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高中物理竞赛_话题1:重心与质心的确定

话题 1:重心与质心的确定

一、平行力的合成与分解

物体所受的几个力的作用线彼此平行,且不作用于一点,即为平行力(系)。 在平行力的合成或分解的过程中,必须同时考虑到力的平动效果和转动效果,后者要 求合力和分力相对任何一个转轴的力矩都相同。 两个同向平行力的合力其方向与两个分力方向相同,其大小等于分力大小之和。其作 用线在两个分力作用点的连线上。合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比。

例 如 : 两 个 同 向 平 行 力 FA 和 FB , 其 合 力 的 大 小 F ? FA ? FB , 合 力 作 用 点 O 满 足

AO ? FA ? BO ? FB 的关系。
两个反向平行力的合力其方向与较大的分力方向相同,其大小等于分力大小之差。其 作用线在两个分力作用点的连线的延长线上,且在较大的分力的外侧。合力作用点到分力

作用点的距离与分力的大小成反比。例如:两个反向平行力 FA 和 FB 的合成其合力的大小

F ? FB ? FA (假如 FB ? FA ,则 F 和 FB 同向)其合力的作用点满足 AO ? FA ? BO ? FB 的关

系。
FB

AO

B

F

AB

FA

FB

O

F

FA

一个力分解成两个平行力,是平行力合成的逆过程。
二、重心和质心
重心是重力的作用点。质心是物体(或由多个物体组成的系统)质量分布的中心。物体 的重心和质心是两个不同的概念,当物体远离地球而不受重力作用时,重心这个概念就失 去意义,但质心却依然存在。对于地球上体积不太大的物体,由于重力与质量成正比,重 心与质心的位置是重合的。但当物体的高度和地球半径比较不能忽略时,两者就不重合了, 如高山的重心比质心要低一些。
在重力加速度 g 为常矢量的区域,物体的重心是惟一的(我们讨论的都是这种情形),

1

重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点,由于重力与质量成正比,重力合力的作 用点即为质心,即重心与质心重合。

求重心,也就是求一组平行力的合力作用点。相距 L ,质量分别为 m1, m2 的两个质点

构成的质点组,其重心在两质点的连线上,且与 m1, m2 相距分别为 L1 , L2 :

m1L1 ? m2L2

L1 ? L2 ? L

L1

?

m2 L m1 ? m2

L2

?

m1L m1 ? m2

均匀规则形状的物体,其重心在它的几何中心,求一般物体的重心,常用的方法是将

物体分割成若干个重心容易确定的部分后,再用求同向平行力合力的方法找出其重心。

三、物体重心(或质心)位置的求法

1、定义法(坐标法)

质心位置的定义表达式是一个矢量表达式,将质点组各质点参量记为 mi 、 ri ,质点组

N
? 的质心记为 C ,则 mC ? mi i ?1

C 的位置定义在坐标 (xC , yC , zC )

N

? mi xi

xC

?

i ?1
mC

N

? mi yi

yC

?

i ?1
mC

N

? mi zi

zC

?

i ?1
mC

其意义可以这样理解:假定由多质点组成的物体被分成许多小块,每块都有相同的质

量 m ,物体总质量等于块数(设为 N 块)乘以每块质量 m ,第一式可以改写成:

? ? xC

?1 mN

N
mxi
i ?1

?

1 N

N
xi
i ?1

即等于各小块的位置 xi 之和除以块数 N 。因此,在假定每块质量相等时,xC 就是所有 xi 的

平均值。如果其中有一块(设第 i 块)的质量是其它小块质量的两倍,则在求和时,相应的 xi

2

应出现两次。这可以设想把此两倍的质量的小块分成相等的两块即可看出。因此, xC 是所

有质量在 x 方向上的平均位置,其中每小块质量所计算的次数都正比于这个质量自身。这
就是人们常说的,质心位置是以质量为权重的加权位置平均值。

根据定义式是求质心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐标,再利用直角坐标

下定义式给出质心的位置。对质量连续分布的物体,计算中通常要用到积分,对于中学生

来说暂时还无力求解。因此,此法通常用于质量离散分布或系统可以等效成离散质点情况

的处理。物体重心(或质心)位置的求法

例 1、 如图所示,一根竖直悬挂着的无限长细线上等距离地固定着 n 个质量 m 不等的质点小球,相邻两个小球之间的距离为 a 。已知最上端小球与悬点之
2m 间距离也为 a ,它的质量为 m ,其余各球的质量依次为 2m 、3m 、……,一 3m 直到 nm 。求整个体系的质心位置到天花板的距离。
解、首先建立一维坐标系,以悬点为坐标原点,竖直向下为 x 轴的正方向。

N
? mC ? mi

nm

i ?1

? m ? 2m ? 3m ? ?????? ?nm ? n(n ?1) m 2

N

? mi xi

xC

?

i ?1
mC

?

m?

a

?

