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第二课时 对数函数图象及性质的应用(习题课)


第二课时

对数函数图象及性质的 应用(习题课)

【课标要求】
1.进一步理解对数函数的图象与性质. 2.掌握对数函数图象与性质的应用. 3.体会数形结合思想、分类讨论思想在函数 问题中的作用.

对数值的大小比较
问题:(2012 福建师大附中高一期中)下列大小关 系正确的是( ) (A)0.43<30.4<log40.3 (B)0.43<log40.3<30.4 3 0.4 0.4 3 (C)log40.3<0.4 <3 (D)log40.3<3 <0.4 3 0.4 解析:0<0.4 <1,3 >1,log40.3<0,故选 C.

【例 1】 比较下列各组值的大小.

3 4 (1)log 与 log ; 4 3 (2) log 1 2 与 log 1 2 ;
5 5

3

5

(3)log23 与 log54.

解:(1)法一 对数函数 y=log5x 在(0,+≦)上是增函数,

3 4 而 < , 4 3 3 4 ?log <log . 4 3 3 4 法二 ≧log <0,log 4 3 3 4 ?log <log . 4 3
5 5 5 5 5 5

>0,

(2)由于 log 1
3

2=

1 1 log 2 3

, log 1
5

2=

1 1 log 2 5

.

又因对数函数 y=log2x 在(0,+≦)上是增函数,

1 1 且 > , 3 5 1 1 ?0>log >log , 5 3
2 2



1

1 1 log 2 log 2 3 5 ∴ log 1 2 < log 1 2 .
3 5

<

1

,

(3)取中间值 1, ≧log23>log22=1=log55>log54, ?log23>log54.

如何比较对数值的大小?((1)比较 同底数的两个对数值的大小,常利用对数函数的 单调性. (2)比较同真数的两个对数值的大小,常有两种 方法:①先利用对数换底公式化为同底数的对数, 再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小; ②利用对数函数图象的相互位臵关系比较大小. (3)若底数与真数都不同,则通过一个恰当的中 间量来比较大小)

跟踪训练 1 1:比较下列各组数的大小. (1)loga2.7,loga2.8(a>0 且 a≠1); (2)log34,log65; (3)log0.37,log97.

解:(1)当 a>1 时,由函数 y=logax 的单调性可知 loga2.7<loga2.8; 当 0<a<1 时,同理可得 loga2.7>loga2.8. (2)log34>log33=1,log65<log66=1, ?log34>log65. (3)log0.37<log0.31=0, log97>log91=0, ?log0.37<log97.

利用对数函数单调性解不 等式
【例 2】(1)已知 loga

1 2

>1,求 a 的取值范围;

(2)已知 log0.72x<log0.7(x-1),求 x 的取值范围.

名师导引:(1)未知数位于什么位臵?(位于对 数的底数或真数位臵,称其为对数不等式) (2)能否转化为常规不等式,如一元一次不等 式等类型?(对于同底数的对数不等式,可以 利用函数的单调性等价转化为常规不等式)

解:(1)由 loga

1 2

>1 得 loga

1 2

>logaa.

1 ①当 a>1 时,有 a< ,此时无解. 2 1 ②当 0<a<1 时,有 <a, 2 1 从而 <a<1. 2
?1 ? ?a 的取值范围是 ? , 1? . ?2 ?

(2)≧函数 y=log0.7x 在(0,+≦)上为减函数,

?由 log0.72x<log0.7

?2 x>0, ? >0, 解 (x-1)得 ? x ? 1 ?2 x>x ? 1, ?

得 x>1. 即 x 的取值范围是(1,+≦).

(1)求解对数不等式的基本 思路是什么?(解对数不等式是想法脱去对 数符号,转化为一般不等式(组)求解,其依 据是对数函数的单调性.若含有字母,应考 虑分类讨论) (2)求解对数不等式易忽略什么?(忽略定 义域优先的原则,导致增解)

跟踪训练 2 1:(2013 淄博一中高一期中)若函数 y=f(x)的定义域为[1,2],则 y=f( log 1
2

x )的定

义域为(

)

(A)[1,4] (B)[4,16] (C)[1,2]

?1 1? , (D) ? ? ?4 2?

1 解析:由 1≤ log 1 x ≤2,解得 4 2
故选 D.

1 ≤x≤ 2

.

