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2018-2019学年高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第1节第3课时参数方程和普通方程的互化-含答案

数学 第 3 课时 参数方程和普通方程的互化 [核心必知] 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方 程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使 x,y 的取值范围保持一致. [问题思考] 1.将参数方程化为普通方程的实质是什么? 提示:将参数方程化为普通方程的实质是消参法的应用. 2.将普通方程化为参数方程时,所得到的参数方程是唯一的吗? 提示:同一个普通方程,选取的参数不同,所得到的参数方程也不同,所以在写参数方 程时,必须注明参数是哪一个. 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. (x-1)2 (y-2)2 (1) + =1,x= 3cos θ +1.(θ 为参数) 3 5 (2)x2-y+x-1=0,x=t+1.(t 为参数) [精讲详析] 本题考查化普通方程为参数方程的方法,解答本题只需将已知的变量 x 代 数学 入方程,求出 y 即可. (x-1)2 (y-2)2 (1)将 x= 3cos θ +1 代入 + =1 得: 3 5 y=2+ 5sin θ . ? ?x= 3cos θ +1, ∴? (θ 为参数) ?y= 5sin θ +2. ? 这就是所求的参数方程. (2)将 x=t+1 代入 x2-y+x-1=0 得: y=x2+x-1=(t+1)2+t+1-1 =t2+3t+1 ? ?x=t+1, ∴? (t 为参数) ?y=t2+3t+1. ? 这就是所求的参数方程. ————— ————————————— (1)求曲线的参数方程,首先要注意参数的选取,一般来说,选择参数时应注意以下两 点:一是曲线上每一点的坐标(x,y)都能由参数取某一值唯一地确定出来;二是参数与 x,y 的相互关系比较明显,容易引出方程. (2)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价. 1.把方程 xy=1 化为以 t 为参数的参数方程是( ) ?x=t , A.? 1 ?y=t-2 1 2 x=sin t, x=cos t, x=tan t, ? ? ? ? ? ? B.? C.? D.? 1 1 1 y= y= y= ? ? ? ? sin t ? cos t ? tan t 解析:选 D 由 xy=1 得 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),而 A 中 x∈[0,+∞),B 中 x∈[- 1,1],C 中 x∈[-1,1],只有 D 选项中 x、y 的取值范围与方程 xy=1 中 x、y 的取值范围 相对应. 数学 ?x=2(e +e 分别在下列两种情况下,把参数方程? 1 ?y=2(e -e t t 1 -t )cos θ , 化为普通方 -t )sin θ 程: (1)θ 为参数,t 为常数; (2)t 为参数,θ 为常数. [精讲详析] 本题考查化参数方程为普通方程的方法,解答本题需要分清谁为参数,谁 为常数,然后想办法消掉参数. (1)当 t=0 时,y=0,x=cos θ ,即|x|≤1,且 y=0; x y 当 t≠0 时,cos θ = ,sin θ = , 1 t -t 1 t -t (e +e ) (e -e ) 2 2 而 sin 2θ +cos 2θ =1, 即 y2 + =1. 1 t -t 2 1 t -t 2 (e +e ) (e -e ) 4 4 x2 1 (2)当 θ=kπ,k∈Z 时,y=0,x=± (et+e-t), 2 即|x|≥1,且 y=0; π 1 当 θ=kπ+ ,k∈Z 时,x=0,y=± (et-e-t), 2 2 即 x=0; kπ 当 θ≠ ,k∈Z 时, 2 ? ?e +e 得? e -e ? ? t t -t= -t ? ?2e =cos θ +sin θ , 即? 2y 2x 2y = , ?2e = - . sin θ cos θ sin θ ? t -t 2x , cos θ 2x 2y 2x 2y 2x 2y 得 2et·2e-t=( + )( - ), cos θ sin θ cos θ sin θ x2 y2 即 - =1. cos 2θ sin 2θ ————— ————————————— (1)将参数方程化为普通方程时,消去参数的常用方法有: 数学 ①代入法. 先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表示), 再代入另一个方程. ? ?x=a? ?t+ t ?cos θ , ②利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.例如对于参数方程? 1? ?y=a? ?t- t ?sin θ , 如果 t 是常数,θ 是参数,那么可以利用公式 sin2θ +cos2θ =1 消参;如果 θ 是常数,t 是 1 2 1 2 t+ ? -?t- ? =4 消参. 参数,那么可以利用? ? t? ? t? (2)一般来说,如果消去曲线的参数方程中的参数,就可以得到曲线的普通方程,但要 注意, 这种消参的过程要求不减少也不增加曲线上的点, 即要求参数方程和消去参数后的普 通方程是等价的. 1 ? ?x=1+2t, 2.已知某曲线 C 的参数方程为? (其中 t 是参数,a∈R),点 M(3,1)在该曲 2 ?y=at ? 线上. (1)求常数 a; (2)求曲线 C 的普通方程. ? ? ?1+2t=3 ?t=1, 解:(1)由题意可知有? 2 ,故? ∴a=1. ?at =1 ?a=1, ? ? ? ?x=1+2t, (2)由已知及(1)可得,曲线 C 的方程为? ?y=t2. ? x-1 x-1 2 由第一个方程得 t= 代入第二个方程得 y=( ) ,即(x-1)2=4y 为所求. 2 2 ?x=-4+cos t, ?x=8cos θ , ? ? 已知曲线 C1:? (t 为参数),C2:? (θ

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