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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 推理与证明章末检测2 苏教版选修1-2

第 2 章 推理与证明 章末检测 2
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.在△ABC 中,E、F 分别为 AB,AC 的中点,则有 EF∥BC,这个问题的大前提为________. 答案 三角形的中位线平行于第三边 解析 这个三段论推理的形式为:大前提:三角形的中位线平行于第三边;小前提:EF 为△

ABC 的中位线;结论:EF∥BC.
2.对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式: 2 =1+3 3 =1+3+5 4 =1+3+5+7 2 =3+5 3 =7+9+11 4 =13+15+17+19 根据上述分解规律,若 m =1+3+5+?+11,n 的分解中最小的正整数是 21,则 m+n= ________. 答案 11 1+11 2 解析 ∵m =1+3+5+?+11= ×6=36, 2 ∴m=6.∵2 =3+5,3 =7+9+11, 4 =13+15+17+19,∴5 =21+23+25+27+29, ∵n 的分解中最小的数是 21, ∴n =5 ,n=5,∴m+n=6+5=11. 3.用反证法证明命题“ 2+ 3是无理数”时,其反证假设是________. 答案 2+ 3是有理数
3 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 2 2 2

解析 应对结论进行否定,则 2+ 3不是无理数,即 2+ 3是有理数. 4.已知 f(x+1)= 答案 2 x+1 2f(1) 2 2 = = , f(1)+2 3 2+1 2f(x) * ,f(1)=1(x∈N ),猜想 f(x)的表达式为________. f(x)+2

解析 当 x=1 时,f(2)= 当 x=2 时,f(3)= 当 x=3 时,f(4)=

2f(2) 2 2 = = ; f(2)+2 4 3+1 2f(3) 2 2 = = , f(3)+2 5 4+1
-1-

故可猜想 f(x)=

2 . x+1

5.对“a,b,c 是不全相等的正数” ,给出下列判断: ①(a-b) +(b-c) +(c-a) ≠0; ②a=b 与 b=c 及 a=c 中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b 不能同时成立. 其中判断正确的个数为________. 答案 1 解析 若(a-b) +(b-c) +(c-a) =0,则 a=b=c,与“a,b,c 是不全相等的正数”矛盾, 故①正确.a=b 与 b=c 及 a=c 中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b,c 是不 全相等的正数” ,有两种情形:至多有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确. 6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完 全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有________个. ①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥. 答案 2 解析 类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体. 1 1 7.数列{an}满足 a1= ,an+1=1- ,则 a2015 等于________. 2 an 答案 -1 1 1 解析 ∵a1= ,an+1=1- , 2 an 1 1 1 1 ∴a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = , a1 a2 a3 2
2 2 2 2 2 2

a5=1- =-1,a6=1- =2, a4 a5
∴an+3k=an(n∈N ,k∈N ) ∴a2015=a2+3×671=a2=-1. 8. 若数列{an}中, a1=1, a2=3+5, a3=7+9+11, a4=13+15+17+19, ?, 则 a8=________. 答案 512 解析 由 a1,a2,a3,a4 的形式可归纳: 7×(1+7) ∵1+2+3+4+?+7= =28, 2 ∴a8 的首项应为第 29 个正奇数,即 2×29-1=57. ∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71 = 8×(57+71) =512. 2
-2* *

1

1

9.在数列{an}中,a1=1,且 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列(Sn 表示数列{an}的前 n 项和),则 S2,S3,

S4 分别为________,猜想 Sn=________.
答案 3 7 15 2 -1 * , , n-1 (n∈N ) 2 4 8 2
n

解析 由 Sn,Sn+1,2S1 成等差数列,得 2Sn+1=Sn+2S1,因为 S1=a1=1,所以 2Sn+1=Sn+2. 3 令 n=1,则 2S2=S1+2=1+2=3? S2= , 2 7 15 同理,分别令 n=2,n=3,可求得 S3= ,S4= . 4 8 2 -1 3 2 -1 7 2 -1 由 S1=1= 0 ,S2= = 1 ,S3= = 2 , 2 2 2 4 2
1 2 3

S4= =

15 8

2 -1 2 -1 3 ,猜想 Sn= n-1 . 2 2

4

n

10.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案,则第 n 个图案中有白色 地面砖的块数是________.

