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高中数学必修四人教版2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角6ppt课件_图文

2.4.2平面向量数量积的坐标表 示、模、夹角 复习引入 (1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 2 或a ? a ? a; a ?b a ? b . a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ? 我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算, 那么怎样用 a和b的坐标表示 a ? b呢? 在直角坐标系中,已知两个非零向量a=(x1,y1), b = (x2,y2), 如何用a 与b的坐标表示a?b 单位向量i 、j 分别与x 轴、y 轴方向相同,求 ① ③ ② j ? i ______ ? 0 ④ i ? i _____ ? 1 ______ i? j ? _____ j? j ? 0 1 Y B(x2,y2) ∵a = x1 i + y1 j ,b = x2 i + y2 j a ? b ? ? x1i ? y1 j ? ? ? x2 i ? y2 j ? ? x1 x2 i 2 ? x1 y2 i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2 b j O A(x1,y1) ? x1 x2 ? y1 y2 a X i 1、平面向量数量积的坐标表示 在坐标平面xoy内,已知 =(x1,a y1), = (x2,y2),则 b a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例 1:已知 =(1, √3 ), a √3 ), =(– 2,2 b 求 a · b b1×(–2)+√3×2√3=4; 解: a · = 练习: ? ? ? (?3, ?4) ? ? ? ?13, ?26) 则 (a ? b )c ? ____ a(b ? c ) ? ( ____ ? ? ? a ? (1,2),b ? (3,?1), c ? (?3,4), 2、向量的模和两点间的距离公式 (1) a ? a ? a 2 或 a ? a ? a; (1)向量的模 设a ? ( x, y ), 则 a 2 ? x ? y ,或 a ? 2 2 x ? y ; 2 2 (2)两点间的距离公式 设A(x1 , y1 )、B ( x2 , y 2 ), 则 AB ? (x1 ? x2 ) ? (y1 ? y 2 ) 2 2 (1).设a ? ? x, y ? , 则 a ? a ? x2 ? y 2 用于计算向量的模 如果表示向量 a的有向线段的起点和终点的坐标分别为? x1 , y1 ?, ? x2 , y 2 ?, 那么 ? x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2 . 即平面内两点间的距离公式. 例 1:已知 =(1, √3 ), a √3 ), =(– 2,2 b 求| a |,| | b a=√12+(√3 )2=2, b= | a ?b | √(– 2) +(2√3 ) =4, 2 2 a ? b ? (3, ? 3) ? | a ? b |? 32 ? ( ? 3) 2 ? 12 ? 2 3 3、两向量夹角公式的坐标运算 设 a与b 的夹角为?( 0 则 cos ? ? a ?b a b ? ? ? ? 180 ), ? 设a ? (x1 , y1 ), b ?( x2 , y 2 ), 且a与b夹角为?, (0 ? ? ? 180 )则 cos? ? ? ? x1 x2 ? y1 y 2 x ?y ? 2 1 2 1 2 2 x ?y 2 2 2 2 . 其中 x ? y ? 0, x ? y 2 1 2 1 2 2 ? 0. 向量夹角公式的坐标式: (x2,y2),则 a =(x1,y1), = b cos ? ? x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? 2 1 2 1 x ?y 2 2 2 2 例 1:已知a=(1,√3 ),b=(– 2,2√3 ), 求a与b的夹角θ. cos θ= a· b = a b 4 = , 2×4 1 2 的夹角为?( 0 ? ? ? ? 180 ?), a ?b ? ? ∴ θ =60? 4、两向量垂直的坐标表示 垂直 a ? b ? a ?b ? 0 设a ? (x1 , y1 ), b ? ( x2 , y 2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 a 与 b 垂直: (x2,y2),则 a =(x1,y1), = b a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? ? ? ? 练习: a ? (3,4), b ? 且 a起点坐标为 , ? b( 1,42) 1 (? ,) 终点坐标为( x, 3x), 则 b ? ______ 15 5 例 2:已知a=(5, 0),b=(–3.2, 2.4), 证明: ∵(a+b)· b= a· b +b 2 =5×(–3.2)+0×2.4+(–3.2)2+2.42 ∴ =0 (a+ b)⊥ b 求证:(a+b)⊥b . 例3:已知A(1、2),B(2,3),C(2,5), 求证Δ ABC是直角三角形 证明: ∵AB = (2 - 1,3 - 2)= (1,1) AC = (2 - 1 , 5 - 2 )= (3 ,3 ) C Y B A O X ? = 1╳(∴AB AC 3)+ 1╳ 3 = 0 ∴AB⊥AC ∴Δ ABC是直角三角形 注:两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法 之一。 如证明四边形是矩形,三角形的高,菱形对角线垂直等. 5、两向量垂直、平行的坐标表示 (x2,y2),则 a =(x1,y1), = b a // b(b ? 0) ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

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