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2013届高考理科数学第一轮总复习课件21


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立足教育 开创未来

第二章

函数





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考 点 搜 索

●平移变换 ●对称变换 ●伸缩变换 ●快速画出函数 ax ?(c≠0,a,b不同 b 时为零)型的草图y ? cx ? d ●依据图象确定解析式 ●数形结合的思想方法 ●图象创新题的解题策略高
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高 考 猜 想

借助图象研究函数的性质是一种常用的方 法,高考对图象的考查,既有容易的选 择题,又有综合程度较高的解答题;主 要形式可能有(1)函数的图象;(2)函数图 象变换的知识(包括图象对称性的证明); (3)数形结合思想;(4)识图读图能力等

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? 一、函数图象的三种变换 ? 1. 平移变换:y=f(x)的图象向左平移a(a >0)个单位长度,得到 y=f(x+a) 的图象;y=f(x-b) (b>0)的图象可由 y=f(x)的图象 向右平移b个单位长度 而得到; y=f(x)的图象向上平移b (b>0) 个单位长度,得到 的 图象;
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?
? ? ? ? ?

y=f(x)+b (b<0)的图象可由y=f(x)的图
象 向下平移-b个单位长度 而得到.

2. 对称变换: y=f(-x)与y=f(x)的图象关于 y轴 对称; y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴 对称; y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于 对 原点 称; 直线y=x ? y=f-1(x)与y=f(x)的图象关于 对 称;
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?

y轴对称 y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分 ,其余部分不变而 得到; y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x≥0 时的图象,再利用偶函数的图象关 以x轴为对称轴翻折到x轴上方 于 ,作 当x<0时 出 ? 的图象.
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? ?

3. 伸缩变换: 纵坐标 y=Af(x) (A>0)的图象,可将y=f(x)的 图象上所有的点的 变为原 横坐标 来的A倍, 不变而得到; ? y=f(ax) (a>0)的图象,可将y=f(x)的图 1 横坐标 象上所有的点的 a .变为原来的 倍, 纵坐标 ? 不变而得到.
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? ?

二、几个重要结论 1. 若f(a+x)=f(b-x),对任意x∈R恒成立, 则y=f(x)的图象关于 x ? a ? b 对称. 直线 2 ? 2. 若函数f(x)的图象关于直线x=m及x=n 对称,则f(x)是周期函数,且最小正周期 为 . 2|m-n| ? 3. 函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关 于 b?a 直线 x ? 2 ? 对称.
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? 1.若把函数y=f(x)的图象作平移,可以使图 象上的点P(1,0)变换成点Q(2,2),则函 数y=f(x)的图象经此变换后所得图象对应的 函数为( ) ? A. y=f(x-1)+2 B. y=f(x-1)-2 ? C. y=f(x+1)+2 D. y=f(x+1)-2

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?

??? ? a ? PQ ? ?1, 2 ? . 以使图象上的点P(1,0)变换成点Q(2,2)
按a=(1,2)平移

? 若把函数y=f(x)的图象作平移,可

?平移向量 ? 所以函数y=f(x)的图象 ? 得y=f(x-1)+2.故选A.

A

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? 2. 已 知 函 数 y=f(x)(x∈R) 满 足 f(x+2)=f(x) , 且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则y=f(x)与 y=log5x的图象的交点个数为( ) ? A. 2 B. 3 ? C. 4 D. 5

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?

由f(x+2)=f(x)知函数y=f(x)的周期为 2,作出其图象如下, ? 当x=5时,f(x)=log55=1; ? 当x>5时,log5x>1,y=f(x)与y=log5x的图象不 再有交点,故选C.

C
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a?x f ( x) ? x ? a ?1

? 3.已知函数 是 .

a?x f ( x) ? 象的对称中心是 x ? a ? 1 则实数a的值
3 ( ?1, ), 2

3 ( ?1, ), 2

1 2 的反函数f-1(x)的图

a?x f函数 ( x) ? ? x ? a ?1 a?x f ( x) ? 的对称中心是 1 x?a?

3 ( ?1, ) ? 的反函数f-1(x)的图象 2

? 所以

3 a ?1 ? 2

1 a? 的对称中心是 2

? 而

的对称中心是(a+1,-1),

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1 ? 作出下列函数的图象: y ? (lgx ? | lgx |); 2 1 |x| ? (1) y?( ) . 2 ? (2)

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? (1)y= 0(0<x<1) ? lgx (x≥1),如图1. ? (2)y= ( 1)x(x≥0) ? 2x (x<0), 2 ? 作出 的图象,保留 图象中 1 x 1 x x≥0的部分,加上 的图象中x>0部 y?( ) y?( ) 2 2 1 x 分关于y轴的对称部分,即得 的图 y?( ) 1 |x| 象,如图2实线部分. 2
y?( ) 2
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? ?

题型二:识图问题 2. 函数y=-xcosx的图象是(

)

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? 令y=f(x)=-xcosx, ? 则f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x), ? 即f(x)是奇函数且f(0)=0, ? 所以y=-xcosx的图象是关于坐标原点O成中 心对称.从而可知选项A与C均不正确. ? 0<x< ? 又当 2 时,y=-xcosx<0, ? ? 则当 ? 2 <x<0 时,y=-xcosx>0, ? 于是选项B是不对的,故选D. D
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? 点评:由解析式选择函数图象的问题,可从 这些方面入手:①图象是否过特殊点,如与 坐标轴的交点坐标;②根据定义域或值域, 图象是否位于特殊位置,如经过哪些象限, 不经过哪个象限;③图象是否是对称的,如 是不是奇(偶)函数;④函数的单调性或单调 区间是否能很快判断等等,再结合排除法, 最后可得出函数的图象.

