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高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件:2.1.1 合情推理 探究导学课型_图文

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理

主题一:归纳推理 【自主认知】 1.在以前的数学学习中,我们知道三角形的内角和是180°,那么凸 四边形的内角和是多少呢?凸五边形的内角和呢? 提示:凸四边形的内角和是360°=2×180°,凸五边形的内角和是 540°=3×180°.

2.你能归纳出凸n(n≥3,n∈Z)边形的内角和是多少吗? 提示:凸n(n≥3,n∈Z)边形的内角和是(n-2)·180°.

3.阅读下面的材料,考虑这几则材料在预测结果时有什么共同的特点? (1)成语“一叶知秋”意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到. (2)谚语“瑞雪兆丰年”. (3)物理学中牛顿发现万有引力. (4)化学中的门捷列夫元素周期表. 提示:它们都是由细微的迹象看出整体形势的变化,由个别推知一般.

?根据以上探究过程,试着写出归纳推理的定义:

(1)定义:由某类事物的_____对象具有某些特征,推出该类事物的 部分

_____对象都具有这些特征的推理,或者由_________概括出_____

全部

个别事实

一般

_____的推理,称为归纳推理(简称归纳).

(结2)论简述:归纳推理是由_____到_____、由_____到_____的推理.

部分 整体 个别 一般

【合作探究】 1.归纳推理的前提和结论是什么? 提示:归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的判断,而结论是 关于该类事物或现象的普遍性判断. 2.你能概括出归纳推理解决问题的思维过程吗? 提示:其思维过程为:试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.

【过关小练】

1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( )

A.28

B.32

C.33

D.27

【解析】选B.由以上各数可得每两个数之间依次差3,6,9,12,…,

故x=20+12=32.

2.已知数列{an}中,a1=1,an+1= 2an (n∈N*),则可归纳猜想{an}

的通项公式为

.

2 ? an

【解析】由条件可知:

由a2 此? 2可2?a猜a1 1 测? 32a,n=a3

?

2? 2?

2
3 2
3

?

1 2

?

2,a 4

4

?

2? 2?

1
2 1
2

?

2 5

,a

5

?

2? 2?

2
5 2
5

?

2,?, 6

答案:an=

2.

n ?1

2

n ?1

主题二:类比推理 【自主认知】 已知三角形的如下性质,据此回答下列问题 ①三角形的两边之和大于第三边; ②三角形的面积等于高与底乘积的
1. 2

(1)试根据上述三角形的性质推测空间四面体的性质. 提示:①四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; ②四面体的体积等于底面积与高乘积的
1. (2)以上两个推理有什么共同特点? 3
提示:都是根据三角形的特征,类比四面体相关元素得出结论的.

?根据以上探究过程,试着写出类比推理的定义: 1.类比推理 (1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中_____对象的某些已
一类 知特征,推出_______对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简 称类比). 另一类 (2)简述:类比推理是由_____到_____的推理.
特殊 特殊

2.合情推理

(1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、

_____、_____、联想,再进行归纳、类比,然后提出_____的推理,

分析 比较

猜想

我们把它们统称为合情推理.

(2)推理的过程:

分析 比较

猜想

【合作探究】 1.归纳推理与类比推理有没有共同点? 提示:有.二者都是从具体事实出发,推断猜想新的结论. 2.归纳推理和类比推理的结论一定正确吗? 提示:不一定.归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的,而是 偶然性的,结论不一定正确;而类比推理的结果具有猜测性,也不一 定可靠,因此也不一定正确.

【过关小练】

1.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式:

S= 底? 高 ,可推知扇形面积公式S扇等于( )

2

r2

l2

【A.解2 析】选B.C2.底

C. l2r 弧长lD,.不高可类比半径r,故选C.

2.正方形的面积为边长的平方,则在空间中,与之类比的结论



.

【解析】由平面中正方形的面积为边长的平方,则在空间中可类比得

到正方体的体积为棱长的立方.

答案:正方体的体积为棱长的立方

【归纳总结】 1.归纳推理的特点 (1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性的结论,该结论 超越了前提所包含的范围. (2)归纳出的结论具有猜测性质,是否属实,还需逻辑证明和实践检 验,即结论不一定可靠. (3)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理得到的猜想可 以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.

2.类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究中的事物 的属性,以旧认识为基础,类比出新结果. (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.如果类 比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得 出的命题越可靠. (3)类比的结果是猜测性的,不一定正确.但它却具有发现的功能.

