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安陆二中2015届高三数学(文科)综合练习(六)

安陆二中 2015 届高三数学(文科)综合练习(六)

组卷人:卓鹏
i3 ,则 z 的虚部是 ( 2i ? 1
(B) ?

时间:2014 年 12 月

第 I 卷(选择题)
一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.已知复数 z ? (A) )

1 5

1 5

(C) ? i

1 5

(D)

?

2 5

2. A ? x x ? 1 ? 1, x ? R , B ? x log 2 x ? 1, x ? R ,则“ x ? A ”是“ x ? B ”的 A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
3 2

?

?

?

?

3.已知 f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f ( x) ? g ( x) ? x ? x ? 1 ,则

f (1) ? g (1) ?
A. ? 3 B. ? 1 C.1 D.3

4.在各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 am?1 ? am?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 {an } 的前 n 项积 为 Tn ,若 T2m?1 ? 512 ,则 m 的值为( (A)4 (B)5 (C) 6 ) (D) 7 )

5.若向量 a ? 2 , b ? 2 , ? a ? b ? ? a ,则 a 、 b 的夹角是( A.

5 ? 12

B.

? 3

C. ?

1 6

D.

1 ? 4

? 1 ? 3, x ? (?1, 0] ? 6.已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 且g ( x) ? f ( x) ? mx ? m在(? 1,1] 内有且仅有 ? x ? (0,1] ? x,
两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 A. ( ? C. ( ?

9 1 , ?2] (0, ] 4 2 9 2 , ?2] (0, ] 4 3

B. ( ? D. ( ?

11 1 , ?2] (0, ] 4 2 11 2 , ?2] (0, ] 4 3

? x ? y ?3? 0 ? 7.如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 6,最小值 ? x ?1 ?
为 0,则实数 k 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

8.为研究某药品疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:

1

kPa)的分组区间为 ?12,13? , ?13,14? , ?14,15? , ?15,16? , ?16,17? ,将其按从左到右的顺 序分别编号为第一组,第二组,…第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图,已 知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为 ( )

A.6 9.若点 P 在椭圆

B.8

C.12

D.18

x2 ? y 2 ? 1 上, F1 、 F2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? , 2
) C.

则 ?F1 PF2 的面积是( A. 2 10.函数 f ( x ) ? B. 1

3 2


D.

1 2

cos( ?x ) 的图像大致是( x2

二、填空题(本题共 7 道小题,每小题 5 分,共 35 分)
11.甲乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质检.若样本中有 50 件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为 ______件. 12.已知不等式 ax 2 ? 5 x ? b ? 0 解集为 ?x | ?3 ? x ? 2?,则不等式 bx 2 ? 5 x ? a ? 0 的解 集为____ .

13.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c =

1 a, 4

2

2sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.
14.函数 f(x)=ax2+4(a-3)x+5 在区间(-∞,2)上是减函数,则 a 的取值范围 是______________. 15.某校早上 8 : 00 开始上课,假设该校学生小李和小张在早上 7 : 30 ~ 7 : 50 之间到校,且 每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小李比小张至少迟 5 分钟到校的概率为 ______.(用数字作答) 16.某程序的框图如图所示,执行该程序,若输入 10,则输出的 S 为
开始



输入i
S ? 0; n ? 0


n?i



S ? S ? 2n ? 1
n ? n ?1

输出S

结束

17.已知函数 f ( x) 的定义域为[ ? 1,5 ],部分对应值如下表:
x
f ( x)

?1
1

0 2

4 2

5 1

f ( x) 的导函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示,

下列关于 f ( x) 的命题:①函数 f ( x) 是周期函数;②函数 f ( x) 在[0,2]上是减 函数;③如果当 x ? [?1, t ] 时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的 最大值是 4;④当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点; ⑤函数 y ? f ( x) ? a 的零点个数可能为 0,1,2,3,4。其中正确命题的序号是 _____________(写出所有正确命题的序号).

