当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年山西长治县一中高一下学期期中考试数学试题(解析版)


2015-2016 学年山西长治县一中高一下学期期中考试 数学试题
一、选择题 1.已知集合 P ? {x ? Z | y ? 1 ? x2 } , Q ? { y ? R | y ? cos x, x ? R} ,则 P ? Q = A. P B. Q C. {?1,1} D. {0,1}

【答案】A
,0,1 }, Q ? {y ?1 ? y ? 1} 则根据交集的定义可得: 【解析】试题分析:由题 P ? {-1 P ?Q ? P .

【考点】集合的运算. 2.若 f ( x) ?

x ,则 f ( x ) 的定义域为 log1 (2 x ? 1)
2

1 2 1 C. ( ,1) ? (1,?? ) 2
A. ( ,1) 【答案】C

B. ( ,?? )

1 2 1 D. ( ,2) 2

1 ? 2x ?1 ? 0 ? 1 ? ?x ? 【解析】 试题分析: 由题定义域为:?log (2 x ? 1) ? 0 , ? 算得:( ,1) ? (1, ??) 2,, 1 2 ? ? ? 2 ?x ? 1
【考点】函数定义域及对数不等式的算法. 3.已知 tan ? ?

1 ,则 sin 2? 的值是 3

A.

3 10

B.

10 5

C.

3 10

D.

3 5

【答案】D 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 tan ? ?

sin ? 1 ? , cos ? ? 3sin ? , , 则 ; cos ? 3

2 s? i n ?c o s s i ? n 2 ? 2 ? 2 s i ? n ? c o ?s

2

2

?6 s i n ? , 1 ? 0 s i n

3 5

【考点】三角函数的恒等变形与求值。 4.函数 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点所在的区间 A. ( ?

1 ,0 ) 4

B. (0, )

1 4

C. ( , )

1 1 4 2

D. ( , )

1 3 2 4

【答案】C 【解析】试题分析:由题 f ( x) ? e x ? 4 x ? 3 的零点,

第 1 页 共 15 页

1 1 1 1 4 由零点判定定理对区间排查, f ( ) ? e ? 1 ? 3 ? 0, f ( ) ? e 2 ? 2 ? 3 ? 0, 则区间 4 2

1 1 ( , ) 上有零点. 4 2
【考点】零点判定定理. 5.已知集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0}, B ? { x | y ? lg 数 x,则 x ? A ? B 的概率为 A.

1? x } ,在区间 (?3,3) 上任取一实 1? x

1 8

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 12

【答案】C 【解析】试题分析:由题 A ? x ?1 ? x ? 2 , B ? x ?1 ? x ? 1 ,则; A ? B ? B , 又区间 (?3,3) 上任取一实数 可由几何概型(化为线段的长度比) ,得概率为; p ? 【考点】几何概型的运用。 6.根据下边的图,当输入 x 为 2016 时,输出的 y ?

?

?

?

?

2 1 ? 。 6 3

A.28 B.10 C.4 D.2 【答案】B 【解析】试题分析:由图所示的程序框图,输入 x ? 2016 ,由判断框的条件 x ? 0 , 进过循环执行后,输出 x ? ?2 ,再执行可得输出的 y ? 32 ? 1 ? 10 【考点】算法程序框图的应用.

(0, ) 7.不等式 x 2 ? loga x ? 0 在区间 上恒成立,则实数 a 的取值范围是
A. (0,

1 2

1 ) 16

B. (0,

1 ] 16

C. (

1 , 1) 16

D. [

1 , 1) 16 1 2

【答案】D

(0, ) 【解析】试题分析:由 x 2 ? loga x ? 0 在区间 上恒成立,可得 0 ? a ? 1 ,又;

log a x ? ( x 2 ) max , log a

1 1 1 1 ? , a ? ;可得; ? a ? 1 4 4 16 16
第 2 页 共 15 页

【考点】对数函数的性质及最值思想.

???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? 8.在 △ ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? CA ? ? CB ,则 ? ? 3
A.

2 3

B.

