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2[1].1.2椭圆的简单几何性质


2.2.2椭圆的简单几何性质(2)
1-----直线与椭圆的位置关系

2-----弦长公式

一个框,四个点,注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现 |PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义
y
y
P

F1
F2
x

P x




F1
2 2

O

O F2

方 范

程 围

x y ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

|x|? a |y|? b

x2 y 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0 ? 2 b a |x|? b |y|? a

对称性 焦 点

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (?a,0)、(0,?b) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)





离心率

c e? a

点与椭圆的位置关系

x y 点 P( x ,y ?) , 圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 椭 ? a b
1.点在椭圆上 2.点在椭圆外
x y ? ? ?1 a b
2 2 x0 y0 ? 2 ? 2 ?1 a b 2 0 2 2 0 2

2

2

2 2 x0 y0 3.点在椭圆内 ? 2 ? 2 ? 1 a b

点与椭圆的位置关系 小试身手
1、点P(1,m)在椭圆x2+2y2=2内部,则
2 2 ? ?m? m的取值范围是________ 2 2

问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?

怎么判断它们之间的位置关系?

几何法: d>r 代数法:?<0

d=r ?=0

d<r ?>0

直线与椭圆的位置关系

种类: 相切(一个交点) 相离(没有交点) 相交(二个交点) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)

直线与椭圆的位置关系 知识点1:位置关系的判断

代数方法

? Ax ? By ? C ? 0 ? 2 2 由方程组 ? x ? mx 2 ? nx ? p ? 0(m ? 0) y ? 2 ? 2 ?1 b ?a △=n2 ? 4mp

Δ? 0 Δ? 0 Δ? 0

方程组有两解 方程组有一解 方程组无解

两个交点 一个交点 无交点

相交

相切
相离

题型一:位置关系的判断

?y ? kx ? 2 ? 解 : 联 立 x2 y 2 得(2 ? 3k2)x2 : ? ?1 ? ? ?3 2

x y ? ?1 例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线 3 2 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?

2

2

? 12kx? 6 ? 0

2 ?Δ?(12k) ? 24(2? 3k2 )? 72k2 ? 48 6 6 ① 由 Δ? 0  得 k ? 或k? ? 3 3 6 ② 由 Δ 0  得 k ? ? ? 3

6 6 6 ?k ? 或k? 时,有两个公共点 k ? ? ; 时,有一个公共点 ; 3 3 3 6 6 ? ?k? 时,没有公共点 3 3

6 6 ③ 由 Δ 0  得   ? k ? ? 3 3

x2 y2 ? ?1 无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4

针对练习:

交点情况满足( D ) A.没有公共点 C.两个公共点 B.一个公共点 D.有公共点

x2 y2 ? ? 1 ,直线 l: 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 , 例 2:已知椭圆 25 9 椭圆上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小 距离是多少?

题型二:相离----最值问题

分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x ? 5 y ? 40 ? 0 的距离的表达式.

4 ?5 尝试遇到困难怎么办?
2 2

d?

4 x0 ? 5 y0 ? 40

?

4 x0 ? 5 y0 ? 40 41
l


m

x0 2 25

?

y0 2 9
m

?1

作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

y
解 : 设 直线 m//l, 与椭 圆相 切 且 则 m: 4x ? 5y ? k ? 0(k ? 40)
?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 由方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 2 ? 25 9 消去y,得25x

x

o

? 8kx ? k - 225 ? 0
2

由? ? 0,得64k 2 - 4 ? 25 k 2 - 225) 0 ( ?
解得k1 =25,k 2 =-25 由图可知k ? 25. ?直线m为:x ? 5 y ? 25 ? 0 4
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 且d ? 40 ? 25 4 2 ? 52 ? 15 41 41

思考:最大的距离是多少?

题型三:相交----弦长问题

1 x2 已知直线y ? x ? 与椭圆 ? 2y2 ? 1, 2 2 4 ? x ? x2 ? 判断他们的位置关系 由韦达定理 ? 1 5 ? 解:联立方程组 1
1 y? x? 2

消去y

x2+4y2=2
因为

5 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

? x1 ? x2 ? ? 5 ?

?>0

所以,方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解….

那么,相交所得的弦的弦长是多少?
6 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 2 5
2 2 2 2

知识点2:弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 直线AB的斜率为k. 弦长公式:

AB ? 1 ? k · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (
2 2

1 2 ? 1 ? 2 ? (y1 ? y2) ? 4 y1 y2 k 适用于任意二次曲线

题型三:相交----弦长问题
例3:已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 :由椭圆方程知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3.
2 2 2

的右焦点,

右焦点F ( 3,0).
?y ? x ? 3 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?4

直线l方程为: y ? x ? 3. 消y得: 2 ? 8 3x ? 8 ? 0 5x
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

练习:

8 3 8 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 5 5
? AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ? k
2 2

课本P48第7题
8 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 5
2

x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点, 4 求 △F1 AB 的面积.