2m ?

2a

? 3m ?3a ? n(n ?1) m

??????

?nm ? na

2

? 1? 22 ? 32 ? ?????? ?n2 a n(n ?1)

2

n(n ?1)(2n ?1)

?

6 n(n ?1)

a ? (2n ?1) a 3

2

例2、如图,有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊 ?

在一起,从左至右其密度分别为 ? 、1.1? 、1.2? 、1.3? 、

1.4? ,设每根棒长均为 l ,求其质心位置,若为 n 段,密度仍如上递增,质心位置又在什
么地方?

3

解:设整个棒重心离最左端距离为 x,则由求质心公式有

? x ? mi xi ? mi

? m1x1 ? m 2 x2 ? ? m5 x5 m1 ? m2 ? ? m5

?v ? l ?1.1?v ? 3 l ?1.2?v ? 5 l ?1.3?v ? 7 l ?1.4?v ? 9 l

?2

2

2

2

2

?v ?1.1?v ?1.2?v ?1.3?v ?1.4?b

? 2.67l

若为 n 段,按上式递推得:

x

?

l

1?1.1?3 ?1.2?5 ?1.3? 7 ? ?

2

1?1.1?1.2 ?1.3 ?

? (1? n ?1)(2n ?1) 10
? (1? n ?1)

10

将坐标原点移到第一段棒的重心上,则上式化为:

1.1?1.2? 2 ?1.3?3 ? ? (1? n ?1)(n ?1) (1? 1 ) ? (1? 2 ) ? 2 ? ? (1? n ?1)(n ?1)

x?

10 1?1.1?1.2 ? ? (1? n ?1)

l?

10

10

10

1?1.1?1.2 ? ? (1? n ?1)

10

10

?1? 2 ?
?

? (n ?1)? ?
1 ? 1.1 ? 1.2

1 10 ?

??12 ?

? 22 ? ? (1? n ?1)

(n

?1)2

??

l

?

(n

?1)(2n ? 29) 3(n ?19)

l

10

2、力矩法

利用力矩和为零的平衡条

R

件来求物体的重心位置。如图由

x

重量分别为 G1 , G2 的两均匀圆 O

A

C

P

B x

球和重量为 G3 的均匀杆连成的

x1 G1 x3

系统,建立如图坐标系,原点取
在 A 球最左侧点,两球与杆的重

x2

G3

G2

心的坐标分别为 x1, x2 , x3 ,系统重心在 P 点,我们现在求其坐标 x 。 设想在 P 处给一支持力 R ,

令 R ? G1 ? G2 ? G3 达到平衡时有:

?M ? G1x1 ? G2x2 ? G3x3 ? Rx ? 0

4

x ? G1x1 ? G2 x2 ? G3x3 ? G1x1 ? G2 x2 ? G3x3

R

G1 ? G2 ? G3

这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统,我们不难证明

? ? ? 其重心位置为: x ? Gi xi y ? Gi yi z ? Gi zi

? Gi

? Gi

? Gi

一般来说,物体的质心位置与重心位置重合,由上面公式很易得到质心位置公式:

? ? ? x ? mi xi y ? mi yi z ? mi zi

? mi

? mi

? mi

例 3、如图所示, A , B 原为两个相同的均质实心球,半径为 R ,重量为 G , A , B 球分

别挖去半径为 R 和 3R 的小球,均质杆重量为 35 G ,

A

24 长度 l ? 4R ,试求系统的重心位置。

64

a a?

l

C

B b b?

解:将挖去部份的重力,用等值、反向的力取代,

Gb?

图示系统可简化为图所示平行力系;其中

Ga?

Ga?

?

G 8

, Gb?

?