3.类比推理的适用前提 (1)运用类比推理的前提是两类对象在某些性质上有相似性或一致性, 关键是把这些相似性或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的 特性去推断另一类对象也可能具有此类特性. (2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象.

类型一:归纳推理在数、式中的应用

【典例1】(1)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,

a5+b5=11,…,则a10+b10=( )

A.28

B.76

C.123

D.199

(2)已知f(x)=

,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且

n∈N*),则f2(x1)?x的x 表达式为

,猜想fn(x)(n∈N*)的表达式



.

【解题指南】(1)记an+bn=f(n),观察f(1),f(2),f(3),f(4),f(5) 之间的关系,再归纳得出结论. (2)写出前几项发现规律,归纳猜想结果.

【解析】(1)选C.记an+bn=f(n),则f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4; f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N*,n≥3),则f(6)=f(4)+f(5)=18; f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10)=f(8)+f(9)=123. 所以a10+b10=123.

(2)因为f(x)= x ,所以f1(x)= x .

1? x
又因为fn(x)=fn-1(fn-1(x)),

1? x

所以f2(x)=f1(f1(x))= x

1? x 1? x

? x, 1? 2x

f3(x)=f2(f2(x))=

1? x x

1? 2x 1?2? x

? x, 1? 4x

1? 2x

x f4(x)=f3(f3(x))= 1? 4x ? x .
1? 4? x 1? 8x 1? 4x

f5(x)=f4(f4(x)) =

x

1? 8x ? x , 所以根据前几项可以1猜? 8想? 1f?nx(8xx)=1?16x

答案:

1

?

x 2n?1x

.

f

2

?

x

?

?

1

x ? 2x

fn

?

x

?

?

1

?

x 2n

?1x

【延伸探究】本例(2)中,若把“fn(x)=fn-1(fn-1(x))”改为 “fn(x)=f(fn-1(x))”,其他条件不变,其结论fn(x)的表达式如何呢?

【解析】因为f(x)= x , 1? x
所以f1(x)= x , 又因为fn(x)1=?fx(fn-1(x)),

所以f2(x)=f(f1(x))= x

1? x 1? x

? x. 1? 2x

1? x

x

f3

?

x

?

?

f

?

f

2

?

x

??

?

1

1 ?

?

2x x

? x, 1? 3x

1? 2x

x

f4

?

x

?

?

f

?

f3

?

x

??

?

1

1 ?

?

3x x

? x, 1? 4x

1? 3x

x

f5

?

x

?

?

f

?

f4

?

x

?

?

?

1

1 ?

?

4x x

? x, 1? 5x

1? 4x

所以根据前几项可以猜想fn(x)= x . 1? nx

【规律总结】数、式中归纳推理的一般规律 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法 ①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规 律; ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征; ③提炼出等式(或不等式)的综合特点; ④运用归纳推理得出一般结论.

(2)数列中的归纳推理 在数列问题中,常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和. ①通过已知条件求出数列的前几项或前几项和; ②根据数列中的前几项或前几项和与对应序号之间的关系求解; ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式.

【巩固训练】(2015·西安高二检测)已知数列{an}的前n项和为S, a1=3,满足Sn=6-2an+1(n∈N*).(1)求a2,a3,a4的值.(2)猜想an的 表达式.

【解析】(1)因为a1=3,且Sn=6-2an+1(n∈N*),

所以S1=6-2a2=a1=3

解得a2= 3,

又S2=6-22a3=a1+a2=3+ 解得a3=

又S3=6-2a4=a1+a2+a3=323,+

所34以,有a4=

(2)由(1)知

3 ? 3,

3.

24

8

猜想an=

(a1n?∈3N?*)23.0 ,a2

?

3 2

?

3 21

,a

3

?

3 4

?

3 22

,a 4

?

3 8

?

3 23

?

3

2n?1

【补偿训练】观察下列等式

1=1,

2+3+4=9,

3+4+5+6+7=25,

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律,第五个等式为

.

