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高讲空间的平行关系(教师版)_图文

第3讲
一.学习目标

空间的平行关系(教师版)

1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义. 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定 定理,并知道其地位和作用. 3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系 的简单问题. 4.理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,并且会灵活运用. 5.会用文字、符号、图形三种语言准确地描述线面平行和面面平行的性质定理,并能判断 由数学符号给出条件的线线、线面、面面间的位置关系.

二.重点难点
1. 能应用直线与平面平行、 平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行, 面面平行. (重 点、易错点) 2. 理解直线与平面平行、 平面与平面平行的性质定理的含义并能应用定理解决有关问题. (重 点) 3.理解两个定理的含义,并会应用.(难点 )

三.知识梳理
1.线面平行、面面平行的判定定理 定理 表示 线面平行的判定定理 面面平行的判定定理

平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行 文字叙述 ,则该直线与此平面平行

一个平面内的 两条相交 直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行

符号表示

a∥b ? ?

a?α ? ? b?α??a∥α

? ? a∩b=P ?α∥β ? a∥β ? b∥β ?
a?α b?α

图形表示

2.线面平行、面面平行的性质定理 定理 线面平行的性质定理 表示 面面平行的性质定理

- 1 - / 14

文字 叙述

一条直线与一个平面平行,则过这条 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 直线的任一平面与此平面的交线 那么它们的交线平行 与该直线平行 a∥α

符号 表示

? ? ??a∥b ? ?

α∥β

? ? ??a∥b ? ?

图形 表示

作用

线面平行?线线平行

面面平行?线面平行

四.典例剖析
题型一 线面、面面平行判断题

例 1(1)1.以下说法(其中 a,b 表示直线,α 表示平面) ①若 a∥b,b?α,则 a∥α;②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b∥α,则 a∥α;④若 a∥α,b?α,则 a∥b. 其中正确说法的个数是( ) A.0 B.1 C.2 答:A

D.3

(2)(课本习题改编)下面命题中正确的是( ) ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 解析: ①②中两个平面可以相交, ③是两个平面平行的定义, ④是两个平面平行的判定定理. 答案:D (3)(2013·浙江高三调研)已知直线 l∥平面 α,P∈α,那么过点 P 且平行于直线 l 的直 线( )A.只有一条,不在平面 α 内 B.有无数条,不一定在平面 α 内 C.只 有一条,且在平面 α 内 D.有无数条,一定在平面 α 内 解析:选 C 由直线 l 与点 P 可确定一个平面 β,且平面 α,β 有公共点,因此它们 有一条公共直线,设该公共直线为 m,因为 l∥α,所以 l∥m,故过点 P 且平行于直线 l 的 直线只有一条,且在平面 α 内. 课堂小结:线面平行、面面平行的基本问题多以小题出现,处理方法是数形结合,先画图, 再确定线与面的位置关系. 课堂练习 1: (一)判断题: (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( ) (3)若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等,则直线和平面平行.( ) (4)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α.( ) (5)若直线 a∥α,P∈α,则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条.( ) (6)空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则 EF∥平面 BCD.( ) - 2 - / 14

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [解析] (1)这条直线有可能在这个平面内. (2)这条直线与平面内的任一直线的位置关系是平行或异面. (3)直线与平面平行或相交.(4)还有另一种可能:a?α. (5)画图可知,过点 P 且平行于 a 的直线只有一条,且在平面 α 内. (6)EF 为△ABD 的中位线, 故 EF∥BD, 由直线与平面平行的判定定理可知, EF∥平面 BCD. (二)判断题:(1)a?α,b?α,a∥β,b∥β?α∥β.( ) (2)α∥β,a?α,b?β,则 a,b 平行或异面.( ) (3)α∥β,β∥γ?α∥γ.( ) (4)若 α∥β,直线 a∥α,则 a∥β.( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× [解析] (1)由平面与平面平行的判定定理知,这两条直线必须是相交直线. (2)两个平面平行, 则两个平面无公共点, 故分别在这两个平面内的两条直线没有交点. (3)此为平面平行的传递性.(4)还有另一种可能:a?β.