1 3

C. ?

1 3

D. ?

2 3

【答案】A

???? 1 ??? ? ??? ? 3 ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ???? 又 CD ? CA ? AD, 则; CD ? CA ? ? (CA ? AB) ? CA ? ? CA ? ? AB, AD ? AB ,所以; 3 3 3 2 ?? 3
【解析】试题分析:由 CD ? CA ? ? CB, 【考点】向量运算的几何意义。 9.函数 y ? ? x cos x 的部分图像是

【答案】D 【解析】 试题分析: 由 y ? ? x cos x , 可知函数为奇函数。 易排除 A, C.又当:x ? (?1, 0) 时, y ? 0 可得函数图像为;D 【考点】函数的性质与图像. 10.已知 | OA |? 1, | OB |? 3, OA? OB ? 0 ,点 C 在 ?AOB 内,且 ?AOC ? 30 ,设
0

OC ? mOA ? nOB(m, n ? R) ,则
A.

m = n

1 3

B.3

C.

3 3

D. 3

【答案】B 【解析】试题分析:由题可以 O 为坐标原点,OB,OA 为坐标轴建立直角坐标系,则;

??? ? ??? ? OA ? (0,1), OB ? ( 3,0) ,


??? ? OC ? ( 3n, m)

,





?AOC ? 300









??? ? ???? 3 2 m OA? OC ? 2m ? 1? 3n2 ? m2 ? , m ? 9n 2 , ? 3 2 n
【考点】向量的坐标运算及乘法运用. 11.函数 y ? 2 sin( A. [k? ?

?
3

? 2 x) 的单调递增区间是

?
12

, k? ?

5? ], k ? Z 12
第 3 页 共 15 页

B. [ k? ? C. [k? ?

, k? ? ], k ? Z 3 6 ? 2? ], k ? Z D. [ k? ? , k? ? 6 3
【答案】B 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 y ? 2sin(

?

5? 11? , k? ? ], k ? Z 12 12

?

? ? ? 2 x) ? ?2sin(2 x ? ) , 为 正 弦 则 增 区 间 为 ; 3 3

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ?, k ? Z 2 3 2 5? 11? ? k? ? x ? ? k ?, k ? Z 解得; 12 12
【考点】三角函数的性质. 12 .已知函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
4

)( x ? R,? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到函数

g ( x) ? cos? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位长度 8 ? B.向右平移 个单位长度 8 ? C.向左平移 个单位长度 4 ? D.向右平移 个单位长度 4
A.向左平移 【答案】A

n(x ? 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 题 f ( x) ? s i ?

?
4

) ? x( R ?? ,

0期 ) 为 周

?

,得:

T?

2? ? ?, ? ? 2 , ?

即; y ? sin(2 x ?

?

? ? ? ? ? ) ? cos( ? 2 x) ? cos(2 x ? ) ? cos ?2( x ? ) ? , 4 4 4 8 ? ?
? 个单位长度。 8

要得到函数 g ( x) ? cos? x 的图象,需向左平移 【考点】三角函数的恒等变形及图像变换规律.

二、填空题 13. sin 500 (1 ? 3 tan100 ) =_____ 【答案】1 【解析】试题分析:由 sin 500 (1 ? 3 tan100 ) , 可 得 ;

第 4 页 共 15 页

sin 500 (1 ? 3 sin100 ) ? cos100

1 3 2sin 500 ( sin100 ? sin100 ) 2sin 50 0 cos 50 0 sin100 0 2 2 ? ? ?1 cos100 cos100 cos100

【考点】三角函数的恒等变形与求值. 14. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 和偶函数 g ? x ? 满足 f ( x) ? g ( x) ? a x ? a ? x ? 2( a >0,且 a ? 1 ) .若 g ? 2 ? ? a ,则 f ? 2 ? =______ 【答案】

15 4

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 奇 函 数 f ? x? 和 偶 函 数 g ? x? , 则 ;

f (?2) ? ? f (2), g (2) ? g (?2) ? a, f (2) ? a ? a2 ? a?2 ? 2, f (?2) ? a ? a?2 ? a ? 2,0 ? 2a ? 4, a ? 2 ,则; f (2) ? 2 ? 22 ? 2?2 ? 2 ?
【考点】函数的奇偶性及方程思想. 15.已知 f ( x) ? ? 【答案】 (2, 3] 【解析】试题分析:由题为分段函数可结合图形,为增函数,则得:

15 4

?(a ? 2) x ? 1 ( x ? 1) 是 R 上的增函数,那么实数 a 的取值范围是___ log x ( x ? 1 ) a ?