【解析】观察等式左侧:第一行有1个数是1,第二行是3个连续自然 数的和,第一个数是2,第三行是5个连续自然数的和,第一个数是3, 第四行是7个连续自然数的和,第一个数是4.照此规律,第5行应该是 连续9个自然数的和,第一个数为5,所以第5行左侧: 5+6+7+8+9+10+11+12+13;等式右侧:第一行1=12,第二行9=32,第 三行25=52,第四行49=72,则第5行应为81=92. 所以第五个等式为5+6+7+8+9+10+11+12+13=81. 答案:5+6+7+8+9+10+11+12+13=81

类型二:归纳推理在几何中的应用 【典例2】(1)(2015·广元高二检测)下图为一串白黑相间排列的珠 子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色( )

A.白色 C.白色可能性大

B.黑色 D.黑色可能性大

(2)(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据:

多面体 面数(F)

顶点数(V)

棱数(E)

三棱柱

5

6

9

五棱锥

6

6

10

立方体

6

8

猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是

12 .

(3)如图,连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1,又连接

△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2,如此无限继续下去,得到一系列三

角形:△ABC,△A1B1C1,△A2B2C2,…,这一系列三角形趋向于一个

点M,已知A(0,0),B(3,0),C(2,2),则点M的坐标是

.

【解题指南】(1)由珠子的排列分析可知其具有周期性. (2)本题是对欧拉公式的考查,观察图形准确数出各图形的顶点数、 面数、棱数是解题的关键. (3)根据题意,由△ABC确定△A1B1C1,依次确定△A2B2C2,…,最终逼 近△ABC三条中线的交点,从而可得结论.

【解析】(1)选A.由图知:三白二黑周而复始相继排列,36÷5=7余1, 所以第36颗珠子的颜色为白色. (2)因为5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2, 所以F+V-E=2. 答案:F+V-E=2

(3)由△A1B1C1的三个顶点分别在△ABC的三条中线上,△A2B2C2的三 个顶点分别在△A1B1C1的三条中线上,△A3B3C3的三个顶点分别在 △A2B2C2的三条中线上,…,由此类推,这一系列的三角形的顶点 无限逼近△ABC的重心.

故由已知可得,点M的坐标为

答案:
( 5,2 ) 33

( 5,2 ). 33

【规律总结】 1.几何问题中推理的特点 由一组平面或空间图形,归纳猜想其几何元素数量的变化规律,这类 题颇有智力趣题的味道,需要仔细观察,从不同的角度探索规律.

2.利用归纳推理解决几何问题的两个策略 (1)通项公式法:数清所给图形中研究对象的个数,列成数列,观察 所得数列的前几项,探讨其变化规律,归纳猜想通项公式. (2)递推公式法:探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之 间的关系,把各图形中研究对象的个数看成数列,列出递推公式,再 求通项公式.

【巩固训练】(1)(2015·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图 所示:

根据上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )

A.6n-2

B.8n-2

C.6n+2

D.8n+2

(2)(2015·青岛高二检测)某种平面分形图如图所示,一级分形图是 由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角为120°;二级分形图
是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 1 的线 段,且这两条线段与原线段两两夹角为120°,…,依此规律得3到n级
分形图.

①n级分形图中共有

条线段;

②n级分形图中所有线段长度之和为

.

【解析】(1)选C.由图形的变化规律可以看出,后一个图形比前一个 图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2,又 a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,…,所以可以猜测,第n个“金鱼” 图需要火柴棒的根数为6n+2. (2)①分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段,由题图知,一 级分形图有3=(3×2-3)条线段,二级分形图有9=(3×22-3)条线段, 三级分形图中有21=(3×23-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段 条数为3×2n-3(n∈N*).

②分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来 1 的线段,

3

所以n级分形图中第n级的所有线段的长度为bn=3× ( 2 )n?1 (n∈N*),

所以n级分形图中所有线段长度之和为Sn=

3?( 2 )0

3 ? 3? ( 2 )1 ??? 3? ( 2 )n?1

3

3

3

?

1? ( 2 )n 3? 3

?

9 ? 9? ( 2 )n.

答案:1①? 23×2n-3 ②3 9-9×

3

( 2 )n 3

【补偿训练】设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互

相平行,任意三条直线不过同一点,若用f(n)表示这n条直线交点的

个数,则f(4)=

;当n≥3时,f(n)=

(用n表示).

【解析】如图,可得f(4)=5,因为f(3)=2,f(4)=5=f(3)+3,

f(5)=9=f(4)+4,f(6)=14=f(5)+5,

…,

f(n)=f(n-1)+n-1,

所以每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数.

累加得f(n)=2+3+4+…+…+(n-1)=

答案:5

?n ?1??n ? 2?

?n ?1??n ? 2?
. 2

2

类型三:类比推理的应用

【典例3】如图所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是△ABC三条边上

的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,

pc,可以得到结论

=1.证明此结论,通过类比写出在

空间中的类似结论.hpaa

?

pb hb

?

pc hc

【解题指南】三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面, 三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.

