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河南省洛阳市2018届高三第二次统一考试数学(文科)试题 Word版含答案

洛阳市 2018 届高三第二次统一考试 数学试卷(文科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R}, N ? {x | y ? 3 ? x 2 } ,则 M A. [? 3, 3] B. [?1, 3] C. ? D. (?1, 3]

N ?(



2. 已知 i 为虚数单位, a ? R ,如果复数 2i ? A. ?4 B. ?2 C. 2 D. 4

ai 是实数,则 a 的值为( 1? i



3. 在边长为 2 的正三角形 ?ABC 内任取一点 P ,则使点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的 概率是( A. 1 ? ) B.

3? 3
1 2

3? 3

C. 1 ?

3? 6

D.

3? 6


4. 已知点 (a, ) 在幂函数 f ? x ? ? (a ?1) xa 的图象上,则函数 f ? x ? 是( A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数

5. 已知焦点在 y 轴上的双曲线 C 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心率为 ( A. )

13 2

B.

13 3

C.

10 2

D.

15 3
“均倒数” , 若已知数列 ?an ? 的前 n 项 , pn 的

6. 定义

n p1 ? p2 ?

? pn

为 n 个正整数 p1 , p2 ,

的“均倒数”为

a 1 1 1 ? ? ,又 bn ? n ,则 5n 5 b1b2 b2b3
C.

?

1 ? ( b10b11



A.

8 17 17 ? 2

B.

9 19

10 21 19 ? 2

D.

11 23


7. 某几何体的三视图如图所示,则其表面积为( A. B. 9? C. D. 10?

8. 已知 p : 关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 3 ? m 有解, q : 函数 f ? x ? ? (7 ? 3m) x 为减函数,则

p 成立是 q 成立的(
A.充分不必要条件 9. 已知函数 f ? x ? ?

) B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

2x ? 1 ? cos x ,则 y ? f ? x ? 的图象大致是( 1 ? 2x

10. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的值是 1.99 ,则( A. a ? 98 B. a ? 99 C. a ? 100 D. a ? 101



11. 已知三棱锥 P ? ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, ?ABC 是边长为 1 的正三角形,

PC 为球 O 的直径,该三棱锥的体积为
A. 4? B. 8? C. 12? D. 16?

2 ,则球 O 的表面积为( 6



12. 已知函数 f ? x ? ? ?

? x 2 ? 4 x, x ? 0 ? x ln x, x ? 0
3 2

, g ? x ? ? kx ? 1 ,若方程 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 在 x ? (?2, 2)


有三个实根,则实数 k 的取值范围为( A. (1,ln 2 e ) B. (ln 2 e , )

C. ( , 2)

3 2

D. (1, ln 2 e )

3 ( , 2) 2

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

?y ? x ? 13.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ? y ? ?1 ?
14.已知 a ? 1, b ? 2,( a ? b) ? b ? 3 ,设 a 与 b 的夹角为 ? ,则 ? 等于





15 已知圆 C 的圆心时直线 x ? y ? 2 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 9 相 外切,若过点 P(?1,1) 的直线 l 与圆 C 交于两点,当最小时,直线 l 的方程为. 16.设 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? . .

3 , an ?1 ? 2Sn ? 2n ,则 a5 ? 2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 如图,已知扇形的圆心角 ?AOB ?

2? ,半径为 4 2 ,若点 C 是 AB 上一动点(不与点 3

A, B 重合).
(1)若弦 BC ? 4( 3 ?1) ,求 BC 的长; (2)求四边形 OACB 面积的最大值.

