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2018届高三数学(文)教师用书:第5章数列(含答案)

第五章? 数 列 ? ? 第一节 数列的概念与简单表示法 1.数列的有关概念 概念 数列 数列的项 数列的通项 通项公式 前 n 项和 按照一定顺序排列的一列数 数列中的每一个数 数列{an}的第 n 项 an 数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系能用公式 an=f(n)表示, 这个公式叫做数 列的通项公式 数列{an}中,Sn=a1+a2+?+an 叫做数列的前 n 项和 含义 2.数列的表示方法 列表法 图象法 公式 法 通项公式 递推公式 列表格表示 n 与 an 的对应关系 把点(n,an)画在平面直角坐标系中 把数列的通项使用公式表示的方法 使用初始值 a1 和 an+1=f(an)或 a1,a2 和 an+1=f(an,an-1)等表示数列的方 法 3.an 与 Sn 的关系 若数列{an}的前 n 项和为 Sn, ? ?S1,n=1, 则 an=? ?Sn-Sn-1,n≥2. ? 4.数列的分类 [小题体验] 1.已知数列{an}的前 4 项为 1,3,7,15,则数列{an}的一个通项公式为________. 答案:an=2n-1(n∈N*) an 2.已知数列{an}中,a1=1,an+1= ,则 a5 等于________. 2an+3 答案: 1 161 x-1 3.(教材习题改编)已知函数 f(x)= ,设 an=f(n)(n∈N*),则{an}是________数列(填 x “递增”或“递减”). 答案:递增 1.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且 还与这些“数”的排列顺序有关. 2.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对 应的位置序号. 3.在利用数列的前 n 项和求通项时,往往容易忽略先求出 a1,而是直接把数列的通项 公式写成 an=Sn-Sn-1 的形式,但它只适用于 n≥2 的情形. [小题纠偏] 1.已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式是________. ?2,n=1, ? 答案:an=? ?2n-1,n≥2 ? 2.数列{an}的通项公式为 an=-n2+9n,则该数列第________项最大. 答案:4 或 5 考点一 由数列的前几项求数列的通项公式?基础送分型考点——自主练透? [题组练透] ?0,n为奇数, ? 1+?-1?n 1 .已知 n ∈N*,给出 4 个表达式:① an=? ② an= ,③ an = 2 ? ?1,n为偶数, 1+cos nπ nπ? ,④an=? ?sin 2 ?.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,?的通项公式的是( 2 ) A.①②③ C.②③④ B.①②④ D.①③④ 解析:选 A 检验知①②③都是所给数列的通项公式. 2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,?; 1 1 1 1 (2)(易错题)- , ,- , ,?; 1×2 2×3 3×4 4×5 (3)a,b,a,b,a,b,?(其中 a,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,?. 解:(1)各数都是偶数,且最小为 4,所以它的一个通项公式 an=2(n+1),n∈N*. (2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数,且奇数项为负,偶 1 数项为正,所以它的一个通项公式 an=(-1)n× ,n∈N*. n?n+1? (3) 这是一个摆动数列,奇数项是 a,偶数项是 b ,所以此数列的一个通项公式 an = ?a,n为奇数, ? ? ? ?b,n为偶数. (4)这个数列的前 4 项可以写成 10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项 公式 an=10n-1,n∈N*. [谨记通法] 由数列的前几项求数列通项公式的策略 (1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征, 并对此进行归纳、联想,具体如下: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等. (2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特 殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号 变化,可用(-1)n 或(-1)n +1 来调整.如“题组练透”第 2(2)题. 考点二 由an与Sn的关系求通项an?重点保分型考点——师生共研? [典例引领] 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n+b. 解:(1)a1=S1=2-3=-1, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于 a1 也适合此等式,∴an=4n-5. (2)a1=S1=3+b, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n+b)-(3n 1+b)=2· 3n 1. - - 当 b=-1 时,a1 适合此等式. 当 b≠-1 时,a1 不适合此等式. ∴当 b=-1 时,an=2· 3n 1; - ?3+b,n=1, ? 当 b≠-1 时,an=? n-1 ? 3 ,n≥2. ?2· [由题悟法] 已知 Sn 求 an 的 3 个步骤 (1)先利用 a1=S1 求出 a1; (2)用 n-1 替换 Sn 中的 n 得到一个新的关系,利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式; (3)对 n=1 时的结果进行检验,看是否符合 n≥2 时 an 的表达式,如果符合,则可以把 数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分 n=1 与 n≥2 两段来写. [即时应用] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若 Sn=(-1)n 1· n,求 a5+a6

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