当前位置:首页 >> 数学 >>

2016


2.2 抛物线的简单性质

学课前预习学案

太阳能是最清洁的能源.太阳能灶是日常生活中应用太阳 能的典型例子.太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋 转一周形成的曲面.你知道它的原理是什么吗? 提示: 太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上,经镜面反 射后,反射光线都经过抛物线的焦点,这就是太阳能灶能把光

能转化为热能的理论依据.

1.四种标准形式的抛物线几何性质的比较
类型 y2=2px (p>0)
y2=-2px _________

x2=2py (p>0)

x2=-2py __________

(p>0)

(p>0)

图像

性质 焦点

?p ? ? ? , 0 ?2 ? ? ?

? p ? ? ? - , 0 ? 2 ? ? ?

? p? ? ? 0 , ? 2? ? ?

? p? ? ? 0 ,- ? 2? ? ?

准线 对称轴 性质 范围 顶点 离心率 开口方向

p x=- 2

p x= 2

p y=- 2

p y= 2

x轴 _____

y轴 _____

x≤0 y≥0 y≤0 x≥0 _______ _______ _______ _______ 原点(0,0) ___________ e=1 ______

向右

左 向____

向上

下 向____

抛物线只有一条对称轴,一个顶点,一个焦

点,一条准线.无对称中心,无渐近线.标准方程只有一个参
数.不同于椭圆、双曲线.

2.抛物线的通径
过抛物线的焦点且垂直于其对称轴的直线与抛物线交于两 线段 叫作抛物线的通径,抛物线 y2=2px(p 点,连结这两点的 _____ 2p >0)的通径长为_____

关于通径的简单性质: (1)在过焦点的直线与抛物线相交所得的弦中,通径最短. (2)如图所示

AB为抛物线y2=2px(p>0)的通径,则△AKB为等腰直角三
角形,∠AKB=90°. (3) 抛物线方程 y2 = 2px(p > 0) 中, 2p 的几何意义即为“通 径”,而 p 的几何意义即为抛物线的焦点到其对应准线的距 离.

1.抛物线的对称轴为x轴,过焦点且垂直于对称轴的弦长
为8.若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( A.y2=8x C.y2=8x或y2=-8x 解析: 答案: B.y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y )

由题意知通径长2p=8,且焦点在x轴上,但开口 C

向左或右不确定,故方程为y2=8x或y2=-8x.

2. 抛物线的顶点在坐标原点, 焦点是椭圆 x2+4y2=1 的一 个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为( A.2 3 3 C. 2
解析:

)

B. 3 3 D. 4
? p 3 ? ? ? 椭圆的焦点坐标为?± ,0?, 故在抛物线中 = 2 2 ? ?

3 , 2

焦点到准线的距离为 p= 3.
答案: B

3.设P是抛物线 x2=2y 上的一点,若P到此抛物线的准线
距离为8.5,则P点的坐标是________.

p 解析: 设 P 点纵坐标为 y0,则 y0+ =y0+0.5=8.5,∴ 2 y0=8,∴x0=± 4,即 P 点坐标为(± 4,8).
答案: (± 4,8)

4.已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为 x 轴,且与圆 x2+y2=4 相交的公共弦长等于 2 3,求这条抛物线的方程.
解析 : 设所求 抛物线方 程为 y2 = 2px(p>0) 或 y2 = -

2px(p>0),设交点 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0), 则|y1|+|y2|=2 3,即 y1-y2=2 3, 由对称性知,y2=-y1,代入上式得 y1= 3,

把 y1= 3,代入 x2+y2=4 得 x=± 1. 所以点(1, 3)在抛物线 y2=2px 上,点(-1, 3)在抛物线 3 y =-2px 上,所以 3=2p 或 3=-2p×(-1),p= , 2
2

所以所求抛物线方程为 y2=3x 或 y2=-3x.

