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高考复习资料:三角函数

第 12 讲 三角函数 高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过 程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性 质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、 几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉 三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的 求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些 实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性 质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数 图象的变化. 二、高考考点分析 2004 年各地高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考 察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判 断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切 弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性 等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角: α =(α +β )-β ,β = ??? 2 - ??? 2 等。 (3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的 2 2 符号确定, ? 角的值由 tan ? = b 确定。 a 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、 余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 1 1 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。 四、例题分析 例 1.已知 tan? ? 2 ,求(1) cos? ? sin ? 解: (1) ? cos? ? sin ? sin ? cos? ? 1 ? tan? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; sin ? 1 ? tan? 1 ? 2 1? cos? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2? 2 ?2 4? 2 cos2 ? cos ? . ? ? ? 2 sin ? 2 ?1 3 ?1 cos2 ? 1? cos? ? sin? 2 2 ; (2) sin ? ? sin? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos? ? sin? 说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化,就会 使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。 2 解:设 t ? sin x ? cos x ? π 2 sin( x ? ) ?[? 2,2] ,则原函数可化为 4 1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? )2 ? ,因为 t ? [? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。 3 4 例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 2 (1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 2 π 对称。 8 2 解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x) π ? 2sin 2 x ? 2cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4 (1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R , 所以,当 2 x ? 2 π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 2 (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? π 对称,只要证明对任意 x?R , 有 8 π π 成立, f (? ? x ) ? f ( ? x ) ? 8 8 π π π π 因为 f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2

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