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(三年模拟一年创新)2016届高考数学复习 第九章 第一节 直线与方程 理(全国通用)


第一节

直线与方程

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题 1.(2015·山东省实验中学期末)已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x-2y+2=0 平行,则 tan 2α 的值为( A. 4 5 ) B. 4 3 C. 3 4 D. 2 3

1 1 2tan α 解析 直线的斜率为 ,即直线 l 的斜率为 k=tan α = ,所以 tan 2α = = 2 2 2 1-tan α 1 2× 2 2 ?1? 1-? ? ?2? 1 4 = = ,选 B. 3 3 4

答案 B 2.(2015·北京海淀模拟)已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:x+ay+2=0.若 l1⊥l2, 则实数 a 的值是( A.0 ) B.2 或-1 C.0 或-3 D.-3

解析 因为 l1⊥l2,所以 a+a(a+2)=0,则 a=0 或 a=-3,故选 C. 答案 C 3.(2014·江西南昌调研)直线 2x- my+ 1- 3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点 ( )

? 1 ? A.?- ,3? ? 2 ? ?1 ? C.? ,-3? ?2 ?

?1 ? B.? ,3? ?2 ? ? 1 ? D.?- ,-3? ? 2 ?

解析 ∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立, 1 ∴2x+1=0,y+3=0,∴x=- ,y=-3. 2 答案 D 4.(2014·陕西西安调研)经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之

和最小,则直线的方程为( A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0

)

B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0

解析 直线过 P(1,4),代入后舍去 A、D,又在两坐标轴上的截距均为正值,故舍去 C. 答案 B 二、填空题 5.(2014·江苏盐城模拟)设 a、b、c 分别是△ABC 中 A、B、C 所对边的边长,则直线 xsin A +ay+c=0 与 bx-ysin B+sin C=0 的位置关系是________. 解析 由 = ,得 bsin A-asin B=0. sin A sin B ∴两直线垂直. 答案 垂直 一年创新演练 π 6.已知直线 l 过点 O(0,0)和点 P( 2cos α , 2sin α -4),其中 α ≠kπ + ,k∈Z, 2 则直线 l 的斜率的取值范围为( A.[- 7, 7] B.(- 7, 7) C.(-∞,- 7]∪[ 7,+∞) D.(-∞,- 7)∪( 7,+∞) 解析 动点 P 的轨迹为圆 C:x +(y+4) =2,但应除去圆与 y 轴的两个交点.当直线 l 与圆 C 相切时,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=kx,由圆心 C(0,-4)到直 线 l 的距离等于半径 2,得 4
2 2

a

b

)

k2+1

= 2,解得 k=± 7.利用数形结合,得直线 l 的斜

率的取值范围为(-∞,- 7]∪[ 7,+∞). 答案 C 7.已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点,若动点 P(a,b)在线段 AB 上, 则 ab 的最大值为________. 解析 由题意知 A(2,0),B(0,1), 所以线段 AB 的方程可表示为 +y=1,x∈[0,2], 2 又动点 P(a,b)在线段 AB 上, 所以 +b=1,a∈[0,2], 2

x

a

又 +b≥2 2 所以 1≥2

a

ab
2



ab
2

1 ,解得 0≤ab≤ , 2

a 1 当且仅当 =b= , 2 2
1 ? 1? 即 P?1, ?时,ab 取得最大值 . 2 ? 2? 答案 1 2 B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、选择题 8.(2014·广西南宁调研)已知直线 ax+4y-2=0 与 2x-5y+b=0 互相垂直,垂足为(1,

c),则 a+b+c 的值为(
A.-4 B.20

) C.0 D.24

a 2 解析 由两直线垂直得- × =-1, 4 5
∴a=10,将垂足坐标代入 ax+4y-2=0,得 c=-2,再代入 2x-5y+b=0, 得 b=-12,∴a+b+c=-4. 答案 A 二、填空题 9.(2015·盐城模拟)经过两条直线 2x-3y+3=0,x-y+2=0 的交点,且与直线 x-3y- 1=0 平行的直线的一般式方程为______________________. 解析 两条直线 2x-3y+3=0,

x-y+2=0 的交点为(-3,-1),
1 所以所求直线为 y+1= (x+3),即 x-3y=0. 3 答案 x-3y=0 10.(2014·青岛模拟)已知两直线 l1:x+ysin θ -1=0 和 l2:2xsin θ +y+1=0,当 l1 ⊥l2 时,θ =________. 解析 l1⊥l2 的充要条件是 2sin θ +sin θ =0, 即 sin θ =0,∴θ =kπ (k∈Z), ∴当 θ =kπ (k∈Z)时,l1⊥l2. 答案 kπ (k∈Z) 11.(2014·深圳模拟)一条直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴,y 轴的正半轴于 A、B 两点,