27 64

G



设重心位置为 O ,则合力

W ? G ? G ? G ? 27 G ? 93 G 8 64 64

? 且 MO(Gi ) ? 0

OC

G

35 G G

64

G(3R ? OC) ? 27 G(OC ? 3R ? R) ? G (3R ? R ? OC ? 35 G ?OC ? G(3R ? OC)

64

48

2

64

? OC ? 0.53R

3、实验室

质量作平面分布的物体用实验法求质心位置较为简便。在此平面物体上,选两点 A 和 B (设 A 、B 和质心不在同一直线上),分别作为悬挂点,悬挂在垂直于平面的光滑转轴上,
过悬挂点的两个铅垂线的交点即为质心位置。

4、对称法

如果一个物体质量分布具有轴对称性,例如质量平面均匀分布的菱形物体,其质心必

处在对角线上,两对角线的交点即为此菱形的质心位置。这是因为垂直于对称轴方向上,

轴两旁的正负坐标的质量对应相等。

5、分割法

5

这种方法把整个物体分割成质心易求的若干部分,再把各部分看成位置在各自质心处、 并具有该部分质量的质点,再依质心定义表达式求出整个物体的质心位置。
如下左图的棒锤,假设匀质球 A 质量为 M 、半径为 R ;匀质棒 B 质量为 m 、长度为 l ,
求它的重心。第一种方法是将它分隔成球和棒两部分,然后用同向平行力合成的方法找出
其重心 C 。 C 在 AB 连线上,且 AC ? M ? BC ? m (如图)。

R

B

A

R? l

A

2

B

C mg

Mg

(M ? m)g

6、负质量法

容易看出,负质量法本质上是分割法的一种

推论,仍然是把整个物体分割成质心易求的几个

R

B

部分。不同的是,每一部分既可以是正质量,也

A

C

Mg A?

可以是负质量。 同样,将棒锤看成一个对称的“哑铃”和一

(2M ? m)g y

个质量为 ?M 的球 A?的合成(如图),用反向平行力

?R ? l

合成的方法找出其重心 C , C 在 AB 连线上,且 BC ? (2M ? m) ? A?C ? M .不难看出两种方法的结

2 MA

B m

x

果都是: BC ? M (R ? l ) m?M 2
证明方法与分割法相同。

有时,根据质心的定义,我们还可用坐标法求物体系的质心。通常把物体分割成 n 个

部分,求得这 n 个部分的质量分别为 m1, m2 , m3,???, mn 。所受的重力相应为

m1g, m2 g, m3g,???, mn g 。又求得它们的重心(质心)的坐标分别为 (x1, y1, z1) , (x2 , y2 , z2 ) ,

(x3, y3, z3 ) , ??? , (xn , yn , zn ) 。由于这 n 个部分所受的重力 Gi ? mi g (i ? 1, 2,???, n) 可看作 是平行力,故可用类似于求同向平行力合力的方法,求得这 n 个平行力合力的作用点位置

(xC , yC , zC ) ,得出整个物体质心(重心)的位置坐标为

6

? mi xi

? mi yi

? mi zi

? ? ? xC ? i mi ; yC ? i mi ; zC ? i mi

i

i

i

上例中,以 B 点为原点,水平向右为。轴正方向,则 A, B 的合质心的位置为:

M ?(?R ? l ) ? m?0

xC ?

2 M ?m

yC

?

M ?0? M?

m?0 m

M ?(R ? l )

即: xC ? ?

2 M ?m

yC ? 0

负号表示质心的位置在 B 点左侧(如上右图)。

用坐标法求物体的重心是比较方便的。坐标法与分隔法—样,都是由平行力的合成方

法推导出来的,有兴趣的读者可以尝试推导一下。

7、巴普斯定理及其推论

对于质量连续分布的物体,求质心的一般方法是利用质心定义的三个分量表达式。但

是,有时我们愿意采用处理这类问题的技巧,巴普斯定理提供了一种技巧。

巴普斯定理表述为:一个平面物体,质量均匀分布,令其上各质点沿垂直于平面的方

向运动,在空间扫过一立体体积,则此体积等于面物体面积乘以物体质心在运动中所经过

的路程。

当面物体上各质点以相同的速度沿着一条与物平面垂直的直线运动时,在空间扫过的

体积是一柱体。显然,巴普斯定理成立。

一般情况下,平面物体上的一质点运动保持与物平面垂直,而各质点速度并不相等,

质心将沿曲线运动,平面物体在空间将扫出一个不规则体积。我们要证明巴昔斯定理仍能

得到满足。下面分步给出证明。

1)、易知,质心为原点的质心参照系下,质心的位置坐标必为零。

对于平面物体情况,在物平面内建立坐标 oxy ( x 轴垂直此面),坐标原点 O 与质心 C 重

合,因质心 x 坐标 xC ? 0 ,得

?mi xi ? 0

2)、我们已经知道,刚体的一个无限小运动可以由刚体上任一参考点的无限小平动和

绕此参考点的无限小转动叠加而成。

现在我们把平面物体的运动分成无限多个无限小运动。每个无限小运动分解成随质心

的无限小平动和绕质心的无限小转动。为保证巴普斯定理中对平面物体运动的要求,应满

7

足:随质心的无限小平动必须垂直于物平面;绕质心的无限小转动的瞬时转动轴必须在物 平面上。
3)、讨论符合巴普斯定理要求的平面物体运动中第 i 个无限小运动。 设随质心的第 i 个无限小平动位移的 zi ,则平面物体扫过的体积元为