题型三:相交----弦长问题

2

2

分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,

要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组

解:∵椭圆

x2 y2 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? ? 1 的左、右 2 1 ? 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 x2

∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? x ?1 ? 由 ? x2 消去 y 并化简整理得 2 ? y ?1 ? ? 2
2

2

? y 2 ? 1 的两个焦点坐标 F1 (?1, 0), F2 (1, 0)

3x ? 4x ? 0

4 ∴ AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? = ? ? 3 2

4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 0 3
0 ? ( ?1) ? 1 2

∵点 F1 到直线 AB 的距离 d ?
∴ S F1 AB

= 2

1 1 4 4 4 ? ? d ? AB = ? 2 ? 2= . 答: △F1 AB 的面积等于 2 2 3 3 3

题型四:相交----中点弦问题
例5 :已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程. 解:

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型四:相交----中点弦问题
例 5、已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被 平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ), 则有:x0 ? x1 ? x2 , 2 y0 ? y1 ? y2 2 y1 ? y2 又k AB ? x1 ? x2 ? A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )在椭圆上, 2 2 x2 2 y2 2 x1 y1 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a2 b
两式相减得:

b2 ( x12 ? x22 ) ? a2 ( y12 ? y12 ) ? 0

由b ( x ? x2 ) ? a ( y ? y ) ? 0
2 2 1 2 2 2 1 2 1

y ?y b2 即 ?? 2 x ?x a
2 1 2 1 2 1 2 2

? k AB

y1 ? y1 b2 x1 ? x2 b2 x0 ? ?? 2 x1 ? x2 a y1 ? y1 ? ? a 2 y 0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.

例5已知椭圆 过点P(2,1)引一弦,使弦在这 点被平分,求此弦所在直线的方程.

所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2,整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条 解后反思:中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件,灵活运用中点坐标公式及韦达定理,

例6、如图,已知椭圆

ax ? by ? 1与直线x+y-1=0交
2 2

AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的 于A、B两点, 斜率是 2 ,试求a、b的值。 2 y ?ax 2 ? by 2 ? 1 2 消y得:(a ? b) x ? 2bx ? b ?1 ? 0 解:? A ?x ? y ?1 ? 0
??=4b -4(a ? b)(b ?1) ? 0 ? ab ? a ? b
2

M

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

o
B

x

2b b ?1 b a ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ? AB中点M ( , ) a?b a?b a?b a?b a 2 又 AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? k MO ? ? ?b ? 2a b 2 1 2 2b 2 b ?1 ?a ? ,b ? ?2 2 ? 2 ( ) ?4 a?b a?b 3 3

练习:

x2 y2 ? ?1 1、如果椭圆被 36 9 的弦被(4,2)平分,那

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

D


D、x+2y-8=0

x y 2、y=kx+1与椭圆 5 ? m ? 1 恰有公共点,则m的范围

B、x+2y- 4=0 2C、2x+3y-12=0 2

(C )

A、(0,1)

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )

3、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为300的直线,

16 则弦长 |AB|= _______ , 5

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
椭圆的弦所在的直线方程.

x y 直线l:y ? x ? 2 解 : (1)椭圆 ? ? 1 F (2, 0) 9 5 2 得: x ? 36 x ? 9 ? 0 14 ?y ? x ? 2 由? 2 18 9 2 ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?5 x ? 9 y ? 45 7 14 6 11 2 2 ?弦长 ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ? x2 ? 7

2

2

练习: 已知椭圆5x2+9y2=45,椭圆的右焦点为F, (1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.

(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点
? A(1,1)在椭圆内。 设以A为中点的弦为MN且M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ) ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 5x12 ? 9 y12 ? 45 两式相减得: x12 ? x22) (y12 ? y22) 0 ( 5 ?9 ? 2 2 5x2 ? 9 y2 ? 45 5 y1 ? y2 5 x1 ? x2 ?? ? kMN ? ?? ? 9 x1 ? x2 9 y1 ? y2 5 ?以A为中点的弦为MN 方程为:y ? 1 ? ? ( x ? 1) 9

椭圆的弦所在的直线方程.

解 : (2)5 ?12 ? 9 ?12 ? 45

? 5x ? 9 y ? 14 ? 0

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

相交

=

1 1 ? 2 · y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ? k

(适用于任何曲线)

3、弦中点问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

练习巩固:

x2 y2 1.过椭圆 ? ? 1 内一点 M (2,1) 引一条弦,使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. x ? 2 y ? 4 ? 0 x2 y2 2.椭圆 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 F1 (?3,0), F2 (3,0) 且和直线 x ? y ? 9 ? 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.

10

x y ? ?1 45 36



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