克。 (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所
2

获得的利润最大。 17. 设函数 f ( x) ? (1)当 a ?

e ax ,a ? R 。 x2 ?1

3 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 5 1 e

(2)设 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,当 x ? [ ,2e] 时,函数 f ( x) 的图象总在 g ( x) 的图象 的上方,求 a 的取值范围。

卷(Ⅱ) 一、选择题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 1. 函数 f ( x) ? e x ? 1 , g ( x) ? ? x 2 ? 4x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为 ( ) A. [2 ? 2 ,2 ? 2 ] C. [1,3] B. (2 ? 2 ,2 ? 2 ) D. (1,3)
3

2. 某堆雪在融化过程中,其体积 V(单位: m )与融化时间 t(单位:h)近似满足函数 关系: V (t ) ? H (10 ?

1 3 t ) (H 为常数),其图象如图所示。记此堆雪从融化开始到结束 10


的平均融化速度为 v (m 3 / h) ,那么瞬时融化速度等于 v (m 3 / h) 的时刻是图中的(

A. t1

B. t 2

C. t 3

D. t 4

3. 已知 f ( x), g ( x) 均是定义在 R 上的函数,g ( x) ? 0, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) , f ( x) ?

g ( x) ? a x (1 ? a ? 0)

? f (n) ? f (1) f (?1) 5 ? ? ,在有穷数列 ? ?(n ? 1,2,?10) 中,任取正整 g (1) g (?1) 2 ? g (n) ?
3

数 k (1 ? k ? 10) ,则前 k 项和大于 A.

15 的概率是( 16
C.



1 5

B.

2 5

3 5

D.

4 5

二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。 4. 已知复数 z1 ? ?1 ? 2i, z 2 ? 1 ? i, z3 ? 3 ? 2i ,它们所对应的点分别为 A, B, C 。若

OC ? xOA ? yOB ,则 x ? y 的值是_________。
5. 如图, x ? ?1 是函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点, f ?( x) 为函数 f ( x) 的 导函数,则不等式 x ? f ?( x) ? 0 的解集为______________。

6. 当 x ? 0 时,不等式

ln x kx ? ln 都成立,则实数 k 的取值范围是___________。 x ?1 x ?1

三、解答题:本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分。 7. 已知函数 f ( x) ? e x ,点 A(a,0) 为一定点,直线 x ? t (t ? a) 分别与函数 f ( x) 的图象 和 x 轴交于点 M , N ,记△AMN 的面积为 S (t ) 。 (1)当 a ? 0 时,求函数 S (t ) 的单调区间; (2)当 a ? 2 时,若 ?t 0 ? [0,2] ,使得 S (t 0 ) ? e ,求实数 a 的取值范围。 8. 已知函数 f ( x) ? ax, (a ? R), g ( x) ? ln x ? 1 。 (1)若函数 h( x) ? g ( x) ? 1 ?

x f ( x) ? 2 x 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; 2

(2)当 a ? 0 时,试讨论 f ( x) 与 h( x) 这两个函数图象的交点个数。

4

【试题答案】
卷(Ⅰ) 1-8 ADCCCDBB 9. 2 14. (??,1] 15. 解(1) f ?( x) ? ln x ? 1, x ? 0 , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 10. 3 ? 4i 11. f ( x) ? x ?

3 x

12

? 6

13. 2 ?

2 2

1 , e 1 e 1 e

所以, f ( x) 在区间 ( 0, ) 上单调递减,在区间 ( ,?? ) 上单调递增, 所以, x ?

1 是函数 f ( x) 的极小值点,极大值点不存在。 e

(2)设切点坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? x0 ln x0 , 切线的斜率为 ln x0 ? 1 , 所以, ln x0 ? 1 ?

y0 ? 1 , x0

解得 x0 ? 1, y0 ? 0 , 所以直线 l 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 。 16. 解:(Ⅰ)因为 x ? 5 时 y ? 11,所以

a ? 10 ? 11 ? a ? 2 ; 2 2 ? 10( x ? 6) 2 ,所以商场每日销售该 x?3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量 y ? 商品所获得的利润;