对数函数性质的综合应用
【例 3】 (12 分)已知函数 f(x)=log2(1+x ).
2

求证:(1)函数 f(x)是偶函数; (2)函数 f(x)在区间(0,+∞)上是增函数. 名师导引:如何证明函数的奇偶性与单调性?(利 用奇偶性与单调性的定义,注意明确自变量的取 值范围)

证明:(1)函数 f(x)的定义域是 R, 2 f(-x)=log2[1+(-x) ] 2 =log2(1+x )=f(x),…………2 分 所以函数 f(x)是偶函数.…………3 分 (2)设 0<x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=log2(1+ x )-log2(1+ x )
2 1 2 2

1? x =log 1? x
2

2 1 2 2

,………6 分

由于 0<x1<x2, 则 0< x < x ,……………………7 分 则 0<1+ x <1+ x ,
2 1 2 2 2 1 2 2

1? x 所以 0< 1? x

2 1 2 2

<1.…………………9 分

又函数 y=log2x 在(0,+≦)上是增函数,

所以 log2

1? x 1? x

2 1 2 2

<0.

所以 f(x1)<f(x2).……………………11 分 所以函数 f(x)在区间(0,+≦)上是增函数. …………………………………………12 分

如何判定 logaf(x)类函数的 单调性?((1)定义法:通过作差判定大小; (2)性质法:利用函数的奇偶性与单调性的 关系进行判定)

跟踪训练 3 1:已知函数 f(x)=lg|x|, (1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)画出函数 f(x)的图象的草图; (3)求函数 f(x)的单调递减区间,并证明. 解:(1)要使函数有意义,x 的取值需满足|x|>0, 解得 x≠0,即函数定义域是(-≦,0)∪(0,+≦), f(-x)=lg|-x|=lg|x|=f(x),所以函数 f(x)是 偶函数.

(2)由于函数 f(x)是偶函数,则其图象关于 y 轴对称,将函数 y=lg x 的图象对称到 y 轴 的左侧与函数 y=lg x 的图象合起来得函数 f(x)的图象,如图所示.

(3)由函数 f(x)的图象得函数 f(x)的单调递 减区间是(-≦,0),证明如下: 设 x1,x2∈(-≦,0),且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=lg|x1|-lg|x2|

| x1 | x1 =lg =lg| | x2 | x2
所以|x1|>|x2|>0,

|.

因为 x1,x2∈(-≦,0),且 x1<x2,

x1 所以| x2

| x1 | |>1,所以 lg >0, | x2 |

所以 f(x1)>f(x2), 所以函数 f(x)在(-≦,0)上是减函数,即函数 f(x)的单调递减区间是(-≦,0).

【备选例题】
【例 1】 一片森林的面积为 a,计划每年砍伐
一批木材,每年砍伐面积的百分比相等,则砍伐 到原面积的一半时,所用时间是 T 年.为保护生 态环境,森林面积至少要保留原面积的 25%.已

知到今年为止,森林剩余面积为原来的

2 2

.

(1)问到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (2)问今后最多还能砍伐多少年? 解:设每年砍伐面积的百分比为 b(0<b<1),

1 则 a(1-b) = 2
T T

a,

1 lg 1 2 ?(1-b) = ,lg(1-b)= . 2 T

(1)设到今年为止,该森林已砍伐了 x 年,

?a(1-b) =

x

2 2

a,

得 xlg(1-b)=lg

2 2

,

1 lg 2 2 于是 x· =lg 2 T

,

T 即 x= 2
需 y 年,

T ,即已砍伐了 2

年.

(2)设从开始砍伐到至少保留到原面积的 25%

1 则 a(1-b) ≥ 4
y

a, ,

1 得 ylg(1-b)≥lg 4

1 lg 1 2 ?y· ≥lg 4 T
解得 y≤2T.

,

T 3T 因此今后最多还能砍伐的年数为 2T- = 2 2

.

【例 2】 若-1<loga
a

3 4

<1,求 a 的取值范围. <logaa.

1 3 3 解:-1<log <1 ? log <log 4 4 a 1 3 4 当 a>1 时, < <a,?a> ; 3 a 4 1 3 当 0<a<1 时, > >a, a 4
a a

3 ?0<a< 4

,

3 ?a 的取值范围是(0, 4

4 )∪( 3

,+≦).

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