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《集合的含义与表示》课件2


§1.1.1

集合的含义与表示

情境引入
许多数学家都认为现代数学具有四个特 点,其中一个就是:集合论成为数学各分支 的共同基础. 集合论是在19世纪末诞生的,其创始人 是康托尔(1829-1920,德国数学家). 我们高中阶段学习的集合只是一般描述 性的朴素说法,集合是数学概念中的原始概 念之一,不能用别的概念加以定义,只能用 一组公理去刻画.

温故知新
? 初中阶段,我们学习过哪些集合? 代数方面:自然数集合,有理数集合,实数集合, 方程解的集合,不等式解的集合; 几何方面:点的集合等. ? 在初中学习中,我们用集合描述过什么? 线段中垂线的概念:平面内到一条线段的两个端 点距离相等的点的集合; 圆的概念:点平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. ? 你能否再举出一些集合的例子吗?

看下面8个问题,你能概括出它们 具有的共同特征吗?

1.1~20以内的所有质数; 2.我国从1991~2003年的13年内所发射的所有恒星; 3.金星汽车厂2003年生产的所有汽车; 4.2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; 5.所有正方形; 6.到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点;
7.方程x2+3x-2=0的所有实数根; 8.新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.

集合的概念
概念:一般地,我们把研究对象统称为元素(element),
把一些元素组成的总体叫做集合(set)。

例:“太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋”组成一个集合。
思考:
判断以下元素的全体能否组成集合,并说明理由:
(1)大于3小于11的偶数; (2)我国的小河流; (3)所有的数学难题;

集合中元素的属性
确定性:

集合中的元素必须是确定的。这就是说,给定一个集合, 任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了。互异 性: 一个给定集合中的元素是互不相同的.也就是说,集合 中的元素是不重复出现的。 无序性: 元素完全相同的两个集合相等,而与列举顺序无关。

两个集合相等当且仅当构成这两个集合的元 素是完全一样的.

元素与集合的关系
集合通常用大写拉丁字母表示:
A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

元素通常用小写拉丁字母表示:
若a是集合A的元素,就说a属于集合A, 记作 a ∈A 若a不是集合A的元素,就说a不属于集合A, 记作 a ?A

常用的数集及其记法
? 非负整数集(或自然数集):全体非负整数

的集合,记作N; ? 正整数集:非负整数集内排除0的集,记作N* 或N+ ; ? 整数集:全体整数的集合,记作Z;
? 有理数集:全体有理数的集合,记作Q; ? 实数集:全体实数的集合,记作R.

集合的表示方法
列举法:
把集合中的元素一一列举出来,并用花括 号“{}”括起来表示集合的方法.

例如:
“地球上的四大洋”组成的集合可用列举 法表示为: A={太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

例1.用列举法表示下列集合
1.小于10的所有自然数组成的集合; A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

2.方程x2=x的所有实数根组成的集合; B={0,1}
3.由1~20以内的所有质数组成的集合. C={2,3,5,7,11,13,17,19}

思考
(1)你能用自然语言描述集合{2,4,6,8}吗? (2)你能用列举法表示不等式x-7<3的解集 吗?

描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法

具体方法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的 一般符号及取值(或变化)范围,再画一条 竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有 的共同特征.

例如:所有奇数的集合可表示为:
E={x∈Z|x=2k+1,k ∈Z}

例2.试分别用列举法和描述 法表示下列集合
1.方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;

2.由大于10小于20的所有整数组成的集合.

练习
1.用符号∈或?填空: (1)设A为所有亚洲国家组成的集合,则 ? A, ? A, 中国____ 美国____ ? A, ? A; 印度____ 英国____ ? A; (2)若A={x|x2=x},则-1____ ? ;; (3)若B={x|x2+x-6=0},则3____B (4)若C={x∈N|1≤x≤10}, ? ,9.1____C. ? 则8____C

2.试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2-9=0的实数根组成的集合; (2)由小于8的所有质数组成的集合; (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点 组成的集合; (4)不等式4x-5<3的解集.

收获与体会
(1)你是怎样理解“集合”这一概念的? (2)常用数集(自然数集N、正整数集N*或 N+、整数集Z、有理数集Q、实数集R) 之间有什么关系? (3)如何判断元素与集合间的关系?


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