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湖北省黄冈中学等八校2011届高三第二次联考理科数学试卷

湖北省黄冈中学等八校 湖北省黄冈中学等八校 2011 届高三第二次联考 黄冈中学等

数 学 试 题(理)
全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 ) 1.若集合 A = {x | A.2

x = x 2 ? 2, x ∈ R}, B = (1, m), 若A ? B ,则 m 的值为
B.-1 C.-1 或 2 D.2 或 2





2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 若a4 = 9, a6 = 11 ,则 S9 等于





A.180 B.90 C.72 D.10 3.在样本的频率分布直方图中,共有 5 个长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 4 个小长方形的面积和的 A.80

1 ,且样本容量为 100,则正中间的一组的频数为 4
C.20 D.0.2





B.0.8

4.若满足条件 C = 60°, AB = 3, BC = a 的 ?ABC 有两个,那么 a 的取值范围是( A. (1, 2 ) 5.复数 2 + i与复数 A. B. 2, 3 ) ( C. ( 3, 2) D. (1,2) (



π
6

1 在复平面上的对应点分别是 A、B,则 ∠AOB 等于 3+ i
B.



π

4

C.

π

3

D.

π

2
( )

?x ≥ 0 ? 2 2 6.已知 x,y 满足约束条件 ?3 x + 4 y ≥ 4, 则x + y 的最小值是 ?y ≥ 0 ?
A.

4 5

B.

16 25

C.

4 3

D. 1

7.2011 年某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,后四位数从“0000” 到“9999”共 10000 个号码。公司规定:凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作 为“金兔卡” ,享受一定优惠政策,则这组号码中“金兔卡”的个数为 ( ) A.2000 B.4096 C.5904 D.8320 8. 有三个命题①函数 f ( x ) = ln x + x ? 2 的图像与 x 轴有 2 个交点; ②函数 y =
2 的反函数是 y = ( x ? 1) ( x ≥ ?1) ;③函数 y =

x ? 1( x ≥ 0)

9 ? x2 的图象关于 y 轴对称。其 | x + 4| + | x ?3|

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中真命题是 ( ) A.①③ B.② C.③ D.②③ 9.若长度为定值的线段 AB 的两端点分别在 x 轴正半轴和 y 轴正半轴上移动,O 为坐标原 点,则 ?OAB 的重心、内心、外心、垂心的轨迹不可能是 ( ) A.点 B.线段 C.圆弧 D.抛物线的一部分 10.已知点 G 是 ?ABC 的重心,点 P 是 ?GBC 内一点,若 AP = λ AB + ? AC , 则λ + ? 的 取值范围是 A. ( ,1) ( B. ( ,1) )

uuu r

uuu r

uuur

1 2

2 3

C. (1, )

3 2

D. (1,2)

二、 填空题: (本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 25 分。 共 把答案填在答题卡中相应的横线上。 ) 11.二项式 ( ? 2 x ) 展开式中,除常数项外,各项系数的和为
2 9

1 x



12.边长是 2 2 的正三角形 ABC 内接于体积是 4 3π 的球 O,则球面上的点到平面 ABC 的最大距离为 。

13.函数 f ( x ) = cos( + ? )(0 < ? < 2π ) ,在区间 ( ?π , π ) 上单调递增,则实数 ? 的取值范 围为 14.已知过椭圆 。

x 3

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的右焦点 F 斜率是 1 的直线交椭圆于 A、B 两点, a2 b2


若 AF = 2 FB ,则椭圆的离心率是

uuu r

uuu r

15.在数学中“所有”一词,叫做全称量词,用符号“ ? ”表示; “存在”一词,叫做存在 量词,用符号“ ? ”表示。设 f ( x ) =

x2 ? 3x + 3 ( x > 2), g ( x) = a x (a > 1, x > 2). ①若 2
; ②若 ?x1 ∈ (2, +∞) , 。

?x0 ∈ (2, +∞) , f ( x0 ) = m 成立, 使 则实数 m 的取值范围为 ?x2 ∈ (2, +∞)使得f ( x1 ) = g ( x2 ) ,则实数 a 的取值范围为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分) 已知 a = (cos x + sin x, sin x ), b = (cos x ? sin x, 2 cos x ). (I)求证:向量 a 与向量 b 不可能平行; (II)若 a·b=1,且 x ∈ [ ?π , 0] ,求 x 的值。

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17. (本小题满分 12 分) 已知某高中某班共有学生 50 人,其中男生 30 人,女生 20 人,班主任决定用分层抽样 的方法在自己班上的学生中抽取 5 人进行高考前心理调查。 (I)若要从这 5 人中选取 2 人作为重点调查对象,求至少选取 1 个男生的概率; (II)若男生学生考前心理状态好的概率为 0.6,女学生考前心理状态好的概率为 0.5,ξ 表示抽取的 5 名学生中考前心理状态好的人数,求 P (ξ = 1)及Eξ .

18. (本小题满分 12 分) 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=a,E 为棱 A1D1 中点。 (I)求二面角 E—AC—B 的正切值; (II)求直线 A1C1 到平面 EAC 的距离。

19. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是正数组成的数列, 其前 n 项和 2 S n = an + an ( n ∈ N ), 数列{bn } 满足 b1 =
2 *

3 , 2

bn +1 = bn + 3an (n ∈ N * ).
(I)求数列 {an },{bn } 的通项公式; (II)若 cn = anbn (n ∈ N ) ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn , 求 lim
*

Tn . n →∞ c n

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20. (本小题满分 13 分) 若圆 C 过点 M(0,1)且与直线 l : y = ?1 相切,设圆心 C 的轨迹为曲线 E,A、B 为 曲线 E 上的两点,点 P (0, t )(t > 0), 且满足 AB = λ PB (λ > 1). (I)求曲线 E 的方程; (II)若 t=6,直线 AB 的斜率为

uuu r

uuu r

1 ,过 A、B 两点的圆 N 与抛物线在点 A 处共同的切 2

线,求圆 N 的方程; (III)分别过 A、B 作曲线 E 的切线,两条切线交于点 Q,若点 Q 恰好在直线 l 上,求 证:t 与 OA ? OB 均为定值。

uuu uuu r r

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = ax + ln x, a ∈ R. (I)当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (II)对 f ( x ) 图象上的任意不同两点 P ( x1 , x2 ), P ( x2 , y2 )(0 < x1 < x2 ) ,证明 f ( x) 图象 1 上存在点 P0 ( x0 , y0 ), 满足x1 < x0 < x2 ,且 f ( x) 图象上以 P0 为切点的切线与直线 P1P2 平等; (III)当 a =

3 * 时,设正项数列 {an } 满足: an +1 = f '( an )( n ∈ N ), 若数列 {a2 n } 是递减 2

数列,求 a1 的取值范围。

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