三、解答题(本题共 5 道小题,,共 65 分)
18.已知向量 m ? (cos x ? sin x,2 cos x), n ? (cos x ? sin x,? sin x) 。 (1)求 f ( x) ? m ? n 的最小正周期和单调减区间; (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

?
8

个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原

3

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为
A 2 a , b, c ,若 f ( ) ? 0, g (B) ? , b ? 2 ,求 a 的值. 2 2

19.已知递增等比数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且 S3 ? 2S2 ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? a n (n ? N * ) ,且 {bn } 的前 n 项和 Tn . 求证: Tn ? 2

20.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,D 为 AB 的中点. (1)求证:AC1∥平面 CDB1; (2)求三棱锥 C-B1BD 的体积.

21.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨;生 产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、 B 原料 3 吨.销售每吨甲产品可获得利润 5 万元、每吨乙 产品可获得利润 3 万元,该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨、 B 原料不超 过 18 吨.那么该企业分别生产多少吨的甲、乙两种产品,可获得最大利润,且最大利润是 多少?

22.( 12 分) 已知曲线 C 上任意一点 P 到两个定点 F1 ? 3, 0 和 F2 4.(1)求曲线 C 的方程;

?

?

?

3, 0 的距离之和

?

(2)设过 ? 0, ?2 ? 的直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,且 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原 点),求直线 l 的方程.

4

试卷答案
1.B

试题分析:由 z ? 选 B.

i3 ?i(1 ? 2i) ?2 ? i 2 1 1 ? ? ? ? ? i ,则复数 z 的虚部是 ? ,故 5 2i ? 1 (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5 5 5

考点:复数代数形式的乘法运算. 2.B

试题分析: A ? {x | x ? 0 或 x ? 2} , B ? {x | x ? 2} ,因此 A ? B ,所以“ x ? A ”是 “ x ? B ”的必要不充分条件,答案选 B. 考点:集合的关系与命题间的关系 3.C 试题分析:分别令 x ? 1 和 x ? ?1 可得 f ?1? ? g ?1? ? 3 和 f ? ?1? ? g ? ?1? ? 1 ,因为函数

f ( x), g ( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,所以 f ? ?1? ? f ?1? , g ? ?1? ? ?g ?1? ,即

f ? ?1? ? g ? ?1? ? 1
? ? f ?1? ? g ?1? ? 3 ? ? f ?1? ? 2 ?? ? f ?1? ? g ?1? ? 1,则 ? ? f ?1? ? g ?1? ? 1,故选 C. f 1 ? g 1 ? 1 g 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
考点:奇偶性 4.B

试题分析:设数列 {an } 的公比为 q,∴ am ?1 ? ∴

am , am?1 ? am ? q ,∵ am?1 ? am?1 ? 2am , q

am 2 ? am q ? 2am ? 0 ,∴ am ? 2am ? 0 ,解得 am ? 2 或 am ? 0 (舍),∴ Tn ? 2n ,∵ q

T2m?1 ? 512 ,
∴2
2 m ?1

? 512 ? 29 ,∴ 2m ? 1 ? 9 ,解得 m ? 5 ,故选 B.

考点:等比数列的前 n 项和. 5.D
2 2 试题分析:因为 ? a ? b ? ? a ,所以 ? a ? b? ? a ? 0 ,即 a ? a ? b ? 0 , a ? b ? a ,又

5

a ? 2 , b ? 2 ,所以 cos a, b
故正确答案为 D. 考点:向量夹角及运算. 6.A

a ?b ? 2? ? ? a b

2

2 ?2

?