?a ? 3 ? 0 ?a ? 3 ? ? ?a ? 2 ? 0, ?a ? 2, 2 ? a ? 3 ,. ?a ? 1 ?a ? 1 ? ?
3] 解得 a 的取值范围是 (2,
【考点】分段函数,对数函数的单调性及不等式组的解法. 16. 设 x , y ? R, 向量 a ? ( x,1),b ? (1, y), c ? (2,?4) , 且 a ? c, b // c , 则 | a ? b |? ________ 【答案】 10 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由 a ? ( x,1),b ? (1, y), c ? (2,?4) . a ? c, b // c 则 ,

2 x ? 4 ? 0, x ? 2, 2 y ? ?4, y ? ?2 ,

? ? ? ? a ? b ? (3, ?1), a ? b ? 10 .
【考点】向量的坐标运算及向量乘法性质. 17.已知 sin( 【答案】 ?

?

1 ? ? ? ) ? ,则 cos 2( ? ? ) 的值是__________ 6 3 3

7 9
第 5 页 共 15 页

【解析】试题分析:由题 sin( ? ?) ? sin ? 则: cos 2(

? 6

? 1 ?? ? ? ? ( ? ?) ? ? cos( ? ?) ? , 3 3 ?2 3 ?

? ? 2 7 ? ?) ? 2 cos 2 ( ? ?) ? 1 ? ? 1 ? ? 3 3 9 9

【考点】三角函数的恒等变形与求值。 18.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ) 的图像如图所示,则函数 f ( x ) 的解析式 是_________

? 2

【答案】 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 【 解 析 】

?
6

)
题 分 析 : 由 图 可 得 ;



? f (0) ? 1 ?2sin(0 ? ? ) ? 1 ? 11? ? ? ? ,? ,? ? , ? ? ? 2? , ? ? 2 , ? 11? 11? 6 12 6 f( ) ? 0 ?2sin( ? ? ?) ? 0 ? ? 12 ? 12
得函数关系式为: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

【考点】三角函数的图像与性质及求解析式及方程思想. 19.已知向量 a ? (1,?2),b ? (2, ?) ,且 a, b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围是___ 【答案】 (??,?4) ? (?4,1) 【 解 析 】 试 题 分 析 : 由

a ? (1,?2),b ? (2, ?)

; ,





? ? a? b 2 ? 2? cos ? ? ? ? ? ? ? ? 0, 2 ? 2? ? 0, ? ? 1 , a?b a?b
且 a, b 不共线,即; ? ? 4 ? 0, ? ? 4, 所以实数 ? 的取值范围是; (??,?4) ? (?4,1) 【考点】向量乘法运算及共线向量的性质. 20.若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 0, ? 减,则 ω =__________ 【答案】

? ?

? ? ? 上单调递增,在区间 ? ? ? ? 上单调递 , ? ? 3? ? ?3 2? ?

3 2

【 解 析 】 试 题 分 析 : 由

f ( x) ? sin ? x

得 ; 增 区 间 为 ;

?

? 2k ? ? 2k ? ? ?x? ? ,k ?Z , 2? ? 2? ?
第 6 页 共 15 页

又在区间 0, ?

? ? ? 上单调递增,在区间 ? ? ? ? 上单调递减;可得; ? ? ? , ? ? 3 。 , ? 2? 3 2 ? 3? ? ?3 2? ?

【考点】三角函数的性质及方程思想.