讲课堂互动讲义

根据抛物线的性质求标准方程
抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆3x2+
4y2=12的长轴所在的直线,抛物线焦点到顶点的距离为5,求 抛物线的方程及准线方程. [思路导引] 先确定抛物线的方程形式,再求p值.

x2 y2 [边听边记] 椭圆方程可化为 + =1,其长轴在 x 轴上, 4 3 ∴抛物线的对称轴为 x 轴. ∴设抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px(p>0). p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 5,即 =5,∴p=10. 2 ∴抛物线的标准方程为 y2=20x 或 y2=-20x. 其准线方程分别为 x=-5 或 x=5.

求抛物线标准方程的主要步骤是先定位,即 根据题中条件确定抛物线的焦点位置,后定量,即求出方程中

p的值,从而求出方程.

1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,准线过椭 x2 y 2 圆 + =1 的焦点,求抛物线的方程. 16 52 x 2 y2 解析: 椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上, 16 52

焦点坐标为(0,-6),(0,6). 故抛物线的准线方程为 y=-6 或 y=6.

当准线方程为 y=-6 时,设抛物线方程为 x2=2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=24y; 当准线方程为 y=6 时,设抛物线方程为 x2=-2py(p>0), 则 p=12,所求抛物线的方程为 x2=-24y. 故所求抛物线的方程为 x2=24y 或 x2=-24y.

有关焦点弦、焦半径的问题
(12分)斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,
与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长. [思路导引] 思路一:设出直线方程与抛物线y2=4x联立 组成方程组,求出两点A、B的坐标,然后采用两点间距离公式 求线段AB的长; 思路二:利用抛物线的焦点弦公式; 思路三:利用抛物线的弦长公式.

[规范解答]

方法一:如图,由抛物线的标准方程可知,

抛物线的焦点坐标为 F(1,0), 所以直线 AB 的方程为 y=x-1.①3 分 将方程①代入抛物线方程 y2=4x, 得(x-1)2=4x. 化简得 x2-6x+1=0.6 分 解得 x1=3+2 2,x2=3-2 2.8 分

将 x1,x2 的值代入方程①中,得 y1=2+2 2,y2=2-2 2, 即 A、B 的坐标分别是(3+2 2,2+2 2)、(3-2 2,2- 2 2).10 分 ∴|AB|= ?4 2?2+?4 2?2=8.12 分 方法二:根据抛物线的定义,|AF|等于点 A 到准线 x=-1 的距离,即|AF|=x1+1,

同理|BF|=x2+1,于是得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2.6 分 由上可知,x2-6x+1=0,故 x1+x2=6. ∴|AB|=6+2=8.12 分 方法三:|AB|= 1+k2|x1-x2|6 分 = 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2= 2· 62-4×1=8.12 分

(1)方法一利用传统的基本方法求出 A、B 两 点坐标,再利用两点间距离公式求出 AB 的长. 方法二充分利用抛物线的定义,把过焦点的这一特殊的弦 分成两个焦半径的和,转化为点到准线的距离,这是思维产生 质的飞跃的表现. 方法三没有直接求出 A、B 坐标,而是利用根与系数的关 系找到 x1 与 x2 的关系,利用直线截二次曲线的弦长公式|AB|= 1+k2|x1-x2|求得,这是典型的设而不求的思想方法,比方法 一先进.

(2)与焦半径、焦点弦相关的结论: 设过焦点的直线 l 的倾斜角为 α,与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 p2 ①x1· x2= ,y1· y2=-p2; 4
? π 2p ? ? ②|AB|=x1+x2+p= 2 ?当α=2时,|AB|=2p即为通径? ?; sin α? ?

p2 ③S△AOB= ; 2sin α 1 1 2 ④ + = . |AF| |BF| p

2.已知抛物线y2=4x,过焦点F的弦为AB,且|AB|=8,求 AB中点M的横坐标xM.

解析:如图所示,由 y2=4x 知,焦点 F(1,0),准线 x=- 1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1| =x1+1+x2+1=x1+x2+2=8, x1+x2 ∴x1+x2=6,∴xM= =3. 2

抛物线的中点弦问题
已知抛物线y2=6x,过点P(4,1)引一条弦P1P2使它 恰好被点P平分,求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

[思路导引]

思 路 一 : 设P1,P2坐标代入方程 ―→

联立,利用弦长 两式作差 ―→ 求kP1P2得P1P2直线方程 ―→ 公式求|P1P2| 思 路 二 : 设点斜式方程 ―→ 两方程联立消元 ―→ 根与系数 ―→ 利用弦长公式求|P1P2| 关系求k

解析: 方法一:设 P1(x1,y1),P2(x2,y2). ∵P1,P2 在抛物线上,
2 ∴y2 = 6 x , y 1 1 2=6x2.