题型二
1.构造平行四边形证:

线面平行的证明

例 2 (2013 年连云港模拟)如图,在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点.(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 EBCD 的体积.

[解析] (1)证明:取 BC 中点 G,连接 AG,EG,因为 E 是 B1C 的中点,所以 EG∥BB1, 1 且 EG= BB1. 由直棱柱知,AA1 綊 BB1,而 D 是 AA1 的中点,所以 EG 綊 AD,所以四边形 EGAD 2 是平行四边形,所以 ED∥AG,又 DE?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. (2)因为 AD∥BB1,所以 AD∥平面 BCE,所以 VEBCD=VDBCE=VABCE=VEABC,由(1)知,DE∥平 1 1 1 面 ABC,所以 VEABC=VDABC= AD· BC·AG= ×3×6×4=12. 3 2 6

课堂练习 2:(2012·广东省深圳市模拟)如图,AA1、BB1 为圆柱 OO1 的母线,BC 是底面圆 O 的直径,D、E 分别是 AA1、CB1 的中点,DE⊥平面 CBB1.证明:DE∥平面 ABC.

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1 证明:连接 EO,OA.因为 E,O 分别为 B1C,BC 的中点,所以 EO∥BB1,且 EO= BB1. 2 1 又 DA∥BB1,且 DA= BB1,所以 DA 綊 EO,所以四边形 AOED 是平行四边形, 2 即 DE∥OA,DE?平面 ABC,OA?平面 ABC,所以 DE∥平面 ABC. 2,构造三角形中位线证。

例 3 [2012·辽宁卷改编] 如图 7-40-1, 直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC=λAA′,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′ 的中点.证明:MN∥平面 A′ACC′. 证法一: :连接 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三 棱柱.所以 M 为 AB′中点.又因为 N 为 B′C′的中点.所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′,因此 MN∥平面 A′ACC′. 证法二: (构造平行四边形证) 课堂练习 3: (2013 年高考辽宁卷(文) ) 如图, AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点. (I)求证: BC ? 平面PAC; (不做) (II)设 Q为PA的中点,G为?AOC的重心,求证:QG / /平面PBC.

提示:连 AG,延长交 BC 于 E,连 PE,由平几知识可证得 G 为 AE 中点,故 QG∥PE. 可得证。

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3,运用比例性质证: 例4 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE.

如图,连结 AQ,并延长交 BC 延长线于 K,连结 EK,∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ,∴ = ,又 AD∥BK,∴ = ,∴ =

AP DQ PE BQ

DQ AQ BQ QK

AP AQ ,∴PQ∥EK. PE QK

又 PQ?平面 BCE,EK?平面 BCE,∴PQ∥平面 BCE. 课堂练习 4 正四棱锥 P-ABCD 的各条棱长都是 13,M、N 分别是 PA 和 BD 上的点,且

PM BN 5 ? ? ,求证 MN∥平面 PBC. MA ND 8
[解析] 在平面 PAB 内过 M 作 ME∥AB 交 PB 于 E,在平面 BCD 内过 N 作 NF∥DC 交 BC 于 F, 连 EF,可得 ME∥NF.

∴ME=NF,∴MNFE 是平行四边形,∴MN∥EF,∵MN?平面 PBC,EF?平面 PBC, ∴MN∥平面 PBC. 4.构造平行平面证: 例 5 (2013·盐城模拟) 如图,P 为?ABCD 所在平面外一点,M,N 分别为 AB,PC 的中点,

平面 PAD∩平面 PBC=l. (1)判断 BC 与 l 的位置关系,并证明你的结论; (2)判断 MN 与平面 PAD 的位置关系,并证明你的结论.

