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2016


学业分层测评(二)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1.下列说法正确的是________. ①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形; ②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形; ③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形; ④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形. 【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确. 【答案】 ③ 2.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是________. 【解析】 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直, 故绕对角线旋转一周形成两个 圆锥的组合体. 【答案】 两个圆锥的组合体 3.在日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是________.

图 1?1?24 【解析】 一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱. 【答案】 一个六棱柱中挖去一个圆柱 4.线段 y=2x(0≤x≤2)绕 x 轴旋转一周所得的图形是________. 【解析】 由线段 y=2x(0≤x≤2)绕 x 轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面. 【答案】 圆锥的侧面 5.如图 1?1?25 所示,将梯形 ABCD 绕底边 AB 所在直线旋转一周,由此形成的几何体是 由简单几何体__________构成的. 【导学号:60420008】

图 1?1?25 【解析】 旋转体要注意旋转轴,可以想象一下旋转后的几何体,由旋转体的结构特征 知它中间是圆柱,两头是圆锥. 【答案】 圆锥、圆柱 6.一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面可能的图形是________.
1









图 1?1?26 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体的体对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①,但无论如何都不能截出④. 【答案】 ①②③ 7.已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ,它们位于球心的同一侧,且距离 为 1,那么这个球的半径为________. 【解析】 如图所示,∵两个平行截面的面积分别为 5π ,8π ,∴两个截面圆的半径 分别为 r1= 5,r2=2 2.∵球心到两个截面的距离 d1= R -r1,d2= R -r2,∴d1-d2=
2 2 2 2

R2-5- R2-8=1,∴R2=9,∴R=3.

【答案】 3 8.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为 4S,则它的一个底面面积是__________. 【解析】 因为圆柱的轴截面的一边是底面直径, 另一邻边为圆柱的高, 所以应满足 4S =2r(r 为底面圆半径),∴r= S,故底面面积为 π S. 【答案】 π S 二、解答题 9.轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱.已知某等边圆柱的轴截面面积为 16 cm ,求 其底面周长和高. 【解】 如图所示,作出等边圆柱的轴截面 ABCD,由题意知,四边形 ABCD 为正方形, 设圆柱的底面半径为 r,则 AB=AD=2r.
2

其面积 S=AB×AD=2r×2r=4r =16 cm , 解得 r=2 cm. 所以其底面周长 C=2π r=2π ×2=4π (cm),高 2r=4 cm. 10.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶 点的圆锥,得到如图 1?1?27 所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并且平行 于底面的平面去截它,求所得截面的面积.

2

2

2

图 1?1?27 【解】 轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径 O1C=R, 设圆锥的截面圆的半径 O1D 为 x.因为 OA=AB=R, 所以△OAB 是等腰直角三角形. 又 CD∥OA, 则 CD=BC,所以 x=l,故截面面积 S=π R -π l =π (R -l ).
2 2 2 2

[能力提升] 1 .以钝角三角形的较小边所在的直线为轴,其他两边旋转一周所得到的几何体是 ________. 【解析】 如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.

【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 2.边长为 5 cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面,则从 E 点沿圆柱的侧面到点 G 的最短 距离是________cm. 【导学号:60420009】 1 5 5 【解析】 如图所示,E′F= ×2π × = π (cm), 2 2 2 ∴最短距离 E′G=

?5 ?2 5 2 2 5 +? π ? = π +4(cm). ?2 ? 2

【答案】

5 2 π +4 2

3.在半径为 13 的球面上有 A,B,C 三点,其中 AC=6,BC=8,AB=10,则球心到经 过这三个点的截面的距离为________. 【解析】 由线段的长度知△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形, 所以其外接圆的半径 r = =5,所以 d= R -r =12. 2 【答案】 12 4.如图 1?1?28 所示,已知圆锥 SO 中,底面半径 r=1,母线长 l=4,M 为母线 SA 上

AB

2

2

3

的一个点,且 SM=x,从点 M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点 A.求:

图 1?1?28 (1)绳子的最短长度的平方 f(x); (2)绳子最短时,顶点到绳子的最短距离; (3)f(x)的最大值. 【解】 将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上,如图所示,则该图为扇形,且弧 AA′的长 度 L 就是圆 O 的周长,

∴L=2π r=2π .

L 2π ∴∠ASM= ×360°= ×360°=90°. 2π l 2π ×4
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 AM,其值为 AM= x +16(0≤x≤4).
2

f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时,在展开图中作 SR⊥AM,垂足为 R,则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短 距离,在△SAM 中, 1 1 ∵S△SAM= SA·SM= AM·SR, 2 2 ∴SR=

SA·SM 4x = 2 (0≤x≤4), AM x +16
4x

即绳子最短时,顶点到绳子的最短距离为 (3)∵f(x)=x +16(0≤x≤4)是增函数, ∴f(x)的最大值为 f(4)=32.
2

x2+16

(0≤x≤4).

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