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10.04.23高二理科数学《第一讲 三、简单曲线的极坐标方程》


第一讲 坐标系

三、简单曲线的极坐标方程(一)
主讲: 赵意扬

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复习回顾
1. 极坐标系的概念
在平面内取一个定点O,叫做极点; 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再 选定一个长度单位、一个角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针 方向),这样就建立了一个极坐标系.

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复习回顾
1. 极坐标系的概念
设M是平面内一点,极点O与点M的 距离|OM|叫做点M的极径,记为?;以极 轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM 叫做点M的极角,记为?.有序实数对(?,?) 叫做点M的极坐标,记作M(?, ?). 一般地,不作特殊 说明时,我们认为?≥0, ?可取任意实数.
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复习回顾
2. 极坐标与直角坐标的互化

x ? ? cos ? , y ? ? sin? .
y ? ? x ? y , tan ? ? ( x ? 0) x y
2 2 2

O

x

? ?

M y N x

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讲授新课
如图,半径为a的圆的圆心坐标为 C(a,0)(a>0).你能用一个等式表示圆上 任意一点的极坐标(?,?)满足的条件吗? M(?,?)

C(a,0)

x

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讲授新课
1. 圆的极坐标方程 如图,半径为a的圆的圆心坐标为 C(a,0)(a>0).你能用一个等式表示圆上 任意一点的极坐标(?,?)满足的条件吗? M(?,?)

O

C(a,0) A x
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讲授新课
1. 圆的极坐标方程 圆经过极点O.设圆和极轴的另一个 交点是A,那么|OA|=2a.设M(?,?)为圆上 除点O,A以外的任意一点,则OM⊥AM.

O

?

?

M(?,?)

C(a,0) A x

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讲授新课
1. 圆的极坐标方程 圆经过极点O.设圆和极轴的另一个 交点是A,那么|OA|=2a.设M(?,?)为圆上 除点O,A以外的任意一点,则OM⊥AM. 在Rt△AMO中, M(?,?) |OM|=|OA|cos∠MOA, 即

?=2acos? ①

O

?

?

C(a,0) A x

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讲授新课
1. 圆的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面 曲线C上任意一点的极坐标中至少有一 个满足方程f(?,?)=0,并且坐标适合方 程f(?,?)=0的点都在曲线C上,那么方程 f(?,?)=0叫做曲线C的 M(?,?) ? 极坐标方程. O

?

C(a,0) A x

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讲授新课
?=2acos?


①就是圆心在C(a,0)(a>0),半径为

a的极坐标方程.

O

?

?

M(?,?)

C(a,0) A x

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例题讲解
例1.已知圆O的半径为r,建立怎样的 极坐标系,可以使圆的极坐标方程更 简单?

O

r

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例题讲解
例1.已知圆O的半径为r,建立怎样的 极坐标系,可以使圆的极坐标方程更 简单? M

? ?
O

r

x

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讲授新课

问题1:极坐标方程为?=r表示什么曲线? 问题2:极坐标方程为?=acos? (a>0)表示 什么曲线?

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讲授新课
2. 直线的极坐标方程

? 直线l的角是
方程.

如图,直线l经过极点,从极轴到
,求直线l的极坐标 M
?
4

4

O

x

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讲授新课
?射线OM的极坐标方程是 ? ?

?

4 5? ?射线OM'的极坐标方程是 ? ? ( ? ? 0) 4
因此,直线l的方程可以用 ? 5? ? ? 和? ? ( ? ? R) 表示. 5? 4 4
4

( ? ? 0)

M
?
4

M'

O

x

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讲授新课
若?<0,则-?>0,我们规定 点M(?,?)与点P(-?,?)关于极点对称. M
5? 4

?
4

M'

O

x

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讲授新课
5? 问题3: 极坐标方程? ? ( ? ? R)表示 6 什么曲线?请画图 .