O 为原点,则△AOB 的面积最小时直线 l 的方程为________.
解析 设 l: + =1(a,b>0). 1 4 因为点 P(1,4)在 l 上,所以 + =1.

x y a b

a b

1 4 由 1= + ≥2

4

a b

ab

? ab≥16,

1 1 4 1 所以 S△AOB= ab≥8.当 = = , 2 a b 2 即 a=2,b=8 时取等号. 故直线 l 的方程为 4x+y-8=0. 答案 4x+y-8=0 三、解答题 12.(2014·龙岩调研)如图,椭圆有两顶点 A(-1,0)、B(1,0),过其 焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线

AC 与直线 BD 交于点 Q.
3 (1)当|CD|= 2时,求直线 l 的方程; 2 → → (2)当点 P 异于 A、B 两点时,求证:OP·OQ为定值.

y2 x2 (1)解 因椭圆的焦点在 y 轴上,设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b
由已知得 b=1,c=1,∴a= 2. 则椭圆方程为 +x =1. 2 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符.

y2

2

y=kx+1 ? ? 2 2 2 设 l 的方程为 y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2).由?y ,消去 y 得,(k +2)x + 2 + x = 1 ? ?2
2kx-1=0. 则 x1+x2=- 2k -1 2,x1x2= 2. 2+k 2+k
2 2

|CD|= 1+k · (x1+x2) -4x1x2=
2

2 2(k +1) , k2+2

2

2 2(k +1) 3 2 由 = ,解得 k=± 2. k2+2 2 ∴l 的方程为 y= 2x+1 或 y=- 2x+1. (2)证明 直线 l 垂直于 x 轴时与题意不符.

? 1 ? 设 l 的方程为 y=kx+1(k≠0 且 k≠±1),∴P 点的坐标为?- ,0?. ? k ?
设 C(x1,y1),D(x2,y2), 2k -1 由(1)知 x1+x2=- 2,x1x2= 2, 2 +k 2+k 直线 AC 的方程为 y= 直线 BD 的方程为 y=

y1 (x+1), x1+1 y2 (x-1), x2-1 x+1 y2(x1+1) = . x-1 y1(x2-1)

将两直线方程联立,消去 y 得 因为-1<x1,x2<1, 所以

x+1 y2 与 异号. x-1 y1
2
2 2 2 2

?x+1? =y2(x1+1) =2-2x2·(x1+1) ?x-1? y2(x -1)2 2-2x2 (x -1)2 ? ? 1 2 1 2
= (1+x1)(1+x2) (1-x1)(1-x2) 1+

-2k -1 + k2+2 k2+2 ?k-1?2 = =? ? . 2k -1 ?k+2? 1+ 2 + 2 k +2 k +2 2(1-k)(1+k) 2 又 y1y2=k x1x2+k(x1+x2)+1= k2+2 2(1+k) k-1 =- · , k2+2 k+1 ∴ ∴
2

k-1 x+1 k-1 与 y1y2 异号, 与 同号. k+1 x-1 k+1 x+1 k-1 = ,解得 x=-k. x-1 k+1

因此 Q 点坐标为(-k,yQ). 因此 Q 点坐标为(-k,yQ).

OP·OQ=?- ,0?·(-k,yQ)=1. ? k ?
→ → 故OP·OQ为定值. 一年创新演练 13.已知集合 A=?(x,y)|
? ? ? y-3 =a+1?,B={(x,y)|(a2-1)x+(a-1)y=15},求 a 为 x-2 ?

→ → ? 1

?

何值时,A∩B=?. 解 集合 A、B 分别为平面 xOy 上的点集,

直线 l1:(a+1)x-y-2a+1=0(x≠2),

l2:(a2-1)x+(a-1)y-15=0.
? ?(a+1)(a-1)=(-1)·(a -1), 由? ?-1×(-15)≠(a-1)(-2a+1), ?
2

解得 a=±1. ①当 a=1 时,显然有 B=?,所以 A∩B=?; 15 ②当 a=-1 时,集合 A 为直线 y=3(x≠2),集合 B 为直线 y=- ,两直线平行,所以 2

A∩B=?;
③由 l1 可知(2,3)?A,当(2,3)∈B 时, 即 2(a -1)+3(a-1)-15=0, 5 可得 a= 或 a=-4,此时 A∩B=?. 2 5 综上所述,当 a=-4,-1,1, 时,A∩B=?. 2
2


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