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2010届高三数学专题过关测试:导数及其应用(1)

2010 届高三数学专题过关测试 导数及其应用(1) 导数及其应用( )
班级 姓名 学号 成绩 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 一、选择题 是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 答案 1. 函数 y=x2cosx 的导数为 A.y′=x2cosx-2xsinx B.y′=2xcosx+x2sinx C.y′=2xcosx-x2sinx D.y′=xcosx-x2sinx 2. 若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 2x-y-1=0,则 C.f′(x0)=0 D.f′(x0)不存在 A.f′(x0)>0 B.f′(x0)<0

1 3. 函数 f ( x) = 2 x 2 ? x 3 在区间 [0 , 6] 上的最大值是( ) 3 32 16 A. B. C. 12 3 3 4.函数 y=x3-3x 的极大值为 m,极小值为 n,则 m+n 为 A.0 B.1 C.2

D. 9

D.4 )

5.已知函数 f ( x) = x3 + ax 2 + 3 x ? 9 在 x = ?3 时取得极值,则实数 a 的值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6.在函数 y = x3 ? 8 x 的图象上,其切线的倾斜角小于 A. 3
3

π
4

的点中,坐标为整数的点的个数是() D. 0

B. 2

C. 1

7.三次函数 y=f(x)=ax +x 在 x∈(-∞,+∞)内是增函数,则 A.a>0 B.a<0 C.a=1 D.a=

8. 函数 f (x ) 的定义域为开区间 (a, b) , 导函数 f ′(x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f (x ) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 )
y y = f ′ (x )

1 3

b

二、填空题 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分, 填空题 共 20 分.把答案填在题中横线上. 9.曲线 y = x 3 + x + 1 在点 (1, 3) 处的切线方程是

a

O

x

.

10.与直线 2x-6y+1=0 垂直,且与曲线 y=x3+3x2-1 相切的直线方程是___________. 11.将正数 a 分成两部分,使其平方和为最小,这两部分应分成__________和_________. 12.已知函数 f ( x) 在 x = 1 处可导,且 lim
t →0

f (1 + 3t ) ? f (1) = 1 ,则 f ′(1) = 2t
-1-

.

三、解答题 解答题:(本大题共 4 小题,共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 解答题 13.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,当 x=-1 时,取得极大值 7;当 x=3 时,取得极小值.求这 个极小值及 a、b、c 的值.

14. 已知函数 f ( x) = ? x3 + 3 x 2 + 9 x + 1 . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [?2 , 2] 上的最大值和最小值

-2-

15.已知曲线 y = 2 x ? x3 上一点 M (?1 , ? 1) ,求: (Ⅰ)点 M 处的切线方程; (Ⅱ)点 M 处的切线与 x 轴、 y 轴所围成的平面图形的面积.

-3-

16. 有一边长分别为 8 与 5 的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起作成一个无盖 小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去的小正方形的边长应为多少?

参考答案
-4-

一、选择题 题号 答案 二、填空题 填空题 9.4x-y-1=0 10. 3x+y+2=0 11. 1 C 2 A 3 A 4 A 5 D 6 A 7 A 8 A

a a ; 2 2

12.

2 3

三、解答题 解答题 13. 解:f′(x)=3x2+2ax+b.据题意,-1,3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根,由韦达定理得 ∴a=-3,b=-9 2a ? ?? 1 + 3 = ? 3 ∴f(x)=x3-3x2-9x+c ? ? ∵f(-1)=7,∴c=2 ?? 1 × 3 = b 极小值 f(3)=33-3×32-9×3+2=-25 ? 3 ? ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.
' 2 14.解: (Ⅰ) f ( x) = ?3 x + 6 x + 9

令 f ' ( x) < 0即 ? 3 x 2 + 6 x + 9 < 0

解得x>3或x<-1 ∴ x ∈ (?∞, ?1)和(3, +∞)单调递减
(Ⅱ)令 f ( x) = 0解得x=-1或x=3(舍)

f(2)=-8+12+18+1=23 f(-2)=8+12-18+1=3 f(-1)=1+3-9+1=-4
f(x)的最大值为 23,最小值为-4. 15.解: (Ⅰ) y ' = 2 ? 3 x 2
‘ K 切 = y |x =?1 = 2 ? 3(?1)2 = ?1

∴ 切线方程为:y + 1 = ?1( x + 1)即x + y + 2 = 0
(Ⅱ)对 x+y+2=0;令 x=0,y=-2 令 y=0,x=-2

1 ∴ S ?ABC = × 2 × 2 = 2 2
16.解:正方形边长为 x,则 V=(8-2x)·(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x) (0<x< V′=4(3x2-13x+10) (0<x<

5 ) 2

5 ).V′=0 得 x=1 2

根据实际情况,小盒容积最大是存在的, ∴当 x=1 时,容积 V 取最大值为 18.

-5-


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