? 3 ( x ? 2) ? 21.已知函数 f ( x ) ? ? x ? 1 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个零点,则实 x ? ?| 2 ? 1 | ( x ? 2)
数 k 的取值范围是_______

【答案】 (0,1) 【解析】试题分析:由函数 f ( x ) ? ? x ? 1
x

? ?

3

( x ? 2)

,可画出图像化为与 y=k 的图象

? ?| 2 ? 1 | ( x ? 2)

有 3 个交点,有图可得; 实数 k 的取值范围是; (0,1) 。 【考点】数形结合及函数的零点. 22.某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据,则其 线性回归直线方程是__________________

【答案】 y ?

^

13 35 x? 2 2 13 代入 2

?? 【解析】试题分析:由求回归方程,则: x ? 5, y ? 50 ,代入公式可得; b

?x 可得: ? ?a ? ?b y
?? a
^ 35 13 35 x? ,回归方程为; y ? 2 2 2

【考点】线性回归方程的算法. 三、解答题 23.如果 cos? ? sin ? ? 0, 且sin ? ? tan? ? 0 化简: 第 7 页 共 15 页

sin

?
2

?

2 ? sin ? ? 2 ? 2 1 ? cos 1 ? cos 2 2

1 ? cos

?

1 ? cos

?

?

【答案】见解析 【解析】试题分析:由题为三角函数的化简求值问题,可考虑去根号,观察可利用分式 的性质进行升次数来去根号,注意角的范围,保证算术根的非负性,再结合

cos? ? sin ? ? 0, 且sin ? ? tan? ? 0 可得为第一或第三象限的角,分情况去根号可得。

sin 2 ? ? 0 ? cos? ? 0 试题解析:由sin ? ? tan? ? 0得 : cos?

又 cos? ? sin ? ? 0 ? sin ? ? 0 ? 2k? ? ? ? 2k? ?

?
2

,? k? ?

?
2

? k? ?

?
4

? k为偶数时, 位于第一象限;k为奇数时, 位于第三象限; 2 2

?

?

?原式 ? sin

?
2

?

2 ? sin ? ? 2 ? 2 (1 ? cos ? ) 2 (1 ? cos ) 2 2 2

1 ? cos2

?

1 ? cos2

?

? ? ? ? ? ? | sin 2 | ? | sin 2 | 2 | sin 2 | ? 2 ( 2 在第一象限) ? sin ? ? sin ? ? ?? ? ? 2 1 ? cos ? 2 1 ? cos ? ?? 2 ( 在第三象限) sin 2 2 2 2 ?
【考点】三角函数的化简求值问题。 24.已知△ABC 的三个内角为 A、B、C,求当 A 为何值时,cosA+2cos 并求出这个最大值。 【答案】

B?C 取得最大值, 2

【解析】试题分析:由条件可运用 B ? C ? ? ? A ,减少变量,化为只 A 的关系式,继 续化简变形,再利用正弦三角函数的性质,化为已知三角函数的定义域,求函数值得最 值问题,可解。

3 2

B?C ??A ? A ? cos A ? 2 cos ? cos A ? 2 cos( ? ) 2 2 2 2 A A A ? cos A ? 2 sin ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 sin 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2 sin 2 ? 2 sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 3 A 1 A ? ? B?C ? sin ? ,即 ? ? A ? 时, cos A ? 2 cos 取最大值为 2 2 2 2 6 3 2
试题解析: cos A ? 2 cos 【考点】三角函数的恒等变形及正弦函数的性质。

第 8 页 共 15 页

25. 已知函数 f ( x) ? sin(3 x ? 求 cos ?

?
4

? 4 ? ), 若 ? 是第二象限角, f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ,
3 5 4

? sin ? 的值。
5 2

【答案】 cos? ? sin ? ? ? 2或 ?

【解析】试题分析:由 f ( x) ? sin(3 x ?

?

? ? ) ,代入条件可得 f ( ) ? sin(? ? ) ,再由 3 4 4

? 4 ? ,然后结合角所在的象 f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ,进行化简(变形目标为问题结构) 3 5 4
限可求出值;

) ,所以 f ( ) ? sin(? ? ) 3 4 4 ? 4 ? ? 4 ? 又 f ( ) ? cos(? ? ) cos 2? ? sin(? ? ) ? cos( ? ? ) cos 2? 4 5 4 3 5 4
试题解析:因为 f ( x) ? sin(3 x ?