- 5 - / 14

[解] (1)结论:BC∥l,因为 AD∥BC,BC?平面 PAD,AD?平面 PAD, 所以 BC∥平面 PAD.又因为 BC?平面 PBC,平面 PAD∩平面 PBC=l,所以 BC∥l. (2)结论:MN∥平面 PAD. 设 Q 为 CD 的中点,如右图所示,连接 NQ,MQ,则 NQ∥PD,MQ∥AD. 又因为 NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D,所以平面 MNQ∥平面 PAD.又因为 MN?平面 MNQ, 所以 MN∥平面 PAD.

题型三

面面平行的证明

例 6 (2013·江苏卷)如图,在三棱锥 SABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB, 过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F.点 E,G 分别是侧棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC;

(2)略. 证明:(1)因为 E,G 分别是侧棱 SA,SC 的中点,所以 EG∥AC. 又 EG?平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 EG∥平面 ABC. 因为 AB=AS,AF⊥SB,所以 F 是 SB 的中点, 所以 FG∥BC,而 FG?平面 ABC,BC?平面 ABC,所以 FG∥平面 ABC. 又因为 EG∩FG=G,EG,FG?平面 EFG,所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)略. 课堂练习 5 (2013 年高考陕西卷 (文) ) 如图, 四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,

O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, AB ? AA1 ? 2 .
D1 A1 B1 C1

(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

O1 . 【答案】解: (Ⅰ) 设 B1 D1线段的中点为
D A O B C

? BD和B1 D1是ABCD ? A1 B1C1 D1的对应棱? BD // B1 D1
.

同理, ? AO和A1O1是棱柱ABCD ? A1 B1C1 D1的对应线段
? AO // A1O1且AO // OC ? A1O1 // OC且A1O1 ? OC ? 四边形A1OCO1为平行四边形
- 6 - / 14

? A1O // O1C.且A1O ? BD ? O, O1C ? B1 D1 ? O1 ? 面A1 BD // 面CD1 B1 .(证毕)
(Ⅱ) ? A1O ? 面ABCD? A1O是三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的高 . 在正方形 AB CD 中,AO = 1 . 在RT?A1OA中,A1O ? 1.
三棱柱 A1 B1 D1 ? ABD 的体积 V A1B1D1 ? ABD ? S ?ABD ? A1O ? 1 ? ( 2 ) 2 ?1 ? 1. 2

所以, 三棱柱A1 B1 D1 ? ABD的体积VA B D ? ABD ? 1 .
1 1 1

课堂小结:证明两个平面平行的关键在于证明线面平行,在证明面面平行时,可利用面面平 行判定定理的推论:如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线, 则这两个平面平行.即证一个平面内的两条相交直线与另一个平行。

题型四

线面、面面平行探究问题

例 7(2012 福建理)如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1中

AB ? AD ? 1, E 为 CD 中点.(Ⅰ)求证: B1E ? AD1
(Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P ,使得 DP / / 平面 B1 AE ?若存 在,求 AP 的长;若不存在,说明理由.(3)略。

例8

如图所示,正方体 ABCD-A B C D 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD 的中点,点 Q 在
1 1 1 1 1

CC 上.问:点 Q 在什么位置时,平面 D BQ∥平面 PAO?
1 1

- 7 - / 14

[解析] 当 Q 为 CC 的中点时,平面 D BQ∥平面 PAO.证明如下:在正方体 ABCD-A B C D 中
1 1 1 1 1 1

连接 PQ.∵P,Q 分别为 DD ,CC 的中点,∴PQ 綊 CD,CD 綊 AB.∴PQ 綊 AB,∴四边形 ABQP
1 1

是平行四边形,∴PA∥QB.又∵QB?平面 D BQ,PA?平面 D BQ,∴PA∥平面 D BQ.
1 1 1

同理可得 PO∥平面 D BQ.又∵PA∩PO=P,∴平面 D BQ∥平面 PAO.
1 1

课堂练习 6 (1)如图所示,

在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. [审题视点] 取 AB、BB1 的中点分别为 E、F,证明平面 DEF∥平面 AB1C1 即可. 解 存在点 E,且 E 为 AB 的中点.