两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2). ∵y1+y2=2, y1-y2 6 ∴k= = =3, x1-x2 y1+y2 ∴直线的方程为 y-1=3(x-4),

即 3x-y-11=0.
? ?3x-y-11=0 又由? 2 ? ?y =6x

得:9x2-72x+121=0,①

Δ=722-4×9×121=828. 直线与抛物线交于两个不同的点, 故 3x-y-11=0 即为所求直线. 121 由①可得:x1+x2=8,x1· x2= . 9 121 2 230 ∴|P1P2|= 1+9· 8 -4× = . 9 3
2

方法二:由题意设所求方程为 y-1=k(x-4).(易知当 k 不存在时,不满足题意)
2 ? ?y =6x 由? ? ?y=kx-4k+1

,得 ky2-6y-24k+6=0.

Δ=36-4k(-24k+6)>0, 设弦的两端点 P1(x1,y1),P2(x2,y2), 6 ∴y1+y2= , k 6-24k y1 · y2= . k

∵P1P2 的中点为(4,1), 6 ∴ =2, k ∴k=3,且满足 Δ>0, ∴所求直线方程为 y-1=3(x-4),即 3x-y-11=0, ∴y1+y2=2,y1· y2=-22, ∴|P1P2|= = 1 1+ 2· ?y1+y2?2-4y1y2 k

1 2 2 230 1+ · 2 -4×?-22?= . 9 3

处理中点问题的基本方法是点差法,根与系 数的关系法,直线与抛物线方程联立时消 y 有时更简便些.此 类问题还要注意斜率不存在的情况,避免漏解.一般地,已知 抛物线 y2=2px(p>0)上两点 A(x1, y1), B(x2, y2)及 AB 中点 P(x0, p p y0),则 kAB= ,直线 AB 的方程:y-y0= (x-x0),线段 AB y0 y0 y0 的垂直平分线的方程为 y-y0=- (x-x0). p

3.过点Q(4,1)的抛物线y2=8x的弦AB恰被点Q平分,求AB
所在直线方程.

解析: 若弦 AB⊥Ox,则其中点是(4,0),不是 Q(4,1), 所以可设弦 AB 所在的直线方程:y-1=k(x-4).
? ?y-1=k?x-4?, 列方程组? 2 ? ?y =8x,

消去 x 并化简,

得 ky2-8y-32k+8=0.

设弦 AB 端点 A(x1,y1),B(x2,y2), 8 ∴y1+y2= . k 又 Q(4,1)为弦 AB 中点, y1+y2 ∴ =1,即 y1+y2=2, 2 8 ∴ =2,∴k=4. k 所以所求直线方程是 y=4x-15.

求过定点P(0,1),且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线

方程.

【错解】 设直线方程为 y=kx+1,
? ?y=kx+1, 由? 2 ? ?y =2x,

得 k2x2+2(k-1)x+1=0.

当 k=0 时,解得 y=1,即直线 y=1 与抛物线只有一个公 共点.

1 当 k≠0 时,Δ=4(k-1) -4k =0,解得 k= , 2
2 2

1 即直线 y= x+1 与抛物线只有一个公共点. 2 1 综上所述,所求的直线方程为 y=1 或 y= x+1. 2
【错因】 解决这类直线与抛物线位置关系的问题时,最
容易丢掉斜率不存在和斜率为零的情况,画出草图是解决这类 问题的有效方法.