?

?

?

?

2 4 2 (sin ? ? cos? ) ? ? (cos? ? sin ? )(cos2 ? ? sin 2 ? ) 2 5 2

4 (cos ? ? sin ? ) 2 (cos ? ? sin ? ) 5 4 ? (sin ? ? cos ? )[1 ? (cos ? ? sin ? ) 2 ] ? 0 5 4 2 因为 ? 是第二象限角,? sin ? ? cos ? ? 0或1 ? (cos ? ? sin ? ) ? 0 5 3? ? 若 sin ? ? cos ? ? 0则? ? ? 2k? , 则 cos ? ? sin ? ? ? 2 4 ? (sin ? ? cos ? ) ?

4 5 ? 若1 ? (cos? ? sin ? ) 2 ? 0则 cos? ? sin ? ? ? 5 2 cos? ? sin ? ? ? 2或 ?
综上:

5 2

【考点】三角函数的恒等变形及求值(注意角所在的象限) 。 26.设平面向量 a ? (cos? , sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , b ? (? (1)求证:向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (2)若两个向量 3 a ? b 与 a ? 3b 的模相等,求角 ? 【答案】 (1)见解析(2) ? ?

1 3 , ) ,且 a 与 b 不共线. 2 2

?
6

或? ?

7? 6

【解析】试题分析: (1)由题为证明向量的垂直,可利用向量坐标乘法的性质来进行证 明(证明中注意同角三角函数的运用) ,可得; 第 9 页 共 15 页

(2)由条件向量 3 a ? b 与 a ? 3b 的模相等,可利用向量模的定义建立方程。从而 可得到一个三角方程,结合角的范围可求出角 ? 。 试题解析: (1) (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ?b
2 2

又 a ? (cos? , sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , b ? (?

1 3 , ) 2 2

2 2 1 3 ? a ?| a |2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 1 , b ?| b |2 ? (? ) 2 ? ( ) 2 ? 1 2 2

即向量 a ? b 与 a ? b 垂直; (a ? b ) ? (a ? b) ? (a ? b ) ? (a ? b ) ? a ? b ? 1 ?1 ? 0 ? ,

2

2

(2)已知两个向量 3 a ? b 与 a ? 3b 的模相等,
2 2 即 | 3 a ? b | ?| a ? 3 b | ? 3a ? b ? 2 3 a ? b ? a ? 3b ? 2 3 a ? b 2 2 2 2

又 | a |? 1 , | b |? 1 ,? a ? b ? 0 即 a ? b ?

3 1 ? sin ? ? cos? ? sin(? ? ) ? 0 2 2 6

?? ?

?
6

? k? ? ? ? k? ?

?
6,

又 0 ? ? ? 2? ,所以 ? ?

?
6

或? ?

7? 6

【考点】 (1)向量的坐标运算及垂直的性质。 (2)向量模的定义及三角方程的求解。 27.我市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的 志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组 ?20,25? , 第 2 组 ?25,30? , 第 3 组 ?30,35? , 第 4 组 ?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.

(1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加八一广场的宣传活动, 应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2) 在 (1) 的条件下, 我市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率. 【答案】 (1)各抽取的人数分别为 3、2、1(2) P ?

