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专题:函数的奇偶性


专项:函数的奇偶性 学习目标 1. 了解函数奇偶性的含义及其图像特征。 2. 掌握判断函数奇偶性的方法和步骤。 知识讲解 1.定义及特点 偶函数 对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x , 定义 都有 f ( ? x ) ? f ( x ) 都有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) (1)定义域关于原点对称 (2)图象关于原点对称 (3)如果在 x ? 0 有定义,则 f (0) ? 0 (4)在关于原点对称的区间上具有相同 的单调性 奇函数 对于函数 f ( x ) 的定义域内任意一个 x , 特点 (1)定义域关于原点对称 (2)图象关于 y 轴对称 (3)在 y 轴的两侧具有相反的单调性 2.判断方法(定义法、图象法) a .定义法 若函数的定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数; (定义域先行) 若函数的定义域关于原点对称,进一步判断 f ( ? x ) 与 f ( x ) 之间的关系: ① f ( ? x ) ? f ( x ) ,则函数为偶函数;② f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,则函数为奇函数; ③ f ( ? x ) ? f ( x ) 且 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,则函数为非奇非偶函数。 b .图象法 若函数图象关于原点对称,此函数为奇函数;关于 y 轴对称,此函数为偶函数;否则为非奇 非偶函数。 例题讲析 例.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x ) ? x ? 1 解: (1)定义域为 R (2) f ( x ) ? 3 x ?3 2 f (? x) ? (? x) ? 1 ? ? x ? 1 ? f ( x) 且 f ( ? x) ? ? x ? 1 ? ? f ( x) ? ?( x ? 1) ? ? x ? 1 故函数 f ( x ) ? x ? 1 为非奇非偶函数。 (2)定义域为 R f (? x) ? 3 3 ? 2 ? f ( x) 2 (? x) ? 3 x ? 3 3 为偶函数。 x ?3 2 故函数 f ( x ) ? 当堂检测 1.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x 2 (2) f ( x) ? 2 x 3 ? x (3) f ( x) ? x ( 4) f ( x ) ? 1 x ?1 (5) f ( x) ? x ? x , x ? ?? 2,2? 4 2 ( 6) f ( x ) ? 3 2x ? 3 2 2.若 f ( x) ? x ? (a ? 1) x 是偶函数,则 a ? 2 3.偶函数 y ? f ( x) 在区间 ?0,4? 上单调递减,则有( A. f ( ?1) ? f ( ) ? f ( ?? ) ) ? 3 B. f ( ) ? f ( ?1) ? f ( ?? ) ? C. f ( ?? ) ? f ( ?1) ? f ( ) ? 3 3 D. f ( ?1) ? f (? ) ? f ( ) ? 3

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