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一道课本例题的探究与思考


第33卷第9期2014年9月

鼓学教学研究

51

一道课本例题的探究与思考
王恒亮 李一淳

(广东省珠海市实验中学高中部519090)

人教版《全日制普通高级中学教科书(选 修4—4)数学》第35页有这样一道例题: 例0为直角坐标系中的坐标原点,A, B是抛物线Y2=2px(p>O)上异于顶点的两 动点且OA上OB,0M上AB并与AB相交于

1)若kmkoB=t(常数),则

丝丝:户一丝, 竹
Z1 X2

故恕=一挈,
则直线AB的方程为

点M,求M点的轨迹方程. 此题可谓是有关抛物线问题的一道经典
例题,进一步研究发现,以此题为背景,可以 得出一系列与圆锥曲线有关的定值定点问 题. 结论1 A,B是抛物线Y2=2px(p>O)

z=ray一丝t, 故直线AB过定点(一丝,o).t
2)若是纵+志∞=t(常数),则

丝+丝一£一一迦。
Zl Z2


上异于顶点的两动点,0为坐标原点,则 1)若忌m忌∞一£(常数),则直线AB过定

故行:一挲,
则直线AB的方程为

点(一孕,o);
2)若志0I+志∞=£(常数),则直线AB过

定点(o,擘).
证明设直线AB的方程为
z—my+以,

z。my一手2m【y一.)’ z=my一擎=m(y一擎--,IV),
故直线AB过定点(o,擎).
注巧构关于导的一元二次方程,利用
韦达定理是降低本题计算量的关键所在. 对于上述结论1中的条件,若点0不是 坐标原点,而是抛物线上一动点,我们还可以 得到类似的结果吗?答案是肯定的.事实上,

A(xl,Y1),B(x2,Y2),易知n:/:O,则

£卫型=1.


故yZ=枇一z如气产,
所以
ny2+2夕mzy一2夕z2=0,

我们仍然可以将结论1中的结果作进一步的
推广. 结论2 A,B是抛物线Y2=2px(p)O)

即行(詈)z+2pro(y工)一2p20,
则丝丝:一丝,
Zl Z2


、上异于顶点的两动点,M(xo,Y。)为抛物线上 一定点,过M作两条弦MA,MB:
1)若七m愚蛐=m(非0常数),则直线 AB过定点;

丝+丝一一—2p—ro.
Zl Z2 以

万方数据

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数学教学研究

第33卷第9期2014年9月

Z)看惫抛+惫蛐=,l(非0常效),则直线 AB过定点;

(Yl+了。)(y一2PnnyO-)

3)若直线MA,MB的倾斜角分别为口,
.IB,且口+p一8(o<口<氕)为定值,当口,p变化 时,则直线AB过定点. 所以

:—4pyo--—ny20一2pz—O.
z=差一孕,
y一警孙.

证明设A(券m),B(历yl,y。),
M陋k2p,y。),则 km--jL,

即直线AB过定点(嚣一警,譬一弘).
3)若口一号,则 j0.jL:1, yo十Yl
Y0-I-Yl

忌砌一牟,
kAB

jL.

此时直线AB的方程为

(Y--Y1,一羔(z一嚣),
即 (yl+y2)y--yl y2--2px=O. (1)

易判断此时AB过定点(舞一2p,一y。).
若口≠号,则

1)因为忌胍?愚Ⅷ一m,所以
Yo十Yl

上车.jL;m, Y0tyz
lYo-i._p。4.


iY二o+互Y,■'Y互o-+-Yz—tan口, 1一卫.卫……
—丝一J_;查
了。十Yl Yo十Y2

Y2------.r m

【l Yo(Yl+‘Yz)Yo‘.

?

(2) (Z)

把(2)代入(1)得

故3,渤一(啬一3,。(yl+3,。) +揣一yo'+4p2.
把(4)代人(1)得

(4)

(Yl+y2)(y+弘)+y3—4-。芷--2pz—o,
所以

z=甍一等,
y2一Yo.

(Yl+y。)(y一篇+y。)一丽4pyo
+y3--4p2--2px=O. 所以

即直线AB过定点\[2yp20

2mp,一弘).

z=2yp02

t2ayno否一2p,

2)注意到忌Ⅲ+愚砌一咒,即

故y。y:一丝气孑丛(y。+此)+掣.
Yo+Y1。Yo+Y2“’ (3)

牟+阜:以,

2P-r y2tan口一Yo‘

故AB恒过定点(磊一石2y而。一2p,考岛一弘).
事实上,对于上述条件,对一般的圆锥曲 线依然有些类似的结论. 结论3 若点A(z。,Y0)是双曲线C:

把(3)代人(】)得

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第33卷第9期2014年9月

数学教学研究

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竺a2一等一1上任意一点,M,N是c上异于A

+Aa2bz--a2点2Y3+62胡=o, 解得

点的两点,若忌m?忌ⅣA—A(A≠一等),则直

线MN过定点I/A孑a丽2_b2 z。,?--地a22A一--62b2 y。).
证明当忌删存在时,设k=忌删,则

代人直线MN的方程即可得

业.y2--yo--A。
Xl—XO Z2一Xo

(*)

当志删不存在时,易得直线MN的方程为
A口2—62

设直线MN的方程为
y一志z+m,

联立双曲线方程得

(口2惫2十炉)矿+2a2忌,船+口2m2+口262=-0.

m一=瓣舡。十=瓣yo’ y一萼禹yo一忌(z一型a'A+b2z。), 一庀Iz一——函J’ z一丽勘。 I丽勘’。--a2A--bzyo厂
,,laz—bz.

..:I口2—62

y一=乏甄=虿

综上,直线MN过定点
,.:I口2一b2

A口2—62



故计圹嚣鲁,
zlxz

类似地,我们可以得到如下结论: 结论4 若点A(z。,Yo)是椭圆C:

2i霭干矿’
一262m

口2,n2+n262

手+等21上任意一点,M,N是c上异于A
点的两点,若忌m?忌M=A(A≠≥),则直线

yl+Y2一再两芽’
Y,Yz一—刁霭=石广’
联立上述各式与(*)式即可得
(n2.;l+b2)m2+(2ha2忌面--2b2yo)m --b2(m2一是2口2)

删过定点(瞄勘,萼羔弘).
(收稿日期:2014—02.21) 参考文献 [1] 西蒙.人类的认知[M].北京:科学出版社,
2002.

+;ta2惫223--AbZx:--a2b2k2 (上接第48页)

的、听来的,只要经过了你自己的体验,那么
它对你来讲,就可成为一种楷模,当你再次碰 到类似的数学问题,它就是你可依照的模式. 数学试题成千上万,我们不可能把它们一一 做完.但许多数学问题,无论是题设,结论还 是整体结构、数值、直观图像,解题方法都表 现出或隐含着某种数学模式,解题时,若善于 观察和捕捉这些模式特征,并由此分析、变 换、联想、转化、构造,往往可以迅速获得问题 解决的途径或优化问题解决的过程,从而使

[23徐利治.徐利治论教学方法[M].济南:山东教 育出版社,2001. [3]G.波利亚.教学的发现[M].呼和潘特:内蒙古 人民出版社,1980. [4]兰诗全.数学模式识别与转化策略[J].数学通
讯(下半月),2012,(5).

[5]程汉波.三角代换,巧证代数不等式口].中学 数学研究。2014。(3). (收稿日期:2014-05—20)

学生能“解一题,练一串,懂一类.”

万方数据


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