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安徽省马鞍山市2015届高中毕业班第二次教学质量检查数学文试题

2015 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测
一、选择题: (1) 【答案】A (2) 【答案】A (3) 【答案】B (4)【答案】B (5) 【答案】D (6) 【答案】B (7) 【答案】C (8) 【答案】D (9)【答案】B (10) 【答案】C

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. (11) 【答案】 ?1 (12) 【答案】 ,由条件知 m ? n ? 6 , (13) 【答案】 ? (14) 【答案】
3 2

1 4 1 1 4 1 n 4m 1 3 ? ? (m ? n)( ? ) ? (5 ? ? ) ? (5 ? 4) ? m n 6 m n 6 m n 6 2

9 log2 55 9 55 , f (log2 9) ? f (log2 9 ? 4) ? 4 ? f (log2 ) ? 4 ? 2 16 ? 4 ? ? . 16 16 16

8 17

(15) 【答案】①③④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) 【解】 (Ⅰ)设 ΔABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,

1 则由已知: bc sin ? ? 2 , 0 ? bc cos ? ? 4 ,………………………………………4 分 2 可得, tan ? ? 1 ………………………………………………………………………6 分
(Ⅱ) f (? ) ? 2sin 2 ( ? ? ) ? 3 cos 2? ? [1 ? cos( ? 2? )] ? 3 cos 2? 4 2

?

?

? (1 ? sin 2? ) ? 3 cos 2? ? sin 2? ? 3 cos 2? ? 1 ? 2sin(2? ? ) ? 1 ……10 分 3

?

? ? ? ? 2? π 由(Ⅰ) , ? ?[ , ) ,∴ 2? ? ?[ , ) ,∴ 2 ? 2sin(2? ? ) ? 1 ? 3 4 2 3 6 3 3
即 f (? )max ? 3 , f (? )min ? 2 …………………………………………………12 分

(17) (本小题满分 12 分) 【解】 (Ⅰ)由题可知, 第 2 组的频数为 100? 0.15 ? 15 (人)…1 分

第 3 组的频率为

30 ? 0.3 100

……………2 分

频率分布直方图如右: ……………5 分 (Ⅱ)因为第 2、5 组共有 35 名学生,所以利用分层抽样在 35 名学生中抽取 7 名学生,每组分别为: 第 3 组:
15 ? 7 ? 3 (人) 35

…………………6 分
0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

频率 组距

20 第 5 组: ? 7 ? 4 (人) …………………7 分 35

所以第 2、5 组分别抽取 3 人、4 人. (Ⅲ)设第 2 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 5 组的 4 位同学为 B1 , B2 , B3 , B4 , 则从 7 位同学中抽 2 位同学有 21 种可能情况:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , B4 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , B4 ) ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , B3 ), ( A3 , B4 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B3 , B4 ), ……………………………10 分

160

165

170

175

180

185

身高(cm)

频率分布直方图

其中第 5 组的 4 位同学 B1 , B2 , B3 , B4 中至少有一位同学入选的有 18 种,故至少有 1 名学生来自第 5 组的概 率为:
6 7

…………………12 分

(18) 【解】 (Ⅰ)证明:连 AC,BD,设 AC,BD 交于点 O,连 OH,OG. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴ AO ? CO , 又∵ G , H 分别是 AB , EF 的中点, ∴ GO∥BC,HO∥CF ………………………4 分 ∴平面 GHO ∥平面 BCF ,∵ GH ? 平面 GHO ∴证明 GH ∥平面 BCF ……………………6 分 (Ⅱ)∵ EA ? 正方形 ABCD ,∴ EA ? BO , 又 BO ? AC ,所以 BO ? 平面 ACFE 所以 VABCDEF ? 2VB? ACFE
1 ? 2 ? ? S ACFE ? BO 3
B G O C E

H

F A D

1 1 ? 2? ? ( 1 ? 2) ?2 2 ? 2 ? 4 . 3 2

(19) 【解】 (Ⅰ) an ? Sn ? Sn ?1 ? n2 ? (n ? 1)2 ? 2n ? 1 ( n ? 2 )………………………3 分 又 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,符合上式 ……………………………………………4 分 1 n ? N *) ……………………………………………………………5 分 故 an ? 2n ?(

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: bn ? a3 ? (?1)n an ? 2 ? 3n ?1 ? (?1)n (2n ?1)
n

Tn ? 2(3 ? 32 ?

? 3n ) ? n ? [?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ?

? (?1)n (2n ? 1)]

? 2?