【解析】

pa

?

1 BC 2

pa

? S△PBC ,

同理,

ha

1 2 BC ha

S△ABC

因为S△hpPBbbC+?SSS△△△PAPAABCCC+,Shp△cc P?AB=SS△S△△APABABCB.C,

所以

pa ? pb ? pc ? S△PBC ? S△PAC ? S△PAB ? 1.

ha hb hc

S△ABC

类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体ABCD中,设ha, hb,hc,hd分别是该四面体的四个顶点到对面的距离,P为该四面体 内任意一点,P到相应四个面的距离分别为pa,pb,pc,pd,可以得 到结论
pa ? pb ? pc ? pd ? 1. ha hb hc hd

【延伸探究】 1.(改变问法)对上述类比得出的结论加以证明.

【证明】
pa

?

1 3

S△BCD

pa

?

VP?BCD ,

同理,

ha

1 3

S△BCD

ha

VA?BCD

因为VP-hpBbbCD?+VVVPA-PA??ACBDCC+DDV,Php-ccAB?D+VVVAPP?-?ABABBCDCD=,VhpAdd-B?CD,VVAP??ABBCCD .

所以

pa ? pb ? pc ? pd ? VP?BCD ? VP?ACD ? VP?ABD ? VP?ABC ? 1.

ha hb hc hd

VA?BCD

2.(变换条件)在本例中,若△ABC的边长分别为a,b,c,其对角分 别为A,B,C,那么由a=b·cos C+c·cos B可类比四面体的什么性 质? 【解析】在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示△PAB, △PBC,△PCA,△ABC的面积,α,β,γ依次表示面PAB,面PBC, 面PCA与底面ABC所成二面角的大小. 猜想S=S1·cosα+S2·cosβ+S3·cosγ.

【规律总结】 1.类比推理的基本思路 根据当前问题的需要,选择适当的类比对象,可以从几何元素的数 目、位置关系、度量等方面入手,由平面中相关结论可以类比得到 空间中的相关结论.

2.平面图形与空间图形类比如下: 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体

【拓展延伸】类比推理的基本逻辑形式及适用前提 (1)类比推理的基本逻辑形式 A类事物具有性质a,b,c,d B类事物具有性质a′,b′,c′, 所以B类事物可能具有性质d′.(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′ 相似或相同)

(2)类比推理的适用前提 ①两类对象在某些性质上有相似性或一致性,关键是把这些相似性 或一致性确切地表述出来,再由一类对象具有的特性去推断另一类 对象也可能具有的特性. ②运用类比推理常常先寻找合适的类比对象.

【巩固训练】1.在公比为4的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n

项积,则有 T20 ,T30 ,T40 也成等比数列,且公比为4100,类比上述结 论,相应地,T1在0 公T20差T为203的等差数列{an}中,若Sn是{an}的前n项和,

可类比得到的结论为:

.

【解析】因为等差数列{an}的公差d=3,

所以(S30-S20)-(S20-S10)

=(a21+a22+…+a30)-(a11+a12+…+a20)

=

=100d=300,

同理10d可?得10:d10个?(?S4?0-10Sd30)-(S30-S20)=300,所以数列S20-S10,S30-S20,

S40-S30也是等差数列,且公差为300.

答案:数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也是等差数列,且公差为300

? ? 2.在△ABC中,D为BC的中点,则 AD ? 1 AB ? AC ,将命题类比到

四面体中去,得到一个命题为:

2.

【解析】平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心,顶点

与中点的连线类比顶点和重心的连线.

答案:在四面体A-BCD中,G是△BCD的重心,则
? ? AG ? 1 AB ? AC ? AD 3

【补偿训练】已知椭圆具有以下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对

称的两个点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,

并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对

双曲线

写出具有类似的性质,并加以证明.

x2 a2

?

y2 b2

?1

【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线 x2 ? y2 ?1 上关于原点对 a2 b2
称的两个点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存

在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值. 证明如下:设点M,P的坐标为(m,n),(x,y),则N(-m,-n).

因为点M(m,n)在已知双曲线上,

所以n2= m2-b2.同理y2= x2-b2.

则kPM·kPNb=2 a2

b2

(定值).

a2

y?n x?m

y?n x?m

?

y2 x2

? n2 ? m2

?

b2 a2

x2 ? m2 x2 ? m2

?

b2 a2


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