18. 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, PA ? 平面

ABCD, PA ? AB ? AC ? 4, AB ? AC ,
点 E , F 分别在线段 AB, PD 上. (1)证明:平面 PDC ? 平面 PAC ; (2)若三棱锥 E ? DCF 的体积为 4,求

FD 的值. PD

19.已知药用昆虫的产卵数 y 与一定范围内的温度 x 有关,现收集了该中药用昆虫的 6 组观测 数据如表:

经计算得: x ?
6

6 6 1 6 1 6 xi ? 26, y ? ? yi ? 33, ? ( xi ? x)( yi ? y) ? 557, ? ( xi ? x) 2 ? 84, ? 6 i ?1 6 i ?1 i ?1 i ?1 6

?
i ?1

( yi ? y) ? 3930 ,线性回归模型的残差平方和为
2

?) ?(y ? y
i ?1 i

2

? 236.64, e6.0066 ? 3167 ,

分别为观察数据中温度和产卵数 i ? 1, 2,3, 4,5,6 ,

? ?a ? ? bx ? (精确到 0.1 ) (1)若用线性回归模型,求 y 关于 x 的回归方程 y ;
? ? 0.06e0.2103x ,且相关指数 (2)若用非线性回归模型求得 y 关于 x 的回归方程 y
R 2 ? 0.9952 ,试与(1)中的回归模型相比.
①用 R 说明哪种模型的拟合效果更好; ②用拟合效果更好的模型预测温度为 35 C 时该中药用昆虫的产卵数(结果取整数). 附:一组数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),
0
2

? ?a ? ? bx ? 的斜率和截距的最小二乘 ,( xn , yn ) ,其回归直线 y
?) ?(y ? y
n 2 i

?? 估计分为 b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? ,相关指数 R 2 ? ? ? y ? bx ,a

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 n

2

20. 在直角坐标 xOy 中,已知椭圆 E 中心在原点,长轴长为 8,椭圆 E 的一个焦点为圆

C : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 ? 0 的圆心.
(1)求椭圆 E 的标准方程; (2) 设 P 是椭圆 E 上 y 轴左侧的一点, 过 P 作两条斜率之积为 与圆 C 相切时,求 P 的坐标. 21.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax(a ? R) . (1)若曲线 y ? f ? x ? 与直线 x ? y ? 1 ? ln 2 ? 0 相切,求实数 a 的值; (2)若不等式 ( x ? 1) f ( x) ? ln x ?

1 的直线 l1 , l2 , 当直线 l1 , l2 都 2

x 在定义域内恒成立,求实数 a 的取值范围. e

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位 相同,曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin(? ?

?

? x ? 1 ? t cos ? ) ,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数, 4 ? y ? 2 ? t sin ?

0 ?? ?? ) ,设 P(1, 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点.
(1)当 ? ? 0 时,求 AB 的长度; (2)求 PA ? PB 的取值范围. 23.已知函数 f ? x ? ? x ? a ?
2 2

1 (a ? 0) . 2a

(1)若不等式 f ? x ? ? f ( x ? m) ? 1 恒成立,求实数 m 的最大值; (2)当 a ?

1 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2x ?1 有零点,求实数 a 的取值范围. 2

试卷答案 一、选择题 1-5: BDCAB 二、填空题 13. 6-10:CBBDB 11、A 12:D

1 2

14.

2 ? 3

15.

x? y ?0

16. ?601

三、解答题 17.(1)在 ?OBC 中, BC ? 4( 3 ?1), OB ? OC ? 4 2 ,

? OB 2 ? OC 2 ? BC 2 3 ? 由余弦定理 cos ?BOC ? ,所以 ?BOC ? , 6 2OB ? OC 2
于是 BC 的长为

?
6

?4 2 ?

2 2 ?。 3
2? ?? , 3

(2)设 ?AOC ? ? , ? ? (0, ? ) ? ?BOC ? 所以四边形的面积为 S ? S ?AOC ? S ?BOC ?

2 3

? 24sin ? ? 8 3 cos ? ? 16 3 sin(? ? ) 6 2 ? ? 5? ), 由 ? ? (0, ? ) ,所以 ? ? ? ( , 3 6 6 6

?

1 1 2? ? 4 2 ? 4 2 sin ? ? ? 4 2 ? 4 2 sin( ?? ) 2 2 3

当? ?