答案 4n+2 解 观察可知:除第一个以外,每增加一个黑色地板砖,相应的白地板砖就增加四个, 因此第 n 个图案中有白色地面砖的块数是一个 “以 6 为首项, 公差是 4 的等差数列的第 n 项” . 故第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 4n+2. 11.观察下列等式: (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=2 ×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=2 ×1×3×5 按此规律,第 n 个等式可为________. 答案 (n+1)(n+2)(n+3)?(n+n)=2 ·1·3·5?(2n-1) 1 1 1 3 5 7 * 12.f(n)=1+ + +?+ (n∈N ),经计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> , 2 3 n 2 2 2 推测当 n≥2 时,有________. 2+n n 答案 f(2 )> (n≥2) 2 解析 观测 f(n)中 n 的规律为 2 (k=1,2,?) 2+k 不等式右侧分别为 ,k=1,2,?, 2
k n
3 2

-3-

2+n n ∴f(2 )> (n≥2). 2 13.已知 =4 2 2+ =2 3 2 , 3 6+ =6 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ 15

4 ,?,若 15 35

a b

a (a,b 均为实数),推测 a=________,b=________. b

答案 6

解析 由前面三个等式,推测被开方数的整数与分数的关系,发现规律.由三个等式知,整 数和这个分数的分子相同,而分母是分子的平方减 1,由此推测 =35,即 a=6,b=35. 14.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为 = 6+ 中,a=6,b=6 -1

a b

2

AE AC ,把这个结论类比到 EB BC

空间:在三棱锥 ABCD 中(如图所示),面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于 E,则得到的类 比的结论是________.

答案

AE S△ACD = EB S△BCD AC S△ACD AE S△ACD 可类比成 ,故结论为 = . BC S△BCD EB S△BCD

解析 CE 平分∠ACB,而面 CDE 平分二面角 ACDB.∴ 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分)

15.(14 分)已知 a、b、c 是互不相等的非零实数.求证三个方程 ax +2bx+c=0,bx +2cx +a=0,cx +2ax+b=0 至少有一个方程有两个相异实根. 证明 反证法: 假设三个方程中都没有两个相异实根, 则 Δ 1=4b -4ac≤0,Δ 2=4c -4ab≤0,Δ 3=4a -4bc≤0.相加有 a -2ab+b +b -2bc+c +c -2ac+a ≤0, (a-b) +(b-c) +(c-a) ≤0.① 由题意 a、b、c 互不相等,∴①式不能成立. ∴假设不成立,即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根. 16.(14 分)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (1)证明 假设数列{Sn}是等比数列,则 S2=S1S3,
-42 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

即 a1(1+q) =a1·a1·(1+q+q ), 因为 a1≠0,所以(1+q) =1+q+q , 即 q=0,这与公比 q≠0 矛盾, 所以数列{Sn}不是等比数列. (2)解 当 q=1 时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列; 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 2S2=S1+S3, 即 2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q ), 得 q=0,这与公比 q≠0 矛盾. 17.(14 分)请你把不等式“若 a1,a2 是正实数,则有 + ≥a1+a2”推广到一般情形,并证 明你的结论. 解 推广的结论: 若 a1,a2,?,an 都是正实数,则有
2 2 2

2

2

2

a2 a2 1 2 a2 a1

a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1
证明:∵a1,a2,?an 都是正实数, ∴ +a2≥2a1; +a3≥2a2;?

a2 1 a2

a2 2 a3

a2 a2 n-1 n +an≥2an-1; +a1≥2an, an a1 a2 a2 a2 a2 1 2 n-1 n + +?+ + ≥a1+a2+?+an. a2 a3 an a1
18.(16 分)已知 a,b,c 为正数,且 f(n)=lg 求证:2f(n)≤f(2n). 证明 要证 2f(n)≤f(2n) 只需证?
n n n n 2n 2n 2n ?a +b +c ?2≤a +b +c ? 3 3 ? ? n n 2
2n 2n 2n

an+bn+cn
3



即证(a +b +c ) ≤3(a +b +c ) 即 2a b +2c b +2a c ≤2(a +b +c ) ∵a +b ≥2a b ,a +c ≥2a c ,
2n 2n

n n

n n

n n

2n

2n

2n

n n

2n

2n

n n

b2n+c2n≥2bncn
∴2a b +2c b +2a c ≤2(a +b +c ) ∴原不等式成立. 19.(16 分)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{an}成等差数列.证明数列{an}中有无穷多 项为无理数.
-52

n n

n n

n n

2n

2n

2n

证明 由已知有:an=1+24(n-1), 从而 an= 1+24(n-1),取 n-1=24 则 an= 1+24 (k∈N ). 用反证法证明这些 an 都是无理数. 假设 an= 1+24 为有理数,则 an 必为正整数,且 an>24 , 故 an-24 ≥1,an+24 >1,与(an-24 )(an+24 )=1 矛盾,所以 an= 1+24 (k∈N )都是无 理数, 即数列{an}中有无穷多项为无理数. 1 2 20.(16 分)设 a,b,c 为一个三角形的三条边,s= (a+b+c),且 s =2ab,试证:s<2a. 2
k k k k
2k * 2k 2k * 2k-1

2



k

s2 证明 要证 s<2a,由于 s =2ab,所以只需证 s< , b
2

即证 b<s. 1 因为 s= (a+b+c),所以只需证 2b<a+b+c,即证 b<a+c. 2 由于 a,b,c 为一个三角形的三条边,所以上式成立,于是原命题成立.

-6-


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