下面给出证明: 如图,取 BB1 的中点 F,连接 DF,则 DF∥B1C1.∵AB 的中点为 E,连接 EF,则 EF∥AB1. B1C1 与 AB1 是相交直线,∴平面 DEF∥平面 AB1C1.而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1. 课堂小结:解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果存在,从这个结果 出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件,则存在;如 果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾),则不存在. (2) 如图,

在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点.在 线段 PD 上是否存在一点 E,使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请 说明理由. 解 在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

- 8 - / 14

证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE, 1 1 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以 NE 綉 AD.又在平行四边形 ABCD 中,CM 綉 AD.所以 2 2 NE 綉 MC,即四边形 MCEN 是平行四边形.所以 NM 綉 EC. 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE,所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

五.品味高考(家庭作业)
1. (2013 年高考上海卷(理) )如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1 平行于平面 DA1C,并求直线 BC1 到平面 D1AC 的距离.
D A D1 B C1 B1 C

A1

【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1 为长方体,故 AB // C1D1 , AB ? C1D1 ,

故 ABC1D1 为平行四边形,故 BC1 // AD1 ,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1 平行于平 面 DA1C; 直线 BC1 到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h

1 1 1 ? ( ?1? 2) ?1 ? 3 2 3 3 而 ?AD1C 中, AC ? D1C ? 5, AD1 ? 2 ,故 S ?AD1C ? 2 1 3 1 2 2 所以, V ? ? ? h ? ? h ? ,即直线 BC1 到平面 D1AC 的距离为 . 3 2 3 3 3 2.(2013 年高考湖北卷(理) )如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A, B 的点,直线 PC ? 平面 ABC , E , F 分别是 PA , PC 的中点. (I)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l ,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系 ,并加
考虑三棱锥 ABCD1 的体积,以 ABC 为底面,可得 V ? 以证明;

第 19 题 图 - 9 - / 14

【答案】解:(I)

EF AC , AC ? 平面ABC , EF ? 平面ABC

? EF 平面ABC ,又 EF ? 平面BEF ? EF l ? l 平面PAC
3. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学 (理) ) 如图,直棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

D, E 分别是 AB, BB1 的中点, AA1 ? AC ? CB ?
A1

2 AB . 2
C1

B1

A

E

C

D
(Ⅰ)证明: BC1 / / 平面 A1CD ;
【答案】

B

4.(2013 年高考福建卷(文) )

如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PD ? 面ABCD , AB / / DC ,

AB ? AD ,

BC ? 5 , DC ? 3 , AD ? 4 , ?PAD ? 60 .
(1)当正视图方向与向量 AD 的方向相同时,画出四棱锥 P ? ABCD 的正视图.(要求标 - 10 - / 14

出尺寸,并画出演算过程);(2)若 M 为 PA 的中点,求证: DM / / 面PBC ; (3)求三棱锥 D ? PBC 的体积.

【答案】解法一:(Ⅰ)在梯形 ABCD 中,过点 C 作 CE ? AB ,垂足为 E ,

由已知得,四边形 ADCE 为矩形, AE ? CD ? 3 在 Rt ?BEC 中 , 由 BC ? 5 , CE ? 4 , 依 勾 股 定 理 得 : BE ? 3 , 从 而 AB ? 6 又由 PD ? 平面 ABCD 得, PD ? AD 从而在 Rt ?PDA 中,由 AD ? 4 , ?PAD ? 60? ,得 PD ? 4 3 正视图如右图所示: (Ⅱ)取 PB 中点 N ,连结 MN , CN 在 ?PAB 中, M 是 PA 中点, [来源:学&科&网 Z&X&X&K]