【正解】 如图所示,若直线的斜率不存在, 则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0,
? ?x=0, 由? 2 ? ?y =2x, ? ?x=0, 得? ? ?y=0,

即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点. 若直线的斜率存在,则由错解可知, 1 y=1 或 y= x+1 为所求的直线方程. 2 1 故所求的直线方程为 x=0 或 y=1 或 y= x+1. 2


相关文章:
《专业技术人员网络道德建设(2016) 及答案.doc
《专业技术人员网络道德建设(2016) 及答案 - 《专业技术人员网络道德建设(2016)》在线考试 时间限制:60 分钟 离考试结束还剩 26 分 52 秒 (到时间后将自动交卷...
2016年日历表(有周期A4打印版).xls
2016年日历表(有周期A4打印版) - 公元2016年【丙申 猴年】日历 2016年1月 周期 日一二三四五六 周期 日一 2016年2月 二三四五六 周期 日一 ...
2016年北京大学自主招生数学试题回忆版.pdf
2016年北京大学自主招生数学试题回忆版 - 2016 年北京?学?主招?数学试
2016标准解读_图文.pdf
2016标准解读 - 2016 INS 输液实践标准解读 浙江大学医学院附属邵逸
office2016激活密钥.txt
office2016激活密钥 - 下面这组秘钥有多种版本,既有适合Office套装专业版、标准版的 Office Professional Plus 2016:XQNVK-8JYDB-WJ9W3...
2016年杭州市中考数学.doc
2016年杭州市中考数学 - 2016 年浙江省杭州市中考数学试卷 一、填空题(每题 3 分) 1. (3 分) (2016?杭州) =( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2. (3 分...
铜价(2016年度).xls
铜价(2016年度)_调查/报告_表格/模板_实用文档。2016年铜价汇总,分日、月、季度。 日期2016/1/4 2016/1/5 2016/1/6 2016/1/7 2016/1/8 2016/1/11 ...
Excel2016新增函数.doc
Excel2016新增函数_表格类模板_表格/模板_实用文档。Excel2016新增函数,增加很多实用函数,经常用到Excel的同学们可以学习一下 Excel2016 新增函数一、IFS 函数。 先...
TS16949:2016_图文.pdf
TS16949:2016 - TECHNICAL SPECIFICATION 技
...工程施工取费费率的通知》(浙建站定〔2016〕23号)_图文.pdf
:《关于发布营改增后浙江省建设工程施工取费费率的通知》(浙建站定〔2016〕23
2016年中国薪酬调查报告__图文.pdf
2016年中国薪酬调查报告__调查/报告_表格/模板_实用文档。2016年度全部
2016年周历表_图文.xls
2016年周历表 / 2016 Weekly Calendar 2016年1月/Jan 周 1 2 3 4 5 一二三四五六日周 6 7 8 9 10 一二 2016年2月/Feb 三四五六日周 10 11 12...
桃之夭夭201606A全文阅读_桃之夭夭201606A免费阅读.doc
// i 金点子生意2016年第8期 作者金点子生意杂志社 手机APP免费 16
中国联通2016年年报_图文.pdf
中国联通2016年年报 - 2016年度业绩 2017年3月15日 HKEx:
【McKinsey】2016中国数字消费者调查报告.pdf
【McKinsey】2016中国数字消费者调查报告 - McKinsey iConsumer China 2016 survey How savvy, social shoppers are ...
思想汇报 2016年下半年.doc
思想汇报 2016年下半年 - 思想汇报 尊敬的党组织: 时光荏苒,2016
2016年中考语文 病句修改试题汇编.doc
2016年中考语文 病句修改试题汇编_中考_初中教育_教育专区。2016 年中考试题汇编之病句修改【2016北京卷】 4.为影响校团委“新春致敬子弟兵”的倡议,有位同学给...
2016世界腐败指数排名.doc
2016世界腐败指数排名 - CPI 2016Ranking Rang Land/Gebiet CPI Wert 2016 1 2 3 4 5 5 7 8 9 10 11 12 12 14 1...
中国移动2016年年报-英文版_图文.pdf
中国移动2016年年报-英文版 - 1 Forward-looking Stat
...交易和可疑交易报告管理办法-中国人民银行令2016年....doc
金融机构大额交易和可疑交易报告管理办法-中国人民银行令2016年第3号 - 中国人民银行令〔2016〕第 3 号 金融机构大额交易和可疑交易报告管理办法 字号 大中小 文章...
更多相关标签: