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高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2_图文

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

核心素养培养目标 核心素养形成脉络
1.了解空间两条直线 间的位置关系,理解异 面直线的定义. 2.理解并掌握公理 4 和等角定理,并能解决 有关问题. 3.会用两条异面直线 所成角的定义,找出或 作出异面直线所成的 角,会在三角形中求简 单的异面直线所成的 角.

一二三四
一、空间中两条直线的位置关系 1.同一平面内两条直线有几种位置关系?分别是什么关系? 提示:两种.分别是平行关系和相交关系. 2.观察长方体ABCD-A1B1C1D1,棱A1D1所在的直线与棱BB1所在的 直线在同一个平面内吗?它们是什么关系?
提示:不在同一个平面内,它们是异面关系. 3.分别在两个平面内的两条直线是否一定异面? 提示:不一定.它们可能异面,可能相交,也可能平行.

一二三四
4.空间的两条直线有几种位置关系?分别是什么关系? 提示:三种:相交直线、平行直线和异面直线,其中相交直线和平 行直线是共面直线. 5.填空:

6.做一做:平面内一点与平面外一点连线和这个平面内直线的关

系是

.

答案:相交或异面

一二三四
二、平行公理 1.观察长方体ABCD-A1B1C1D1,显然AB∥CD,CD∥C1D1,则AB与 C1D1有何位置关系? 提示:AB∥C1D1.
2.关于公理4,请完成下表:
文字语言 平行于同一条直线的两条直线互相平行
图形语言
符号语言 直线 a,b,c,a∥b,b∥c?a∥c 作 用 证明两条直线平行 说 明 公理 4 表述的性质通常叫做空间平行线的传递性

一二三四
3.做一做: 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为B1O和C1O的中点, 长方体的各棱中与EF平行的有( )

A.一条

B.两条 C.三条 D.四条

解析:因为E,F分别为B1O和C1O的中点,所以B1C1∥EF.因为 BC∥AD∥A1D1∥B1C1,所以有四条棱与EF平行.
答案:D

一二三四
三、等角定理 1.如图,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD为菱形,∠ADC与 ∠A'D'C',∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行,这两组角的大小关 系如何?
提示:∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=180°. 2.平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行,那么这两个角相等或互补”,在空间中,该结论是否仍然成立? 提示:仍然成立.

一二三四
3.填空:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相 等或互补.
4.做一做:已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'=( ) A.30° B.150° C.30°或150° D.大小无法确定 解析:当∠B'A'C'与∠BAC开口方向相同时,∠B'A'C'=30°;当∠B'A'C' 与∠BAC开口方向相反时,∠B'A'C'=150°. 答案:C

一二三四
四、异面直线所成的角 1.在长方体A1B1C1D1-ABCD中,BC1∥AD1,则“直线BC1与直线BC 所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等? 提示:相等. 2.若两条相交直线a',b'所成的角为θ',则θ'的取值范围是什么?类 似地,若两条异面直线a,b所成的角为θ,则θ的取值范围是什么? 提示:0°<θ'≤90°,0°<θ≤90°.

一二三四

3.关于两条异面直线所成的角(夹角),填写下表:

定义
范围 两异面直 线垂直

已知两条异面直线 a,b,经过空间任一点 O 作直线 a' ∥a,b'∥b,我们把 a'与 b'所成的锐角(或直角)叫做异 面直线 a 与 b 所成的角(或夹角) 记异面直线 a 与 b 所成的角为 θ,则 0°<θ≤90°
当 θ=90°时,a 与 b 互相垂直,记作 a⊥b

一二三四

4.做一做:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∠BAE=25°,则异面直线AE

与B1C1所成的角的大小为

.

答案:65°

探究一

探究二

探究三

思维辨析

空间两条直线位置关系的判定

例1 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系:

①直线A1B与直线D1C

;

②直线A1B与直线B1C

;

③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点)

;

④直线AB与直线B1C

.

(2)已知三条直线a,b,c,a与b异面,b与c异面,则a与c有什么样的位

置关系?并画图说明.

探究一

探究二

思路分析:(1)

探究三

思维辨析

(2)根据异面直线的定义分析.
解:(1)①平行 ②异面 ③相交 ④异面
(2)直线a与c的位置关系有三种情况,如图所示.
直线a与c可能平行,如图①;可能相交,如图②;可能异面,如图③.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟空间两条直线位置关系的判定方法:

(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断,而两条

直线平行也可以用公理4判断.

(2)判定两条直线是异面直线的方法:
①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内; ②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交); ③重要结论(判定定理法):连接平面内一点与平面外一点的直线
和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如 图,A?α,B∈α,l?α,B?l?AB与l是异面直线.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

延伸探究在本例的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直

线为

.

答案:CC1,B1C1,DD1,A1D1

探究一

探究二

探究三

思维辨析

平行公理、等角定理的应用

例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1 的中点.

(1)求证:四边形BB1M1M为平行四边形; (2)求证:∠B1M1C1=∠BMC. 思路分析:(1)通过公理4证明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知 B1M1∥BM,同理证得C1M1∥CM,再由等角定理证得 ∠BMC=∠B1M1C1.也可以通过证明△BCM≌△B1C1M1证出 ∠BMC=∠B1M1C1.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

证明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,
∴MM1 AA1.
又AA1 BB1,
∴MM1∥BB1,且MM1=BB1, ∴四边形BB1M1M为平行四边形.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)(方法一)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1∥BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐
角.∴∠BMC=∠B1M1C1.
(方法二)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,
∴B1M1=BM.
由(1)同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,
∴C1M1=CM.
又B1C1=BC,
∴△B1C1M1≌△BCM, ∴∠B1M1C1=∠BMC.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟公理4及等角定理的应用 判断两直线平行仍是立体几何中的一个重要组成部分,除了平面 几何中常用的判断方法以外,公理4也是判断两直线平行的重要依 据. 证明角相等,利用空间等角定理是常用的思考方法;另外也可以 通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等.在应用等角定理 时,应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时, 这两个角相等,否则这两个角互补.因此,在证明两个角相等时,只说 明两个角的两边分别对应平行是不够的.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 棱CD,AD的中点.求证:

(1)四边形MNA1C1是梯形;(2)∠DNM=∠D1A1C1. 证明(1)如图,连接AC,

在△ACD中,∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△ACD的中位线,∴MN∥AC,MN= A12C.
由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN= 12A1C1,即MN≠A1C1,∴四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

求异面直线所成的角
例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中 点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.

思路分析:先作出角,再证明角的两边分别与两异面直线平行,最 后在三角形中求角.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解法一如图(1),连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中 点G,连接OG,则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点, ∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

图(1)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解法二如图(2),连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,则HE∥DB1,且

HE=

1 2

DB1.

于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或补角.

连接 HF,设 AA1=1,则 EF= 22,HE= 23,

取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,
∴HF2=HI2+IF2= 54,

∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

图(2)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解法三如图(3),在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接
B1Q,则B1Q∥EF. 于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. 通过计算,不难得到:B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所
成的角为90°.

图(3)

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟(1)求两条异面直线所成角的一般步骤
①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异
面直线所成的角;
②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补
角;
③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小; ④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异
面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求. (2)作异面直线所成角的常用方法
①直接平移法(可利用图中已有的平行线); ②中位线平移法; ③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到
平行线).

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三 种方法:
①直接平移法(可利用图中已有的平行线); ②中位线平移法; ③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到
平行线).

探究一

探究二

探究三

思维辨析

延伸探究若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢? 解:如图,连接A1C1,A1D.

在△A1B1C1中,A1E=EB1,C1F=FB1,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为 直线DC1与EF所成的角.
在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1, 所以∠A1C1D=60°, 所以直线DC1与EF所成的角等于60°.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

一题多解——判断两条直线异面 典例如图,空间四边形ABCD,AB≠AC,AE是△ABC的BC边上的 高,DF是△BCD的BC边上的中线,求证:AE和DF是异面直线.

点拨:根据题意画出示意图,由题设条件可知点E,F不重合,需结合 AE和DF的位置关系判断.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

证法一(定理法)

由题设条件可知点E、F不重合,设△BCD所在平面为α.
?
∴∈? ?AE 和 DF 是异面直线.

?
证法二(反证法)

若AE和DF不是异面直线,则AE和DF共面,设过AE、DF的平面为β.

(1)若E,F重合,则E是BC中点,AB=AC,这与题设AB≠AC相矛盾.

(2)若E,F不重合,

∵B∈EF,C∈EF,EF?β,∴BC?β.

∵A∈β,D∈β,

∴A、B、C、D四点共面,这与题设四边形ABCD是空间四边形相矛盾.

综上,AE和DF不是异面直线不成立.

故AE和DF是异面直线.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

方法总结 判断两条直线异面常用的方法: (1)定义法,不同在任一平面内的两条直线; (2)定理法,过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过 该点的直线是异面直线. (3)推论法,一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连 成的两条直线为异面直线.

12345
1.空间两条直线a、b与直线l都成异面直线,则a、b的位置关系是 () A.平行或相交 B.异面或平行 C.异面或相交 D.平行或异面或相交 解析:直线a、b与直线l都成异面直线,a与b之间并没有任何限制,所 以a与b直线的位置关系所有情况都可能. 答案:D

12345
2.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关 系是( ) A.相交 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 解析:如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与 AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相 交,AB与A1D1异面.故选D.
答案:D

12345
3.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示,A,B,C是展开图 上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的大小是( ) A.45° B.30° C.60° D.90° 解析:将平面图形折叠,得立体图,如图所示,可得△ABC的各边均为 正方形的面对角线长,所以△ABC为等边三角形,所以∠ABC的大小 为60°.故选C.
答案:C

12345
4.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于 ( ) A.30° B.30°或150° C.150° D.以上结论都不对 解析:∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行,但方向不能确定是否
相同.∴∠PQR=30°或150°.
答案:B

12345

5.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.

则四边形EFGH是

.

解析:连接BD,因为EH是△ABD的中位线,
∴EH∥BD,且 EH=12BD.
同理 FG∥BD,且 FG=1BD.
2
∴EH∥FG,且EH=FG. ∴四边形EFGH是平行四边形.
答案:平行四边形


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