1 AB ? 3 ,又 CD AB , CD ? 3 2 ∴ MN CD , MN ? CD ∴四边形 MNCD 为平行四边形,∴ DM CN 又 DM ? 平面 PBC , CN ? 平面 PBC ∴ DM 平面 PBC 1 (Ⅲ) VD ? PBC ? VP ? DBC ? S ?DBC ? PD 又 s? PBC ? 6 , PD ? 4 3 , 3
∴ MN AB , MN ? 所以 VD ? PBC ? 8 3 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)取 AB 的中点 E ,连结 ME , DE 在梯形 ABCD 中, BE CD ,且 BE ? CD ∴四边形 BCDE 为平行四边 形 ∴ DE BC ,又 DE ? 平面 PBC , BC ? 平面 PBC ∴ DE 平面 PBC ,又在 ?PAB 中, ME PB ME ? 平面 PBC , PB ? 平面 PBC ∴ ME 平面 PBC .又 DE ME ? E , ∴平面 DME 平面 PBC ,又 DM ? 平面 DME ∴ DM 平面 PBC (Ⅲ)同解法一
5. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 试题 (纯 WORD 版) ) 如图,圆锥顶点为 p .

底面圆心为 o ,其母线与底面所成的角为 22.5°. AB 和 CD 是底面圆 O 上的两条平行 的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°.

(Ⅰ)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; - 11 - / 14

(Ⅱ)求 cos ?COD .

【答案】解: (Ⅰ)

设面PAB ? 面PCD ? 直线m, AB / /CD且CD ? 面PCD ? AB / /面PCD
? AB ? 面ABCD ? 直线m // 面ABCD .

? AB / /直线m

所以, 面PAB与面PCD的公共交线平行底面 ABCD . (Ⅱ) 设底面半径为 r , 线段 CD的中点为 F,则 ?OPF ? 60?.由题知 tan 22.5? ? PO .
r
, tan 60? ? OF OF ?COD 2 tan 22.5? . ? tan 60? ? tan 22.5? ? ? cos , tan 45? ? PO r 2 1 ? tan 2 22.5?
?COD cos ?COD ? 1 ? 1 ? tan 22.5? ? 2 - 1, ? [ 3( 2 - 1, )] 2 ? 3(3 ? 2 2 ) 2 2

cos ?COD ? 2 cos 2

cos?COD ? 17 - 12 2.所以cos?COD ? 17 - 12 2 . 法二:

6 ( 2012 年高考(浙江理) )如图 , 在四棱锥 P—ABCD 中 , 底面是边长为 2 3 的菱形 , 且 ∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD;

- 12 - / 14

(Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; 7. 2012 年高考辽宁文)如图 ,直三棱柱 ABC ? A/ B / C / , ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2,
/ AA′=1,点 M,N 分别为 A B 和 B / C / 的中点.

(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A/ ACC / ; (Ⅱ)求三棱锥 A/ ? MNC 的体积.

1 Sh,其中 S 为地面面积,h 为高) 3 解:(1) 证明:取 A ' B ' 中点 P,连结 MP,NP,而 M,N 分别是 A B ' 与 B ' C ' 的中点,所以, MP ∥ A A ' ,PN ∥ A ' C ' , 所 以 ,MP ∥ 平 面 A ' AC C ' ,PN ∥ 平 面
(锥体体积公式 V=

A ' AC C ' , 又 MP ? NP ? p , 因此平面 MPN ∥平面 A ' AC C ' , 而
MN ? 平面 MPN,所以,MN∥平面 A ' AC C ' , ( Ⅱ ) ( 解 法 一 ) 连 结 BN , 由 题 意 A?N ⊥ B?C ? , 面 A?B ?C ? ∩ 面