? 7? 2 , a, b ? 或 a, b ? . 4 4 2

试题分析:
4

3

2

1

6

4

2

2

4

6

1

2

3

4

5

6

令 h ? x ? ? mx ? m ,则问题转化为 f ? x ? 与 h ? x ? 的图象在 ? ?1,1? 内有且仅有两个交点;

f ? x ? 是一个分段函数, h ? x ? 的图象是过定点 ? ?1,0? 的直线发上图所示,易求当直线与
曲线在第三象限相切时, m ? ? 故选 A. 考点:1、分段函数;2、函数的零点;3、数形结合的思想. 7.B 试题分析:不等式组表示的可行域如图, A?1,2?, B?1,?1?, C ?3,0? ∵目标函数 z ? kx ? y 的最小值为 0,∴目标函数 z ? kx ? y 的最小值可能在 A 或 B 时取 得; ∴①若在 A 上取得,则 k ? 2 ? 0 ,则 k ? 2 ,此时, z ? 2 x ? y 在 C 点有最大值,

9 9 1 由图可知, ? ? m ? ?2 或 0 ? m ? 4 2 4

z ? 2 ? 3 ? 0 ? 6 ,成立;
②若在 B 上取得,则 k ? 1 ? 0 ,则 k ? ?1 ,此时, z ? ? x ? y ,在 B 点取得的应是最大 值,

6

故不成立,? k ? 2 ,故答案为 B.

考点:线性规划的应用. 8.C

9.B

10.A

试题分析: f (? x) ? C、D,

cos(?? x) cos(? x) ? ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 为偶函数,所以排除 (? x) 2 x2

1 令x? 时, f ( x) ? 100
考点:函数图象. 11.1800

cos

?

100 ? 0 ,所以排除 B,所以答案为 A. 1 10000

7

12.

? 1 1? 15.? x x ? ? 或x ? ? 3 2? ?
1 . 4

13. ?

试题分析:∵

2sin B = 3sin C , \ 2b = 3c, \ b =
b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

1 3 c, 代入 b - c = a 得 a = 2c ,由余 2 4

弦定理得 cos A =

考点:1.正弦定理;2.余弦定理的推论.

14. 略 15.

9 32

16.1033

17.②⑤

试题分析:对①,由于在区间[ ? 1,5 ]之外函数 f ( x) 无意义,故不是周期函数; 对②,由导数可知,函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数,正确; 对③,根据对应值表知,函数 f ( x) 在区间[ ? 1,5 ]上的最大值是 2.如果当 x ? [?1, t ] 时,
f ( x) 的最大值是 2,那么 t 可以是 5,故错;

对④,表中没有给出 f (2) 的值,故当 1 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) ? a 的零点的个数不确定. 故错. 对⑤,结合图形可知,正确. 考点:1、导数的应用;2、函数的图象;3、函数的零点;4、函数的最值.

2 6 3 ? 3 18.(1) f ( x) ? 2 sin(2 x ? ? ), T ? ? [k? ? , k? ? ? ](k ? Z ) ;(2) a ? . 4 8 8 3
3? ) .由此即可得其周期和单 4

试题分析:(1)由向量的数量积可得: f ( x) ?

2 sin(2 x ?

8

调减区间;

(2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

?
8

个单位,则将 x 换成 x ?

?
8

,所得

函数为 y ? 2 cos 2 x ;将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,则 将 x 换成

1 A x ,所得函数为 y ? 2 cos x ,即 g ( x) ? 2 cos x .由题设 f ( ) ? 0 可求得 2 2

A?

?
4

;由题设 g ( B) ?

? 2 可求得 B ? ;又由正弦定理即可求得 a 的值. 3 2
3? ). 4

试题解析:(1)

f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos x sin x ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ?

?T ?

2? ?? . 2

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

3? 3? ? 2k? ? 得: 4 2 3? , 4

2 k? ? k? ?

?
4

? 2 x ? 2 k? ?

?
8

? x ? k? ?

3? (k ? Z ) 8
?
3 , k? ? ? ](k ? Z ) . 8 8

所以 f ( x) ? m ? n 的单调减区间为: [k? ? (2)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

?
8

个单位,所得函数为

? 3? ? y ? 2 sin[2( x ? ) ? ] ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,再将所得图象上各点的横坐 8 4 2
标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,所得函数为 y ? 由题设得: 2 sin( A ? 又 2 cos B ?

