2016

学业分层测评(二)
(建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、填空题 1．下列说法正确的是________． ①平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形； ②平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形； ③过圆锥顶点与底面圆心的截面是等腰三角形； ④过圆台上底面中心的截面是等腰梯形． 【解析】 由圆柱、圆锥、圆台的性质知③正确． 【答案】 ③ 2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是________． 【解析】 连结正方形的两条对角线知对角线互相垂直， 故绕对角线旋转一周形成两个 圆锥的组合体． 【答案】 两个圆锥的组合体 3．在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是________．

图 1?1?24 【解析】 一个六棱柱中挖去一个等高的圆柱． 【答案】 一个六棱柱中挖去一个圆柱 4．线段 y＝2x(0≤x≤2)绕 x 轴旋转一周所得的图形是________． 【解析】 由线段 y＝2x(0≤x≤2)绕 x 轴旋转一周所得的图形是圆锥的侧面． 【答案】 圆锥的侧面 5．如图 1?1?25 所示，将梯形 ABCD 绕底边 AB 所在直线旋转一周，由此形成的几何体是 由简单几何体__________构成的. 【导学号：60420008】

图 1?1?25 【解析】 旋转体要注意旋转轴，可以想象一下旋转后的几何体，由旋转体的结构特征 知它中间是圆柱，两头是圆锥． 【答案】 圆锥、圆柱 6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，则截面可能的图形是________．
1

①

②

③

④

图 1?1?26 【解析】 当截面平行于正方体的一个侧面时得③， 当截面过正方体的体对角线时得②， 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能截出④. 【答案】 ①②③ 7．已知球的两个平行截面的面积分别为 5π 和 8π ，它们位于球心的同一侧，且距离 为 1，那么这个球的半径为________． 【解析】 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为 5π ，8π ，∴两个截面圆的半径 分别为 r1＝ 5，r2＝2 2.∵球心到两个截面的距离 d1＝ R －r1，d2＝ R －r2，∴d1－d2＝
2 2 2 2

R2－5－ R2－8＝1，∴R2＝9，∴R＝3.

【答案】 3 8．若圆柱的轴截面是一个正方形，其面积为 4S，则它的一个底面面积是__________． 【解析】 因为圆柱的轴截面的一边是底面直径， 另一邻边为圆柱的高， 所以应满足 4S ＝2r(r 为底面圆半径)，∴r＝ S，故底面面积为 π S. 【答案】 π S 二、解答题 9．轴截面为正方形的圆柱叫做等边圆柱．已知某等边圆柱的轴截面面积为 16 cm ，求 其底面周长和高． 【解】 如图所示，作出等边圆柱的轴截面 ABCD，由题意知，四边形 ABCD 为正方形， 设圆柱的底面半径为 r，则 AB＝AD＝2r.
2

其面积 S＝AB×AD＝2r×2r＝4r ＝16 cm ， 解得 r＝2 cm. 所以其底面周长 C＝2π r＝2π ×2＝4π (cm)，高 2r＝4 cm. 10.从一个底面半径和高都是 R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶 点的圆锥，得到如图 1?1?27 所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于 l 并且平行 于底面的平面去截它，求所得截面的面积．

2

2

2

图 1?1?27 【解】 轴截面如图所示，被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径 O1C＝R， 设圆锥的截面圆的半径 O1D 为 x.因为 OA＝AB＝R， 所以△OAB 是等腰直角三角形． 又 CD∥OA， 则 CD＝BC，所以 x＝l，故截面面积 S＝π R －π l ＝π (R －l )．
2 2 2 2

[能力提升] 1 ．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是 ________． 【解析】 如图以 AB 为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥．

【答案】 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥 2．边长为 5 cm 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面，则从 E 点沿圆柱的侧面到点 G 的最短 距离是________cm. 【导学号：60420009】 1 5 5 【解析】 如图所示，E′F＝ ×2π × ＝ π (cm)， 2 2 2 ∴最短距离 E′G＝

?5 ?2 5 2 2 5 ＋? π ? ＝ π ＋4(cm)． ?2 ? 2

【答案】

5 2 π ＋4 2

3．在半径为 13 的球面上有 A，B，C 三点，其中 AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经 过这三个点的截面的距离为________． 【解析】 由线段的长度知△ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形， 所以其外接圆的半径 r ＝ ＝5，所以 d＝ R －r ＝12. 2 【答案】 12 4．如图 1?1?28 所示，已知圆锥 SO 中，底面半径 r＝1，母线长 l＝4，M 为母线 SA 上

AB

2

2

3

的一个点，且 SM＝x，从点 M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点 A.求：

图 1?1?28 (1)绳子的最短长度的平方 f(x)； (2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离； (3)f(x)的最大值． 【解】 将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧 AA′的长 度 L 就是圆 O 的周长，

∴L＝2π r＝2π .

L 2π ∴∠ASM＝ ×360°＝ ×360°＝90°. 2π l 2π ×4
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 AM，其值为 AM＝ x ＋16(0≤x≤4)．
2

f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4)．
(2)绳子最短时，在展开图中作 SR⊥AM，垂足为 R，则 SR 的长度为顶点 S 到绳子的最短 距离，在△SAM 中， 1 1 ∵S△SAM＝ SA·SM＝ AM·SR， 2 2 ∴SR＝

SA·SM 4x ＝ 2 (0≤x≤4)， AM x ＋16
4x

即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为 (3)∵f(x)＝x ＋16(0≤x≤4)是增函数， ∴f(x)的最大值为 f(4)＝32.
2

x2＋16

(0≤x≤4)．

4