? = B?C ? ,∴ A?N ⊥⊥面 NBC, B? B C C
∴ VA?? MNC ? VN ? A?MC ? (解法 2) VA?? MNC

∵ A?N =

1 B ?C ? =1, 2

1 1 1 VN ? A?BC ? VA?? NBC ? . 2 2 6 1 1 1 ? VA?? NBC ? VM ? NBC ? VA?? NBC ? 2 2 6

8. ( 2012 年 高 考 ( 山 东 文 ) ) 如 图 , 几 何 体 E ? A B C D是 四 棱 锥 , △ ABD 为 正 三 角 形, CB ? CD, EC ? BD .(Ⅰ)求证: BE ? DE ; (Ⅱ)若∠ BCD ? 120? ,M 为线段 AE 的中点, 求证: DM ∥平面 BEC . 证明:(I)设 BD 中点为 O,连接 OC,OE,则由 BC ? CD 知 CO ? BD , 又已知 CE ? BD ,所以 BD ? 平面 OCE. 所以 BD ? OE ,即 OE 是 BD 的垂直平分线,所以 BE ? DE . (II)取 AB 中点 N,连接 MN , DN ,∵M 是 AE 的中点,∴ MN ∥ BE , ∵△ ABD 是等边三角形,∴ DN ? AB .由∠BCD=120°知,∠CBD=30°, 所以∠ABC=60°+30°=90°,即 BC ? AB ,所以 ND∥BC, 所以平面 MND∥平面 BEC,又 DM ? 平面 MND,故 DM∥平面 BEC. 另证:延长 AD, BC 相交于点 F ,连接 EF.因为 CB=CD, ?ABC ? 90 .
0

因为△ ABD 为正三角形,所以 ?BAD ? 60 , ?ABC ? 90 ,则 ?AFB ? 30 ,
0 0
0

- 13 - / 14

所以 AB ?

1 AF ,又 AB ? AD , 2

所以 D 是线段 AF 的中点,连接 DM, 又由点 M 是线段 AE 的中点知 DM // EF , 而 DM ? 平面 BEC, EF ? 平面 BEC,故 DM∥平面 BEC. 9.(2012 年高考广东文)如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,

AB ? 平 面 PAD , AB ∥ CD , PD ? AD , E 是 PB 的 中 点 , F 是 DC 上 的 点 且
DF ? 1 AB , PH 为 ?PAD 中 AD 边上的高.(Ⅰ)证明: PH ? 平面 ABCD ; 2

(Ⅱ)若 PH ? 1 , AD ? 2 , FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (Ⅲ)证明: EF ? 平面 PAB . 解析 :( Ⅰ ) 因为 AB ? 平面 PAD , PH ? 平面 PAD , 所以 AB ? PH . 又 因 为 PH 为 ?PAD 中 AD 边 上 的 高 , 所 以 . P H ? AAB D AD ? A , AB ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , 所以 PH ? 平面 ABCD .

1 1 2 FC ? AD ? ? 1 ? 2 ? , 因 为 E 是 PB 的 中 2 2 2 点 , PH ? 平 面 A B C D, 所 以 点 E 到 平 面 A B C D的 距 离 等 于
( Ⅱ ) S ?BCF ?

1 1 1 , 即 三 棱 锥 E ? BCF 的 高 h ? , 于 是 PH ? 2 2 2 1 1 2 1 2 VE ? B ? S ? ? ? ? . C F ? B h C? F 3 3 2 2 1 2
GE .因为 E 是 PB 的中点,所以 GE ? (Ⅲ)取 PA 中点 G ,连接 GD 、

1 AB 且 GE ∥ AB . 2

而 F 是 DC 上的点且 DF ?

1 AB , DF ∥ AB ,所以 GE ? DF 且 GE ∥ DF .所以四边形 2 GDFE 是平行四边形,所以 EF ∥ GD .而 PD ? AD ,所以 GD ? PA .又因为 AB ? 平面 PAD , GD ? 平面 PAD ,所以 AB ? GD .而 AB PA ? A , AB ? 平面 PAB , PA ? 平面 PAB ,所以 GD ? 平面 PAB ,即 EF ? 平面 PAB .

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