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 ; x?3

f ?( x) ? 10[(x ? 6) 2 ? 2( x ? 3)(x ? 6)] ? 30( x ? 4)(x ? 6) ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4
函数 f ( x) 在 (3,4) 上递增, 在 ( 4,6) 上递减, 所以当 x ? 4 时函数 f ( x) 取得最大值 f ( 4) =42 答:当销售价格 x ? 4 时,商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大值为 42。
3x

3 e 5 (3x 2 ? 10x ? 3) 17. 解:(Ⅰ)当 a ? 时, f ?( x) ? 。 5 5( x 2 ? 1) 2

5

由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10x ? 3 ? 0 ,解得 x ?
2

1 或 x ? 3; 3

由 f ?( x) ? 0 得 3x ? 10x ? 3 ? 0 ,解得
2

1 ? x ?3, 3 1 3

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (?? , ), (3,?? ) ,单调减区间为 ( ,3) 。 (Ⅱ)因为 g ( x) ? f ?( x) ?

1 3

e ax (ax2 ? 2 x ? a) , ( x 2 ? 1) 2

又因为函数 f ( x) 的图象总在 g ( x) 的图象的上方, 所以 f ( x) ? g ( x) ,即

1 e ax e ax (ax2 ? 2 x ? a) 在 x ? [ ,2e] 恒成立。 ? 2 2 2 e x ?1 ( x ? 1)

又因为
2

e ax ? 0 ,所以 a( x 2 ? 1) ? 2x ? ( x 2 ? 1) ,所以 (a ? 1)(x 2 ? 1) ? 2x , 2 x ?1
2x , x ?1
2

又 x ? 1 ? 0 ,所以 a ? 1 ? 设 h( x ) ? 又 h?( x) ?

2x 1 ,则 a ? 1 ? h( x) min ( x ? [ ,2e]) 即可, e x ?1
2

1 1 2(1 ? x 2 ) 2(1 ? x 2 ) ? ,由 h ( x ) ? ? 0 ,注意到 x ? [ ,2e] ,解得 ? x ? 1 ; 2 2 2 2 e e ( x ? 1) ( x ? 1) 1 2(1 ? x 2 ) ? 0 ,注意到 x ? [ ,2e] ,解得 1 ? x ? 2e , 2 2 e ( x ? 1)

由 h?( x) ?

所以 h( x) 在区间 ? ,1? 单调递增,在区间 (1,2e] 单调递减, 所以 h( x) 的最小值为 h ( ) 或 h(2e) , 因为 h( ) ? 所以 a ? 1 ?

?1 ? ?e ?

1 e

1 e

2e 4e 4e 2e , h(2e) ? 2 ? 2 ,作差可知 2 , e ?1 4e ? 1 4e ? 1 e ? 1
2

4e , 4e 2 ? 1

所以 a 的取值范围是 (??,

4e 2 ? 4e ? 1 )。 4e 2 ? 1
卷(Ⅱ)

1. B 2. C 3. C 4. 5 5. (??,?1) ? (0,1)
6

6. k ? 2

7. 解:(Ⅰ)因为 S (t ) ? 当 a ? 0 , S (t ) ?

1 | t ? a | e? ,其中 t ? a 2

1 | t | e ? ,其中 t ? 0 2 1 1 te?, S ?(t ) ? (t ? 1)e? , 2 2

当 t ? 0 时, S (t ) ?

所以 S ?(t ) ? 0 ,所以 S (t ) 在 (0,??) 上递增, 当 t ? 0 时, S (t ) ? ? 令 S ?(t ) ? ? 令 S ?(t ) ? ?

1 1 te?, S ?(t ) ? ? (t ? 1)e? , 2 2

1 (t ? 1)e? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 (??,?1) 上递增 2 1 (t ? 1)e? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,所以 S (t ) 在 (?1,0) 上递减 2

综上, S (t ) 的单调递增区间为 (0,??), (??,?1) (Ⅱ)因为 S (t ) ?

1 | t ? a | e? ,其中 t ? a 2 1 ( a ? t )e ? 2

当 a ? 2 , t ? [0,2] 时, S (t ) ?