?Vi ? S?zi 其中 S 为平面物体面积。 设绕过质心在物平面上的转轴为 y 轴,第 i 个无限小转动产生的角位移为 ?? 。利用

? ? xC ? 0 ,得

xi?mi ? ? xi?Si ? 0

其中? 为平面物体质量面密度,对于质量均匀分布的平面物体, ? 为常量。 ?Si 为平

面物体上面元的面积。设各面元在无限小转动下转过的路径 ?li 为 ?li ? xi??

? ? 因平面物体上各质点 Δα 相同,所以 ?? ?? xi?Si ? 0 则 ?li ? ?Si ? 0
此式表示,由无限小转动所引起的各面元在空间扫过的体积正好抵消(这只有在坐标原 点选在质心上,才有此结论)。对于整个运动过程,此结论依然成立。
因此,在满足巴普斯定理的运动要求下,面物体在空间扫过的体积为

V ? ?Vi ? S??zi

? 其中 ?zi 为平面物体运动中质心经历的路程。巴普斯定理得证。

巴普斯定理的一个推论同样很实用。此推论表述为一条质量均匀分布的平面曲线,其

上各点沿垂直于曲线平面方向运动,在空间扫过一曲面,则此曲面面积等于质心在运动中

所经路程与曲线长度的乘积。

这个推论的正确性,只要把此平面曲线看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的结论得

到。

例4、 一直角三角形板质量分布均匀,两直角边长度分别为 a

a

和 b ,求质心位置。
解、由数学知识可知结论:质心将位于三中线交点。
验证:设质心位置坐标为 (x, y)

b a (x, y)

令直角三角形绕直角边 a 旋转一周,形成圆锥。

b

8

设质心离 a 边 x ,则 1 ?b2 ? a ? 2? x ? 1 ab

3

2

x? b 3

同理可得, y ? a . 3

例5、半径为 R 、均匀半圆板的质心位置。

解、以直径为轴将线环旋转 3600 ,得一球面,

A

设质心离直径边为 x ,则 4 ? R3 ? 2? x ? 1 ? R2

3

2

可得 x ? 4R 3?

例6、确定半径为 R 、质量分布均匀半圆形金属线环的质心位置。

解:以 AB 为轴将线环旋转 3600 ,得一球面,得

A

4? R2 ? 2? x ?? R

x ? 2R ?

即:扫过的曲面面积=质心在运动中走过的路程×曲线长度。

例 7:如图 (a)所示,由匀质金属丝围成的封闭图形,其中曲线部分是
A
半径为 R 的半圆,直线部分是直径。求此封闭金属丝的质心位置。

x OB
x OB
R (a) B

解:以 AB 为轴将线环旋转 3600 ,得一球面,得

4? R2 ? 2? x ? (? R ? 2R)

x ? 2R 2??

例8、由匀质金属丝围成的一直角三角形封闭图形,两直角边长度分别为 a

a

c

和 b ,斜边长为 c ,求质心位置。

解:方法一、令直角三角形绕直角边 a 旋转一周,形成圆锥。

b

设质心离 a 边 x .

? bc ? ? b2 ? 2? x ? (a ? b ? c)

x ? bc ? b2 2(a ? b ? c)
令直角三角形绕直角边 b 旋转一周,形成圆锥。 设质心离 b 边 y .

? ac ? ? a2 ? 2? y ? (a ? b ? c)

9

y ? ac ? a2

2(a ? b ? c)

y

方法二、利用定义法求解。建立如图的坐标系,

由于直角三角形是由匀质金属丝围成,因此质量均匀。 a

c

设 ma ? a ? m , mb ? b ? m , mc ? c ? m .

Ob

x

设质心的横坐标为 x , 质心的横坐标为 y .

am ? 0 ? bm ? 1 b ? cm ? 1 b

x?

2

2

am ? bm ? cm

? b2 ? bc 2(a ? b ? c)

am ? 1 a ? bm ? 0 ? cm ? 1 a

y? 2

2

am ? bm ? cm

? a2 ? ac 2(a ? b ? c)

10


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