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?

向高为H的水瓶注水,注满为止,如果注 水量V与水深h的函数关系的 图象如右图所示,那么水瓶 的形状是( )

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? 解法1:(定性判断) ? 从函数单调性考虑,观察函数图象发现,V 开始“增得快”,后来“增得慢”,A、C、 D都不具备此特性,也就是由函数图象可知, 随高度 h 增加,体积V也增加,并且随单位 高度h增加,选项A的体积V的增加量变大; 选项B的体积V的增加量变小;选项C的体积 V的增加量先变小后变大;选项D的体积V的 增加量不变,故选B.

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? ? ? ?

解法2:(定量判断) 只要取 H h? , 由图象可知 2 H V0 (V0为水瓶容水容量), f ( )> 2 2 即可排除A、C、D,从而选B B

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? ? ? ? ?

题型三:函数图象的应用及对称问题 3. 已知f(x)=| x2 -4x+3|. (1)求f(x)的单调区间; (2)求m的取值范围, 使方程f(x)=mx有4个不同实根.

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? (1)f(x)= (x-2)2-1(x≤1或x≥3) ? -(x-2)2+1(1<x<3), ? 单调递增区间为[1,2],[3,+∞); ? 单调递减区间为(-∞,1),(2,3).

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? (2)设y=mx与y=f(x)有四个公共点, ? 设直线l:y=kx (k≠0)与y=f(x)有三个公共 点, ? 则0<m<k. ? 由 y=kx ? y=-x2+4x-3, ? 得x2+(k-4)x+3=0. ①

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k ? 4 ? -12=0, ? 令Δ=(k-4)22 3. ? 得 k ? 4 ? 2 3, 3 ? 当 x1 ? x2 ? ? 3 ? (1,) 方程① 的根 ,舍去. k ? 4 ? 2 3, ? 当 时,方程① x1 ? x2 ? 3 ? (1,) 3 的根 ,符合题意. ? 故 0<m<4 ? 2 3 ,即所求实数m的取值范 围是,? 2 3 ). (0 4
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? 点评:根据图形可以直观地观察图象的性 质,这体现了数形结合思想.与函数有关的 问题:如求解析式、比较大小、解不等式、 求参数等问题,常常借助于函数的图象来 帮助解决.

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? 已知

a f ( x) ? ? x a ? a

(a>0,且a≠1).( 1 , ? 1 )
2

? (1)证明:函数y=f(x)的图象关于点
称;



2

? (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
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?

(1)证明:y=f(x)的定义域是R,

1 1 ( ,? ) ? 设P(x,y)是函数图象上任意一点, 2 2

? 则点P(x,y)关于点
a f (x ? Q(1-x,-1-y). ) ? ? x a ? a

的对称点是

?

a ax ?? x , 由已知?1 ? y ? ?1 ? x a ? a a ? a
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? 所以

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? 又

a a ·x a ax f (1 ? x) ? ? 1? x ?? ?? x , x a ? a a ? a· a a ? a

? 所以-1-y=f(1-x). ?
1 1 ( ,? ) 即点Q(1-x,-1-y)也在函数y=f(x)的图象上, 2 2

? 故函数y=f(x)的图象关于点 ? (亦可用f(x)+f(1-x)=-1证明)

对称.

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? ? ? ? ?

(2)由(1)有f(x)+f(1-x)=-1, 令S=f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3), 则S=f(3)+f(2)+f(1)+f(0)+f(-1)+f(-2), 上面两式相加得:2S=-6,即S=-3, 故所求的值是-3.

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参考题
y? ? 题型 log图象变换问题 1x 2 ? 1.将函数 的图象沿x轴向右平移1 个单位长度得图象C1,图象C2与C1关于原 点对称,图象C3与C2关于直线y=x对称, ? 求图象C3对应的函数解析式.

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y ? log 1 ( x ? 1),
? ? C 2: 由已知得C1) y ? ?log 1 (? x ? 1: ? log 2 (? x ? 1).
2

2

? 由y=log2(-x-1),

? 得x=-2y-1,
? 所以C3:y=-2x-1.
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? 2. 标缩短到原来的 倍,然后向右平移 个单位长度,再将整个图象向下平移4个 单位长度, ? 求所得图象对应的解析式.

1 1 把函数y=log3(x-1)的图象上各点的横坐 2 2

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1 2

?
?

y=log3(x-1)
2

1 横坐标缩短到原来的 2



1 向右平移 个单位长度 y ? log3 2( x [ y=log3(2x-1)? ) ? 1]

? =log3(2x-2)

向下平移4个单位长度 y=log (2x-2)-4. 3

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? 1.作函数图象的基本方法有两种: ? 描点法和变换法.作图时必须考虑函数的 定义域,并注意化简或变形函数解析式.

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? 2. 变换法作图时,应先选定一个基本函数, 通过变换原理,找出所求作的函数图象与这 个基本函数图象间的关系,再分步画出图形. ? 3. 对于给定函数的图象,要能从图象的左 右、上下的分布范围、变化趋势、对称性等 方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参 数的关系.

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