3 5

【解析】试题分析: (1)由频率分布直方图,可分别求出第 3,4,5 组的面积(频率) , 可得出每组的人数,再由分层抽样,已知抽取样本的容量为 6,再由每组的人数比可分 第 10 页 共 15 页

配抽取的人数。 (2)由题为古典概型,需先算出 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者的所有情况(可用 列举法,注意标识) ,再求出第 4 组至少有一名志愿者被抽中的情况,可运用古典概型 公式求出。 试题解析: (1)由频率分布直方图得 100 名志愿者中第 3,4,5 组的人数分别为 30、 20、10 所以用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者,从第 3 组中抽的人数为

30 ?6 ? 3, 60

从第 4 组中抽的人数为

20 10 ? 6 ? 2 ,从第 5 组中抽的人数为 ? 6 ? 1 , 60 60

所以应从第 3,4,5 组各抽取的人数分别为 3、2、1 (2)设从第 3,4,5 组各抽取的人分别记为 a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 ; c1 ,随机抽取 2 名志愿者 的 情 况 有 :

(a1a2 ), (a1a3 ), (a1b1 ), (a1b2 ), (a1c1 ), (a2a3 ), (a2b1 ), (a2b2 ), (a1c1 ), (a3b1 ), (a3b2 ), (a3c1 ),
(b1b2 ), (b1c1 ), (b2c1 ), 共 15 种,
其中第 4 组至少有一名志愿者被抽中的情况有:

(a1b1 ), (a1b2 ), (a2b1 ), (a2b2 ), (a3b1 ), (a3b2 ), (b1b2 ), (b1c1 ), (b2c1 ), 共 9 种,
所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率 P ?

9 3 ? 15 5

【考点】1.频率分布直方图及分层抽样;2.古典概型。 28.已知向量 a ? (cos? , sin ? ),b ? (cos? , sin ? ), c ? (?1,0) (1)求向量 b ? c 的长度的最大值; (2)设 ? ?

? ,且 a ? (b ? c) ,求 cos ? 的值。 4

【答案】 (1)2(2) 0或1 【解析】试题分析: (1)由题已知向量的坐标,求向量长(模)的最值,可代入向量的 模长公式,再运用三角函数的性质可求出最大值(注意三角函数的值域) ; (2) 由 a ? (b ? ? c) , 可利用向量垂直的性质, 建立方程。 再结合 ? ? 的值(注意三角函数的值域) 。 试题解析: (1)由已知得: b ? c ? (cos? ?1, sin ? )

?

?

?

? , 可求出 cos ? 4

| b ? c |? (cos ? ? 1) 2 ? (sin ? ) 2 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ?[?1,1]

? | b ? c |?[0,2],即向量 b ? c 的长度的最大值为 2。

第 11 页 共 15 页

??
(2)

?
4

?a?(

2 2 , ), 2 2

a ? (b ? c) ? a ? (b ? c) ? 0 ?

2 (cos? ? 1 ? sin ? ) ? 0 2

?cos ? ?1 ? sin ? ? 0 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 1 ? cos ?
?sin 2 ? ? 1 ? 2 cos? ? cos2 ? ? 1 ? cos2 ? ? 2 cos? (cos? ?1) ? 0
?cos ? ? 1或 cos ? ? 0
【考点】向量的坐标运算及垂直的性质和三角函数的性质。 29. 设函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (?? ? ? ? 0), 若函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴相邻两个 交点间的距离为 ,且图像的一条对称轴是直线 x ? (1)求 ?, ? 的值; (2)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (3)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。

π 2

?
8



3? ? 5? ? k? )( k ? Z ) (3)见解析 (2) ( ? k? , 4 8 8 π 【解析】试题分析: (1)由图象与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 ,可得出函数 2 ? 的周期,再由对称轴是直线 x ? 可求出 ? 值; 8 3? ) ,可运用正弦函数的单调性,解 (2)由(1)的出的函数解析式 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 4
【答案】 (1) ? ? 2, ? ? ? 不等式可求函数的单调增区间; (3)由函数解析式 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 间 [0, ? ] , 可通过列表(关键点) ,描点,连线得出函数图像。 试题解析: (1)函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴的两个相邻交点间的距离为 ,

3? ) ,可运用“五点”作图法,注意所要求的区 4

?

? T ? 2? ? ?T ?? ?? ? ? 2 ,又函数图像的一条对称轴是直线 x ? 8 2 2 T

π 2

?| f ( ) |? 2 ?| sin( ? ? ) |? 1 ? ? ? ? k? ? ? ? ? k? ? (k ? Z ) 8 4 4 2 4 3? ? ?? ? ? ? 0 ? k ? ?1时, ? ? ? 4 3? ) (2)由(1)可知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? 4 ? 3? ? ? 5? ? 令 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? 得: ? k? ? x ? ? k? (k ? Z ) 2 4 2 8 8
第 12 页 共 15 页

?

