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高二导数、定积分测试题(理)


高二数学周末测试题(理)03.20
一、选择题
1.设 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,则 f ( x) 为增函数的充要条件是( ) A 、 b ? 4ac ? 0
2

B、 b ? 0, c ? 0

C 、 b ? 0, c ? 0

D、 b ? 3ac ? 0
2

2.若函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是(



3.已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( ) B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) ) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) ) C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C.

4.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ?1) f ' ( x) ? 0 ,则必有(

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
4

5.若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 6.函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?(x) 在 ( a, b) 内的 图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点( A. 1 个
2

y

y ? f ?(x)



b

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

a

O

x

7.设 f ( x) ? x(ax ? bx ? c)(a ? 0) 在 x ? 1 和 x ? ?1 处均有极值, 则下列点中一定在 x 轴上 的是( ) A

( a, b)



( a, c )


ax

(b, c)



(a ? b, c)


8.设 a ? R ,若函数 y ? e ? 3x, x ? R 有大于零的极值点,则(

A.a ? ?3B.a ? ?3C.a ? ?

1 1 D.a ? ? 3 3

3 2 9. 已 知 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 与 x 轴 有 3 个 交 点 (0,0),( x1 ,0),( x2 ,0), 且 f ( x) 在

x ? 1, x ? 2 时取极值,则 x1 ? x2 的值为(
A 4 B 5 ,则 C 6

) D 不确定 )

10.设 f ( x) ? ?

? x 2 (0 ? x ? 1) ?2 ? x(1 ? x ? 2)
B

?

2

0

f ( x)dx 等于(
D 不存在 )

A

3 4
1 x 0

4 5
e

C

5 6

11. m ?

? e dx与n= ?
B.

A. m ? n 12.定积分 A.
1 0

1 dx 的大小关系是( 1 x C. m ? n m? n

D.无法确定

?(

1 ? ( x ? 1)2 ? x)dx 等于()
B.

? ?2
4

? ?1 2

C.

? ?1 4

D.

? ?1 2

二、填空题
? 13. 设函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) , f (x) ?f (x) 为奇函数, ? =__________ 若 则
14.设 f ( x) ? x ?
3

1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2

n

取值范围为

15.对正整数 n ,设曲线 y ? x (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?
2

16.已知函数 f ( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,若

?

1

?1

f ( x)dx ? 2 f (a) 成立,则 a =__________.

三、解答题
3 2 17.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

18. 已知 f ( x) ? log 3

x 2 ? ax ? b , x ? (0, ??) , 是否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满足下列 x

两个条件: (1) f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 ?1, ?? ? 上是增函数; (2) f (x) 的最小值是1 , 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.

19、(本小题 12 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b , (1)若 x ??1,2? ,且函数 f ( x ) 的最小值为零,求 b 的值; (2)若在 ?1, 2? 内 f ( x ) 恒为正值,求 b 的取值范围。

20.(2012 年高考(山东理) 已知函数 f ( x ) ? )

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对 ex

数的底数),曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ) 设 g ( x) ? ( x2 ? x) f '( x) , 其 中 f ' ( )为 f ( x ) 的 导 函 数 . 证 明 : 对 任 意 x

x ? 0 , g ( x ) 1 ?2 . ? ?e


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