3(1 ? 3n ) ? n ? [?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ? 1? 3

? (?1)n (2n ?1)]

? 3n ?1 ? n ? 3 ? [?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ?

? (?1) n (2n ? 1)] ………………8 分

设 Qn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? 11 ?

? (?1)n (2n ? 1)

当 n 为偶数时, Qn ? (?1 ? 3) ? (?5 ? 7) ?

? [?(2n ? 3) ? (2n ? 1)] ? 2 ?

n ? n, 2

此时 Tn ? 3n ?1 ? 3 ………………………………………………………11 分 当 n 为奇数时, Qn ? ?1 ? (3 ? 5) ? (7 ? 9) ?
? ?1 ? (?2)(n ? 1) ? ?n , 2
? [(2n ? 3) ? (2n ? 1)]

此时 Tn ? 3n ?1 ? n ? 3 ? n ? 3n ?1 ? 2n ? 3 …………………………………13 分

1 1 ? ax (20) 【解】 f ?( x) ? ? a ? , x ? 0 ,…………………………………………………2 分 x x (Ⅰ) (1)若 a ? 0 ,对 ?x ? 0 均有 f ?( x) ? 0 , 故 f ( x) 为其定义域上的单调递增函数;…………………………………………3 分 1 (2)若 a ? 0 ,当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 ; a 1 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 ; a 1 1 故 f ( x) 在 (0, ) 内单调递增,在 ( , ??) 内单调递减.…………………………4 分 a a 1 1 a a 1 1 (Ⅱ)由 a ? 0 , f ( ) ? ln ? ? 1 ? ? ? 0 ,即存在 x1 ? ? [ , e] 使 f ( x) ? 0 , e e e e e e 1 从而只需存在 x2 ? [ , e] ,使 f ( x2 ) ? 0 , e 1 其等价于 x ? [ , e] 时, f ( x)max ? 0 .………………………………………………7 分 e

由(Ⅰ)知: ①当
1 1 1 ? e ,即 0 ? a ? 时, f ( x) 在 [ , e] 上单调递增, f ( x)max ? f (e) e a e 2 , e

由 f (e) ? ln e ? ea ? 1 ? 2 ? ea ? 0 ,解得 a ?

1 故 0 ? a ? ;……………………………………………………………………9 分 e 1 1 1 1 1 1 ②当 ? ? e ,即 ? a ? e 时, f ( x) 在 [ , ] 上单调递增,在 [ , e] 上单调递减; e a e e a a

1 1 由 f ( x)max ? f ( ) ? ln ? 0 ,解得 0 ? a ? 1 , a a 1 故 ? a ? 1 ;……………………………………………………………………11 分 e

③当

1 1 1 ? ,即 a ? e 时, f ( x) 在 [ , e] 上单调递减, a e e

1 1 故 ?x ? [ , e] , f ( x) ? f ( ) ? 0 ,舍去. ……………………………………12 分 e e

综上, 0 ? a ? 1 .………………………………………………………………13 分 (21) 【解】 (Ⅰ)∵ PF1 ? PF2 ? 4 ? 2a ,又 c ? 3 ∴ b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ,
y2 ? 1 ;……………………………………………5 分 4 (Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,显然直线 PQ 的斜率存在,

∴椭圆 C 的标准方程为 x2 ?

? 2 y2 ?1 ?x ? 设直线 PQ 方程 y ? mx ? n ,联立方程组 ? , 4 ? y ? mx ? n ?

消去 y 得: (4 ? m2 ) x2 ? 2mnx ? n2 ? 4 ? 0 , ∴ x1 ? x2 ?
n2 ? 4 ?2mn , x1 x2 ? 2 ,…………………………………………7 分 2 m ?4 m ?4
8n , m2 ? 4

∴ y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n ?

y1 y2 ? m2 x1 x2 ? mn( x1 ? x2 ) ? n2 ?

4n2 ? 4m2 ;………………………………9 分 m2 ? 4

∴ AP ? AQ ? ( x1 , y1 ? 2) ? ( x2 , y2 ? 2) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 ……………10 分
? ?
?

n2 ? 4 ? 4n2 ? 4m2 ? 16n ? 4m2 ? 16 m2 ? 4 5n2 ? 16n ? 12 m2 ? 4
(n ? 2)(5n ? 6) ? 0; m2 ? 4

6 ∴ n ? ?2 (舍) ,或 n ? ? ;………………………………………………12 分 5 6 即直线 PQ 经过定点 (0, ? ) .………………………………………………13 分 5


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