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数学选修2-2第二章综合能力检测

必修 2-2 第二章

__综合能力检测__

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.所有自然数都是整数,4 是自然数,所以 4 是整数,以上三段推理( A.正确 B.推理形式不正确 )

C.两个“自然数”概念不一致 D.两个“整数”概念不一致 2.若 a>0,b>0,则有( b2 A. >2b-a a ) b2 D. ≤2b-a a ) b2 b2 B. <2b-a C. ≥2b-a a a

1 1 1 1 1 3.设 S(n)= + + + +?+ 2,则( n n+1 n+2 n+3 n 1 1 A.S(n)共有 n 项,当 n=2 时,S(2)= + 2 3 1 1 1 B.S(n)共有 n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4 1 1 1 C.S(n)共有 n2-n 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4

1 1 1 D.S(n)共有 n2-n+1 项,当 n=2 时,S(2)= + + 2 3 4 4. F(n)是一个关于自然数 n 的命题, 若 F(k)(k∈N*)真, 则 F(k+1)真, 现已知 F(7)不真, 则有:①F(8)不真;②F(8)真;③F(6)不真;④F(6)真;⑤F(5)不真;⑥F(5)真.其中为真命 题的是( ) B.①② C.④⑥ D.③④ )

A.③⑤

5.若 x,y∈R,且 2x2+y2=6x,则 x2+y2+2x 的最大值为( A.14 B.15 C.16 D.17

1 6.设 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)等于( 2 A.0 B.1 5 C. 2 D.5

)

→ → 7.若 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+ → → AB AC λ( + ),λ∈[0,+∞),则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( → → |AB| |AC| A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 )

8.如图所示为某旅游区各景点的分布图,图中一支箭头表示一段有方向的路,试计算 顺着箭头方向,从 A 到 H 有几条不同的旅游路线可走( )

A.15

B.16

C.17

D.18

9.对于直角坐标平面内的任意两点 A(x1,y1)、B(x2,y2)定义它们之间的一种“距离”: ||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|. 给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则||AC||+||CB||=||AB||; ②在△ABC 中,若∠C=90° ,则||AC||2+||CB||2=||AB||2; ③在△ABC 中,||AC||+||CB||>||AB||. 其中真命题的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3 )

a b c d 10.已知 a,b,c,d 是正实数,P= + + + ,则有( a+b+c a+b+d c+d+a c+d+b A.0<P<1 B.1<P<2 C.2<P<3 D.3<P<4

11 .一个 等差数列 {an} ,其 中 a10 = 0 ,则 有 a1 + a2 +?+ an = a1 + a2 +?+ a19 - 一个等比数列{bn}, 其中 n(1≤n≤19). b15=1.类比等差数列{an}有下列结论, 正确的是( )

A.b1b2?bn=b1b2?b29-n(1≤n≤29,n∈N*) B.b1b2?bn=b1b2?b29-n C.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b29-n(1≤n≤29,n∈N*) D.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b29-n 12.观察数表 1 2 3 4 ?第一行

2 3 4 5 ?第二行 3 4 5 6 ?第三行 4 5 6 7 ?第四行 ? ? ? ?

第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表中所反映的规律,第 n 行与第 n 列的交叉点上的数应该是( A.2n-1 B.2n+1 C.n2-1 D.n2 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 13.若三角形内切圆的半径为 r,三边长分别为 a,b,c,则三角形的面积 S= r(a+b 2

+c),根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为 R,四个面的面积分别为 S1, S2,S3,S4,则四面体的体积 V=________. a+b 14.若符号“*”表示求实数 a 与 b 的算术平均数的运算,即 a*b= ,则两边均含 2 有运算符号“*”和“+”,且对于任意 3 个实数 a 、b、 c 都能成立的一个等式可以是 ________. 15.把数列{2n+1}依次按第一个括号一个数,第二个括号两个数,第三个括号三个数, 第 四 个 括 号 四 个 数 , 第 五 个 括 号 一 个 数 ?? 循 环 下 去 , 如 : (3) , (5,7) , (9,11,13) , (15,17,19,21),?,则第 104 个括号内各数字之和为________. 16.已知 n 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn 1+?+an-2x2+an-1x+an.如果在一种算法中,


计算 xk 0(k=2,3,4,?,n)的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法, 3 次加法),那么计算 Pn(x0)的值共需要________次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法: P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,?,n-1).利用该算法,计算 P3(x0)的值共 需要 6 次运算,计算 Pn(x0)的值共需要________次运算. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 1 17.(本小题满分 10 分)证明对于任意实数 x,y 都有 x4+y4≥ xy(x+y)2. 2

18.(本小题满分 12 分)(2009· 江苏高考)如右图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,E,F 分 别是 A1B,A1C 的中点,点 D 在 B1C1 上,A1D⊥B1C.

求证:(1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.

19.(本小题满分 12 分)求证:y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b(a,b, c 是互不相等的实数)这三条抛物线中,至少有一条与 x 轴有两个交点.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(n)(n∈N*),满足条件:①f(2)=2,②f(xy)=f(x)· f(y), ③f(n)∈N*,④当 x>y 时,有 f(x)>f(y). (1)求 f(1),f(3)的值; (2)由 f(1),f(2),f(3)的值,猜想 f(n)的解析式; (3)证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性.

21.(本小题满分 12 分)已知数列 a1,a2,?,a30,其中 a1,a2,?,a10 是首项为 1, 公差为 1 的等差数列;a10,a11,?,a20 是公差为 d 的等差数列;a20,a21,?a30 是公差为 d2 的等差数列(d≠0). (1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30,a31,a40 是公差为 d3 的等差数列,?,依次类推,把已知 数列推广为无穷数列.提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例),并进行研究,你能得到什么 样的结论?

22.(本小题满分 12 分)对于函数 f(x),若存在 x0∈R,使 f(x0)=x0 成立,则称 x0 为 f(x) x +a 1 的不动点.如果函数 f(x)= (b,c∈N)有且只有两个不动点 0,2,且 f(-2)<- . 2 bx-c (1)求函数 f(x)的解析式; 1 (2)已知各项均不为零的数列{an}满足 4Sn· f( )=1,求数列的通项 an; an (3)如果数列{an}满足 a1=4,an+1=f(an),求证当 n≥2 时,恒有 an<3 成立.
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