?

?

?

?

所以函数 y ? f ( x) 的单调增区间是 (

?
8

? k? ,
3? 8

5? ? k? )( k ? Z ) ; 8
5? 8

X

0

? 8
3? 4 ?

7? 8

?
5? 4

2x ?
y (3)

3? 4

?

?
2
0
0

? 2
2

?
0

?

2 2

?2

?

2 2



所以函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像为:

【考点】 1.运用三角函数的性质求函数解析式; 2.三角函数性质的应用。 3.五点作图法。 30.已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b 在区间 [2,3] 上有最小值 1 和最大值 4。 (1)求 a , b 的值; (2)若 a ? 0 ,设 f ( x ) ? 实数 k 的取值范围。 【答案】 (1) ?

g ( x) ,若不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在区间 [ ?1,1] 上有解,求 x

? a ? 1 ?a ? ?1 ( ? ?,1] (2) 或? ?b ? 0 ? b ? 3

【解析】试题分析: (1)由题已知 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b 在区间上的最值,求系数, 可利用二次函数的性质,对 a 分情况讨论建立方程可求出 a , b 的值;

第 13 页 共 15 页

(2)由(1)得出了函数解析式,求 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在区间 [ ?1,1] 上有解,代入可对 K 进行变量分离,再运用换元法 2 ? t ( ? t ? 2) ,构建函数化为给定定义域的最值问
x

1 2

题,可求出实数 k 的取值范围。 试题解析: (1) g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b ? a( x ?1) 2 ? 1 ? b ? a

?若a ? 0,g ( x)在[2,3] 上单调递增,

1? b ? 1 ? g (2) ? 1 ? ?a ? 1 ?? ?? ?? ? g (3) ? 4 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ?b ? 0
若a ? 0,g ( x)在[2,3] 上单调递减,

1? b ? 4 ?g (2) ? 4 ? ?a ? ?1 ? a ? 1 ?a ? ?1 ?? ?? ?? ?? 或? ? g (3) ? 1 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 1 ? b ? 3 ?b ? 0 ? b ? 3
(2)若 a ? 0 ,则 f ( x) ?

g ( x) x 2 ? 2 x ? 1 1 ? ? x? ?2 x x x

1 1 ? 2 ? k ? 2x ? 0 ? k ? 2x ? 2x ? x ? 2 x 2 2 1 1 1 x x x 令 2 ? t ( ? t ? 2) 则 k ? 2 ? 2 ? x ? 2 ? k ? t ? t ? ? 2 2 2 t 1 2 ? k ? 1 ? 2 ? ,因为不等式 f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 在区间 [ ?1,1] 上有解 t t 1 2 1 2 1 ? k ? (1 ? 2 ? ) max 又 ?1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2 t t t t t 1 1 1 1 2 而 ? t ? 2 ? ? ? 2 ? (1 ? 2 ? ) max ? 1 2 2 t t t ? f (2 x ) ? k ? 2 x ? 0 ? 2 x ?
? k ? 1 ,即实数 k 的取值范围是 ( ? ?,1]
【考点】1.二次函数的性质及分类思想;2.函数思想及换元法与二次函数的最值(给定 区间) 31.如图所示的四边形 ABCD,已知 AB ? (6, 1), BC ? ( x, y),CD ? (?2,?3)

(1)若 BC // DA 且 ? 2 ? x ? 1 ,求函数 y ? f ( x) 的值域; (2)若 BC // DA 且 AC ? BD ,求 x , y 的值及四边形 ABCD 的面积。 【答案】 (1) ( ?