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讲授新课
5? 问题3: 极坐标方程? ? ( ? ? R)表示 6 什么曲线?请画图 .
表示过极点,倾斜角为 5? l 的一条直线,图为 6
5? 6

O

x

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讲授新课

问题4:直线与射线的极坐标方程有何区别?

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课堂练习
1.在坐标系中,求适合下列条件的直线 或圆的极坐标方程.

(1) 过点(2, ),并且和极轴垂直的直 ; 线 3 3? ( 2) 圆心在(a , ),半径为a的圆. 2

?

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第一讲 坐标系

三、简单曲线的极坐标方程(二)
主讲: 赵意扬

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复习引入
1.以点C(a,0) 为圆心, a为半径的圆, 极坐标方程为

? O ?

M(?,?)

C(a,0) A M(?,?)

x

2.以极点O为圆心, r为半径的圆, 极坐标方程为

? ?
O A x

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复习引入
1.以点C(a,0) 为圆心, a为半径的圆, 极坐标方程为 ?=2acos?. 2.以极点O为圆心, r为半径的圆, 极坐标方程为

? O ?

M(?,?)

C(a,0) A M(?,?)

x

? ?
O A x

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复习引入
1.以点C(a,0) 为圆心, a为半径的圆, 极坐标方程为 ?=2acos?. 2.以极点O为圆心, r为半径的圆, 极坐标方程为 ?=r.

? O ?

M(?,?)

C(a,0) A M(?,?)

x

? ?
O A x

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复习引入
5? 3.极坐标方程为 ? (? ? R)表示 ? 6 什么曲线?请画图 .

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复习引入
5? 3.极坐标方程为 ? (? ? R)表示 ? 6 什么曲线?请画图 .
表示过极点,倾斜角为 5? l 的一条直线,图为 6

5? 6

O

x

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复习引入
4.写出极坐标方程 .

(1)过极点,倾斜角是 的直线. 3

?

( 2)过点( 2, ),并且和极轴垂直的直 . 线 3

?

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复习引入
4.写出极坐标方程 .

(1)过极点,倾斜角是 的直线. 3 ? ? ? ( ? ? R) 3 ( 2)过点( 2, ),并且和极轴垂直的直 . 线 3

?

?

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复习引入
4.写出极坐标方程 .

(1)过极点,倾斜角是 的直线. 3 ? ? ? ( ? ? R) 3 ( 2)过点( 2, ),并且和极轴垂直的直 . 线 3 ? cos ? ? 1
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?

?

例题讲解

例1.求以点C(a,?)为圆心,a为半径的圆的 极坐标方程.

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例题讲解

例1.求以点C(a,?)为圆心,a为半径的圆的 极坐标方程.

x

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例题讲解

例1.求以点C(a,?)为圆心,a为半径的圆的 极坐标方程.

? ? 2a cos(? ? ? )
x

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例题讲解
例2.已知圆经过极点O,与极轴交于A(2a,0) 点,求圆的极坐标方程.

x

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例题讲解
?

例3. 设 P (2,

4 3 所成的角为 ?,求直线 l 的极坐标方程 . 4

),直线 l 过 P 点且与极轴

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例题讲解
例4.设点P的极坐标为(?1,?1),直线l过 点P且与极轴所成的角为?,求直线l的 极坐标方程.
l

P ??1 , ? 1 ?

?
O

x

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例题讲解
例5.把下列极坐标方程化为直角坐标方程, 并判断图形的形状.

(1) ? ? 2a cos ? (a ? 0); ( 2) ? ? 9(sin ? ? cos ? ); ( 3) ? ? 4; (5) 2 ? cos ? ? 3 ? sin ? ? 5.
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课堂小结

1.若? ? 0, 则 ? ? ? 0, 我们规定点M ( ? ,? ) 与点P ( ? ? ,? )关于极点对称 .

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课堂小结

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课后作业

1.教材P.15习题1.3第1,2,3,4题.

2.《学案》.

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