因为 ?t 0 ? [0,2] ,使得 S (t 0 ) ? e ,所以 S (t ) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

1 S ?(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]e? ,令 S ?(t ) ? 0 ,得 t ? a ? 1 2
当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S ?(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]e? ? 0 对 t ? (0,2) 成立, S (t ) 单调递增 2
所以当 t ? 2 时, S (t ) 取得最大值 S (2) ? 令

1 (a ? 2)e 2 2

1 2 (a ? 2)e 2 ? e ,解得 a ? ? 2 , 2 e

所以 a ? 3 当 a ? 1 ? 2 时,即 a ? 3 时

1 S ?(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]e? ? 0 对 t ? (0, a ? 1) 成立, S (t ) 单调递增 2 1 S ?(t ) ? ? [t ? (a ? 1)]e? ? 0 对 t ? (a ? 1,2) 成立, S (t ) 单调递减 2
所以当 t ? a ? 1 时, S (t ) 取得最大值 S ( a ? 1) ?

1 a ?1 e 2

7

令 S (a ? 1) ?

1 a ?1 e ? e ,解得 a ? ln 2 ? 2 2

所以 ln 2 ? 2 ? a ? 3 综上所述, ln 2 ? 2 ? a 8. 解:(1) h( x) ? ln x ?

a 2 1 x ? 2 x( x ? 0), h?( x) ? ? ax ? 2 , 2 x 1 ? ax ? 2 ? 0 在 (0,??) 上有解, x

若使 h( x) 存在单调递减区间,则 h?( x) ? 而当 x ? 0 时,

1 1 1 2 1 2 ? ax ? 2 ? 0 ? ax ? ? 2 ? a ? 2 ? 问题转化为 a ? 2 - x x x x x x 1 2 ? 在 (0,??) 上的最小值, x2 x

在 (0,??) 上有解,故 a 大于函数 又

1 2 1 1 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 1, 2 ? 在 (0,??) 上的最小值为-1,所以 a ? ?1 。 2 x x x x x

(2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ax ? ln x ? 1(a ? 0) , 函数 f ( x) ? ax 与 g ( x) ? ln x ? 1 的交点个数即为函数 F ( x) 的零点的个数,

F ?( x) ? a ?

1 1 1 ( x ? 0) ,令 F ?( x) ? a ? ? 0 ,解得 x ? 。 x x a

随着 x 的变化, F ?( x), F ( x) 的变化情况如下表:

x
F ?( x) F ( x)
1 a 1 a 1 a

1 (0, ) a
- 单调递减

1 a
0 极小值 2 ? ln a

1 ( ,?? ) a
+ 单调递增

?2 ①当 F ( ) ? 2 ? ln a ? 0 ,即 a ? e 时, F ( x) 恒大于 0,函数 F ( x) 无零点,

?2 ②当 F ( ) ? 2 ? ln a ? 0 ,即 a ? e 时,由上表,函数 F ( x) 有且仅有一个零点,

?2 ③当 F ( ) ? 2 ? ln a ? 0 ,即 0 ? a ? e 时,显然 1 ?

1 a

1 1 F (1) ? a ? 1 ? 0 ,所以 F (1) ? F ( ) ? 0 。又 F ( x) 在 (0, ) 内单调递减,所以 F ( x) 在 a a 1 (0, ) 内有且仅有一个零点。 a
当x?

1 1 1 1 1 2 2a ? 1 ? 0 ,所以函数 时 , F ( 2 ) ? ? 2 ln a ? 1, F ?( 2 ) ? ? 2 ? ? a a a a a a a2

8

F(

1 ) 是减函数, a2
故 F(

1 1 a ) ? F( 2 ) ? 2 ? 3 ? 0 , 2 a e e 1 a

又 F ( x) 在 ( ,?? ) 内单调递增, F ( x) 在 ? ,?? ? 上的图象是连续不断的曲线, 所以 F ( x) 在 ( ,?? ) 内有且仅有一个零点, 因此, 0 ? a ? e
?2
?2

?1 ?a

? ?

1 a

时, F ( x) 有且仅有两个零点,
?2

综上, a ? e 时, f ( x) 与 g ( x) 的图象无交点;当 a ? e 时, f ( x) 与 g ( x) 的图象有 且仅有一个交点;

0 ? a ? e ?2 时, f ( x) 与 g ( x) 的图象有且仅有两个交点。

9



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