2 cos x ,即 g ( x) ? 2 cos x .

3? ? ) ? 0,? A ? . 4 4

2 1 ? ,? cos B ? , B ? . 2 2 3

由正弦定理得:

a sin

?
4

?

2 sin

?
3

,? a ?

2sin

?

4 ?2 6. ? 3 sin 3

考点:1、向量及三角函数;2、正弦定理. 19.(1) an ? 2n ?1 .(2)见解析.

9

试题分析:(1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,根据 可. (2)由(I)得到 bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1 ,

s

3

? 2 s2 ? 1建立 q 的方程即

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1

?

?

利用“分组求和法”,应用等差数列、等比数列的求和公式得到

1,??? 上是单调递增即可得证. Tn ? n 2 ? 2n ?1 利用其在 ?
试题解析:(1)设公比为 q,由题意:q>1, a1 ? 1 ,则 a2 ? q , a3 ? q 2 ,∵

s

3

? 2 s2 ? 1,∴ a1 ? a2 ? a3 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 ,
2

2分

则 1 ? q ? q ? 2(1 ? q) ? 1 解得: q ? 2 或 q ? ?1 (舍去), ∴ an ? 2n ?1 4分 6分

(2) bn ? 2n ? 1 ? an ? 2n ? 1 ? 2 n ?1

Tn ? ?1 ? 3 ? .....? ?2n ? 1?? ? 1 ? 1 ? 2 ? ......2n?1
? n[1 ? (2n ? 1)] 1 ? 2n ? ? n 2 ? 2n ? 1 2 1? 2
8分

?

?

又∵ Tn

1,??? 上是单调递增的 ? n 2 ? 2n ?1 在 ?

∴ Tn ? T 1 ? 2 ∴ Tn

?2

10 分

考点:1.数列的通项;2.“分组求和法”;3.等差数列、等比数列的求和公式. 20. (1)证明:设 BC1 与 CB1 交于点 O,则 O 为 BC1 的中点. 在△ABC1 中,连接 OD,D,O 分别为 AB,BC1 的中点, 故 OD 为△ABC1 的中位线,∴OD∥AC1, 又 AC1?平面 CDB1,OD? 平面 CDB1,∴AC1∥平面 CDB1. (2)解:V=

1 1 1 S △ B C D ?BB 1 = × S △ A B C BB 1 2 3 3

=

1 1 1 × AC?BC?BB 1 = ×3×4×4=4 2 6 12

10

21.

22. (1)由题意得 F1 F2 ? 2 3 ? 4 ,所以点 P 在以 F1 , F2 为焦点的椭圆上,由

?2 a ? 4 ? x2 ? y 2 ? 1 ??????5 分 解得 a ? 2 b ? 1 所以曲线 C 的方程为 ?c ? 3 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
(2)由题意得直线 l 的斜率存在并设为 k ,并设 A?x1 , y1 ? B x2 , y 2 直线 l 的方程为

?

?

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 y ? kx ? 2 ,由 ? 4 得 4k ? 1 x ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?

?

?

11

2 ? ? ? ?16k ? ? 48?4k 2 ? 1? ? 0 的 k 2 ?

3 4

x1 ? x 2 ?

16 k 12 , x1 x 2 ? 2 4k ? 1 4k 2 ? 1

??????8 分

又? OA ? ?x1 , y1 ?

OB ? ?x2 , y2 ? 而 OA? OB ? 0
x1 x2 ? ?kx1 ? 2??kx2 ? 2? ? 0 ??????10 分
12 k 2 ? 1 32k 2 ? ? 4 ? 0 解得 k ? ?2 4 k 2 ? 1 4k 2 ? 1

∴ x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 亦即

∴ k 2 ? 1 x1 x2 ? 2k ?x1 ? x2 ? ? 4 ? 0 由此得

?

?

?

?

所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 ??????12 分

12


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