?
3

时,四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3 。

18.(1)证明:因为四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,

AB ? AC ,所以 AC ? CD ,
因为 PA ? 平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD , 因为 AC

PA ? A ,所以 CD ? 平面 PAC ,

因为 CD ? 平面 PDC ,所以平面 PDC ? 平面 PAC 。 (2)因为 AC ? CD, AB ? AC ? CD ? 4 ,所以 S?DEC ? 设点 F 到平面 ABCD 的距离为 d ,

1 ? 4? 4 ? 8 , 2

1 S?DEC ? d ? 4 , 3 3 FD d 3 ? ? , 解得 d ? ,所以 2 PD PA 8
所以 VE ? DCF ? VF ? DEC ?

?? 19.(1)依题意, n ? 6, b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

6

? ( x ? x)
i ?1 i

6

?

2

557 ? 6.6 , 84

? ? 33 ? 6.6 ? 26 ? ?138.6 , 所以 a

? ? 6.6 x ? 138.6 。 所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y
(2)①利用所给的数据

? )2 ? 236.64, ? ( yi ? y)2 ? 3930 ? ( yi ? y
i ?1 i ?1

6

6

? ? 6.6 x ? 138.6 的相关指数 得线性回归方程为 y

R2 ? 1 ?

?) ?(y ? y

6

2

? ( y ? y)
i ?1 i

i ?1 6

i

? 1?
2

236.64 ? 1 ? 0.0602 ? 0.9398 , 3930

因为 0.9398 ? 0.9522 , 因此, 回归模型 y ? 0.06e 拟合效果更好;

0.2303 x

? ? 6.6 x ? 138.6 比线性回归方程模型 y

0.2303?35 ②由①的温度 x ? 35 C 时, y ? 0.06e ? 0.06e8.0605 ,
0 8.0605

因为 0.06e

? 3167 ,所以 y ? 0.06 ? 3167 ? 190 个,

所以当温度 x ? 35 C 时,该种药用昆虫的产卵数估计为 190 个。
0

20.(1)由圆的方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 , 则圆心为点 C (2, 0) ,

从而可设椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

其焦距为 2c ,由题意设 2a ? 8, c ? 2 ,所以 a ? 4, b2 ? a2 ? c2 ? 12 ,

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 16 12

(2)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 , 则 l1 , l2 的方程分别为 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), l2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ) , 由题意知, k1 ? k2 ?

2k1 ? y0 ? k1 x0 1 ? 2 , ,由 l1 与圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2 相切得 2 k12 ? 1

2 即 [(2 ? x0 )2 ? 2]k12 ? 2(2 ? x0 ) y0k1 ? y0 ?2 ? 0, 2 2 同理可得 [(2 ? x0 )2 ? 2]k2 ? 2(2 ? x0 ) y0k2 ? y0 ?2 ? 0 2 从而 k1 , k2 是方程 [(2 ? x0 )2 ? 2]k 2 ? 2(2 ? x0 ) y0k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根,
2 2 ? y0 ?2 1 ?(2 ? x0 ) ? 2 ? 0 且, k , k ? ? 1 2 2 2 2 (2 ? x0 ) ? 2 2 ? ?? ? 8[(2 ? x0 ) ? y0 ? 2] ? 0

于是, ?

2 2 ? x0 y0 ? ?1 ? 18 ?16 12 2 由? 得 5x0 , ? 8x0 ? 36 ? 0 ,解得 x0 ? ?2( x0 ? 舍去) 2 5 y ? 2 1 0 ? ? 2 ? (2 ? x ) ? 2 2 0 ?

由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3 ,它们均满足上式, 故点 P 的坐标为 (?2,3) 或 (?2, ?3) 。 21. 由 f ? x ? ? ln x ? ax ,得 f ? ? x ? ?

1 ?a, x

?1 1 ? ? x0 ? ? ? a ?1 设切点横坐标为 x0 ,依题意得 ? x0 ,解得 ? 2 ,即实数 a 的值为 1。 ? ? x ? 1 ? ln 2 ? ln x ? ax ?a ? 1 0 0 ? 0

(2)由在 ( x ? 1) f ( x) ? ( x ? 1)(ln x ? ax) ? ln x ? 得a ?

x 定义域内恒成立, e

ln x 1 在定义域内恒成立, ? x ? 1 e( x ? 1)
1 1 1 ? ? ? ln x e x , ( x ? 1) 2

ln x 1 ? ( x ? 0) ,则 g ? ? x ? ? 令 g ? x? ? x ? 1 e( x ? 1)
在令 h ? x ? ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ln x ,则 h? ? x ? ? ?( ? 2 ) ? 0 , e x x x

即 y ? h ? x ? 在 (0, ??) 上递减,又 h ? e ? ? 0 , 所以当 x ? (0, e) 时, h ? x ? ? 0 ,从而 g? ? x ? ? 0, g ? x ? 在 x ? (0, e) 递增; 当 x ? (e, ??) 时, h ? x ? ? 0 ,从而 g? ? x ? ? 0, g ? x ? 在 x ? (e, ??) 递减, 所以 g ? x ? 在 x ? e 处取得最大值 g ? e ? ? 所以实数 a 的取值范围是 [ , ??) 22.(1)曲线 C 的方程是 ? ? 2 2 sin(? ?
2 2

ln e 1 1 ? ? , e ? 1 e(e ? 1) e

1 e

?
4
2

) ,化为 ? 2 ? 2 2 ? (

2 2 sin ? ? cos ? ) , 2 2

化为 ? ? 2? sin ? ? 2? cos? ,所以 x ? y ? 2 y ? 2 x , 曲线 C 的方程 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,
2 2 2 2 当 ? ? 0 时,直线 l : y ? 2 ,代入方程 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 ,解得 x ? 0 或 ?2 ,

所以 AB ? 2 。 (2)将 ?
2

? x ? 1 ? t cos ? 代入到 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 , ? y ? 2 ? t sin ?
2

得 t ? (4cos ? ? 2sin ? )t ? 3 ? 0 ,由 ? ? (4cos ? ? 2sin ? ) ?12 ? 0 , 化简得

3 ? sin 2 (? ? ? ) ? 1 , 5

所以 t1 ? t2 ? ?(4cos ? ? 2sin ? ), t1t2 ? 3 ,
2 2 2 2 2 所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) ? 2t1t2 ? (4 cos ? ? 2sin ? ) ? 6 ? 20sin (? ? ? ) ? 6 , 2 2

所以 PA ? PB ? (6,14] 23.(1)因为 f ? x ? ? f ( x ? m) ? x ? a ?

2

2

1 1 ?( x?m?a ? ) 、 2a 2a

? x ? a ? x ? m ? a ? ( x ? a) ? ( x ? m ? a) ? m ,所以 m ? 1 ,即 m 的最大值为 1.
(2) g ? x ? ? f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? a ? 2 x ? 1 ?

1 , 2a

1 ? ? ?3 x ? a ? 2a ? 1, x ? a ? 1 1 ? ? a ? 1, a ? x ? , 即 g ? x ? ? ?? x ? 2a 2 ? 1 1 ? ?3 x ? 2a ? a ? 1, x ? 2 ?
1 1 2 2 1 1 1 1 1 ? a ?1 ? ? ?a, 所以 g ? x ?min ? g ( ) ? 3 ? ? 2 2 2a 2 2a 1 1 1 ? a ? 0 ,解得 ? ? a ? 0 ,或 a ? 1 , 由题意得 ? 2 2a 2 1 1 又 a ? ,所以 a 的取值范围是 {a | ? ? a ? 0} 。 2 2
所以 g ? x ? 在 (??, ] 上减函数,在 [ , ??) 上是增函数,


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