1 ,1] (2)16 2
第 14 页 共 15 页

【解析】试题分析: (1)由条件,运用向量的坐标运算,可由 BC // DA 建立关于 x, y 的 函数关系式。注意 ? 2 ? x ? 1 的条件,可求出函数的值域; (2)由 BC // DA 且 AC ? BD ,结合(1)可建立关于 x, y 的方程,可求出,再分情 况利用对角线垂直的条件求出四边形 ABCD 的面积。 试题解析: (1)? AD ? AB ? BC ? CD ? ( x ? 4, y ? 2)

? DA ? (?x ? 4,2 ? y) ,? BC // DA且BC ? ( x, y)
1 1 ? x(2 ? y) ? y(? x ? 4) ? 0 ,? x ? 2 y ? 0即y ? ? x ,? f ( x ) ? ? x 2 2 1 1 又 ? ?2 ? x ? 1? y ? (? ,1] ,即函数 y ? f ( x) 的值域为 ( ? ,1] 2 2
(2)? BD ? BC ? CD ? ( x ? 2, y ? 3), AC ? AB ? BC ? ( x ? 6, y ?1) 由 AC ? BD 得 AC ? BD ? 0 ? ( x ? 6)(x ? 2) ? ( y ?1)( y ? 3) ? 0 又 BC // DA 由(1)得 x ? 2 y ? 0 将??联立得: ? ? ?

? x ? ?6 ? x ? 2 或? ? y ? 3 ? y ? ?1
1 | AC | ? | BD |? 16 2 1 ? | AC | ? | BD |? 16 2

若 x ? ?6, y ? 3, 则 AC ? (0,4), BD ? (?8,0) ? S四边形 ABCD ? 若 x ? 2, y ? ?1, 则 AC ? (8,0), BD ? (0,?4) ? S四边形 ABCD

综上:四边形 ABCD 的面积为 16 【考点】 (1)向量的坐标运算及函数思想; (2)向量的坐标运算及平行于垂直的性质和 方程思想。

第 15 页 共 15 页



相关文章:
2015-2016学年山西省长治市第一中学高一(平行班)下学期...
2015-2016学年山西省长治第一中学高一(平行班)下学期期中考试数学试题(word)_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年山西省长治第一中学高一(平行班)下学期...
山西省长治一中2015-2016年高一上学期中考试数学试卷
山西省长治一中2015-2016年高一上学期中考试数学试卷_高一数学_数学_高中教育_教育专区。长治县一中学校 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学学科试卷 命题:裴...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理_数学_高中教育_教育专区。长治县一中 2015——2016 第二学期期中考试 高二理科平行班数学试题时间 ...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一生物下学期期中...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一生物下学期期中试题(平行班)_理化生_高中教育_教育专区。长治县一中 2015-2016 学年第二学期期中考试 高一生物试卷说明: ...
山西省长治市第一中学2015-2016学年高一上学期中考试数...
山西省长治市第一中学2015-2016学年高一上学期中考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。长治县一中学校 2015-2016 学年第一学期期中考试 高一数学学科试卷 命题:裴...
山西省长治市第一中学2015-2016学年高一上学期中考试语...
山西省长治市第一中学2015-2016学年高一上学期中考试语文试题.doc - 长治县一中 2015——2016 学年第一学期期中考试 高一语文试题 命题人 郭丽萍 说明: 1.本...
2015-2016学年山西省长治市第一中学高一上学期中考试生...
2015-2016学年山西省长治第一中学高一上学期中考试生物试题_高中教育_教育专区。2015-2016 学年山西省长治第一中学高一上学期中考试生物试题说明: 1、 本试卷...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一下学期期中考试英语试题 Word版含答案.doc - 长治县一中 2015-2016 学年第二学期中考试 高一英语平行班试题 说明: 1.本...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一英语下学期期中...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一英语下学期期中试题(平行班)_英语_高中教育_教育专区。长治县一中 2015-2016 学年第二学期中考试 高一英语平行班试题说明:...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一历史下学期期中...
山西省长治县第一中学2015-2016学年高一历史下学期期中试题(平行班)_政史地_高中教育_教育专区。长治县一中 2015---2016 第二学期期中试卷 高一历史试卷说明: 1...
更多相关标签: