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专题限时集训(十七) [第 17 讲 函数与方程思想、数形结合思想] (时间：45 分钟)

1．若 i(x＋yi)＝3＋4i，x，y∈R，则复数 x＋yi 的模是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 1 1 2．直线 y＝ x＋b 与曲线 y＝－ x＋ln x 相切，则 b 的值为( ) 2 2 A．－2 B．1 1 C．－ D．－1 2 x2 y2 3．设椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是 C 上的点，PF2⊥F1F2， a b ∠PF1F2＝30°，则 C 的离心率为( ) 3 1 A. B. 6 3 1 3 C. D. 2 3 4．若点 P 是曲线 y＝x2－ln x 上任意一点，则点 P 到直线 y＝x－2 的距离的最小值为 ________． x－y＋1≥0， ? ? 5．设 x，y 满足约束条件?x＋y－1≥0，则 z＝2x－3y 的最小值是( ? ?x≤3，

)

A．－7 B．－6 C．－5 D．－3 6．函数 f(x)＝ln x 的图像与函数 g(x)＝x2－4x＋4 的图像的交点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 7．O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4 2x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4 △POF 的面积为( ) A．2 B．2 2 C．2 3 D．4

2，则

8．已知 f(x)是定义域为 R 的奇函数，f(－4)＝－1，f(x)的导函数 f′(x)的图像如图 X17－1 a＋2 所示．若两正数 a，b 满足 f(a＋2b)<1，则 的取值范围是( ) b＋2

图 X17－1 1 A. ，2 B．(－∞，1) 3

1 C．(－1，0) D. ，3 2 9．已知函数 f(x)＝3x＋sin x－2cos x 的图像在点 A(x0，f(x0))处的切线斜率为 3，则 tan x0 的值是________． 1 1 10．若曲线 y＝x－ 在点 m，m－ 处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18，则 m＝ 2 2 ________． 2－sin x 11．函数 f(x)＝ 的值域是________． 3－cos x 12．已知 x3＋sin x－2a＝0，4y3＋sin ycos y＋a＝0，则 cos(x＋2y)＝________． 13．等差数列{an}中，a3＝3，a1＋a4＝5. (1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)若 bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an?an＋1

14．如图 X17－2 所示，在直角坐标系 xOy 中，角 α 的顶点是原点，始边与 x 轴正半轴重 π π π 合，终边交单位圆于点 A，且α ∈ ， .将角 α 的终边按逆时针方向旋转 ，交单位圆于点 6 2 3 B.记 A(x1，y1)，B(x2，y2)． 1 (1)若 x1＝ ，求 x2； 3 (2)分别过 A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为 C，D.记△AOC 的面积为 S1，△BOD 的面积 为 S2.若 S1＝2S2，求角 α 的值．

图 X17－2

15．已知函数 f(x)＝ln x，a 是大于 0 的实数． a－1 (1)若 f(x)≤ax＋ ＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立，求 a 的取值范围； x 3 (2)设 F(x)＝f(x)＋ax2－2x，若函数 F(x)有两个极值点，证明 F(x)的极小值小于－ . 2

专题限时集训(十七) 1．D [解析] i(x＋yi)＝－y＋xi＝3＋4i，根据两复数相等的充要条件得 x＝4，y＝－3.故 |x＋yi|＝ （－3）2＋42＝5. 1 1 1 1 1 1 2．D [解析] 由 y＝－ x＋ln x 得 y′＝－ ＋ ，由 y′＝－ ＋ ＝ ，得 x＝1，把 x＝1 代 2 2 x 2 x 2 1 1 1 1 ? 入曲线方程 y＝－ x＋ln x 得 y＝－ ， 所以切点坐标为? ?1，－2?，代入直线方程 y＝2x＋b 得 b 2 2 ＝－1. 2a 3 3 c 3．D [解析] 设|PF2|＝x, 则|PF1|＝2x，由椭圆定义得 3x＝2a，结合图形知， ＝ ? ＝ 2c 3 a 3 ，故选 D. 3 1 1 4. 2 [解析] y′＝2x－ ，令 y′＝1，得方程 2x2－x－1＝0，解得 x＝－ (舍)或 x＝1，故与 x 2 直线 y＝x－2 平行的曲线 y＝x2－ln x 的切线的切点坐标为(1，1)，该点到直线 y＝x－2 的距 离 d＝ 2即为所求． 5．B [解析] 画出可行域如图中△ABC，易得 A(3，－2)，B(3，4)，C(0，1)，作出直线 2 y＝ x， 平移易知直线过 B 点时在 y 轴上的截距最大， 此时 z 最小． 即 zmin＝2?3－3?4＝－6， 3 故选 B.

6．C [解析] 方法一：作出函数 f(x)＝ln x，g(x)＝x2－4x＋4 的图像如图所示． 可知其交点个数为 2，选 C. 方法二：(数值法) x f(x)＝ln x g(x)＝x2－4x＋4 可知它们有 2 个交点，选 C. 1 0 1 2 ln 2(>0) 0 4 ln 4(<4) 4

7．C [解析] 设 P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|＝x0＋ 2，所以 x0＝3 2，代入抛物 1 1 线方程得 y2＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于 ?|OF|?|y|＝ ? 2?2 6＝2 3. 2 2 8． D [解析] 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数， f(－4)＝－1， 所以 f(4)＝1， 又因为 f′(x)≥0

a>0， ? ? 恒成立，所以 f(x)在 R 上单调递增，若两正数 a，b 满足 f(a＋2b)<1，则?b>0， 把 b 看作 ? ?a＋2b<4， a >0 ， ? ? a＋2 横坐标，a 看作纵坐标，画出线性约束条件?b>0， 的可行域(图略)， 的几何意义为过点 b＋2 ? ?a＋2b<4 a＋2 (－2，－2)和(b，a)的直线的斜率，由可行域知，当(b，a)为点(2，0)时， 取最小值，其最 b＋2 0＋2 1 a＋2 4＋2 a＋2 小值为 ＝ ；当(b，a)为点(0，4)时， 取最大值，其最大值为 ＝3.所以 的取值 2＋2 2 b＋2 0＋2 b＋2 1 ? 范围是? ?2，3?. 1 9．－ [解析] f′(x)＝3＋cos x＋2sin x，根据已知 3＋cos x0＋2sin x0＝3，由此可得 tan x0 2 1 ＝－ . 2 1 1 3 1 3 10．64 [解析] 由题意知 m>0，因为 y＝x－ ，所以 y′＝－ x－ ，所以 y′|x＝m＝－ m－ ， 2 2 2 2 2 1 1 3 1 3 3 1 3 1 所以切线方程为 y－m－ ＝－ m－ (x－m)，即 y＝－ m－ x＋ m－ ，令 x＝0 得 y＝ m－ ； 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 令 y＝0 得 x＝3m，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为 18，所以 ?3m? m－ ＝18， 2 2 2 解得 m＝64. ?3－ 3 3＋ 3? [解析] 函数 f(x)的几何意义是指坐标平面上定点 A(3 ， 2)与动点 11. ? ? ? 4 ， 4 ? M(cos x，sin x)连线的斜率，而动点 M 的两坐标的平方和为 1，动点 M 是坐标平面内单位圆上 的点组成的，问题等价于求定点 A 和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图所示，函数 f(x)的值域的两个端点，就是过点 A 的单位圆的两条切线 AM，AN 的斜率，设切线方程为 y－2 |－3k＋2| ＝k(x－3)，即 kx－y－3k＋2＝0，圆心到直线的距离为 ，这个距离等于圆的半径，即 1＋k2 |－3k＋2| 3± 3 ?3－ 3 3＋ 3?. ，故所求的函数值域为? ? 2 ＝1，解得 k＝ 4 ? 4 ， 4 ? 1＋k

12 ． 1 [ 解 析 ] 构 造 函 数 f(t) ＝ t3 ＋ sin t － 2a ， 则 f′(t) ＝ 3t2 ＋ cos t ， 当 π π π 3 t∈?2kπ － ，2kπ ＋ ?(k∈Z)时，f′(t)>0，当 t∈?2kπ ＋ ，2kπ ＋ π ?(k∈Z)时，3t2>1， 2 2? 2 2 ? ? ? cos t≥－1，此时 f′(t)>0，故函数 f(t)是 R 上的增函数．根据题意 f(x)＝f(－2y)，故 x＝－2y， 所以 cos(x＋2y)＝1. 13．解：(1)设数列{an}的公差为 d， ? ? ?a1＋2d＝3， ?a1＝1， 由? 解得? ?a1＋（a1＋3d）＝5， ?d＝1. ? ? 所以 an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)· 1＝n. 1 1 1 (2)因为 an＝n，所以 an＋1＝n＋1，故 bn＝ ＝ － ， n（n＋1） n n＋1

1? ?1 1? ?1 1? 1 n ?1－ 1 ? 所以 Sn＝? ?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋…＋?n n＋1?＝1－n＋1＝n＋1. π 14．解：(1)由三角函数定义，得 x1＝cos α ，x2＝cos?α ＋ ?. 3? ? π π 1 2 2 因为 α∈? ， ?，cos α ＝ ，所以 sin α ＝ 1－cos2α ＝ . 3 3 ?6 2? 1－2 6 π 1 3 所以 x2＝cos?α＋ ?＝ cos α － sin α ＝ . 2 6 3? 2 ? π (2)依题意得 y1＝sin α ，y2＝sin?α ＋ ?. 3? ? 1 1 1 所以 S1＝ x1y1＝ cos α ?sin α ＝ sin 2α ， 2 2 4 π π 2π 1 1 1 S2＝ |x2|y2＝ ?－cos?α ＋ ???sin?α ＋ ?＝－ sin?2α ＋ ?. 2 2? 4 ? 3 ?? 3? 3 ? ? ? 2 π 依题意得 sin 2α ＝－2sin?2α ＋ ?，整理得 cos 2α ＝0. 3 ? ? π π π π π 因为 <α < ，所以 <2α <π ，所以 2α＝ ，即 α＝ . 6 2 3 2 4 a－1 15．解：(1)设 g(x)＝ax＋ ＋1－2a－ln x，x∈[1，＋∞)， x 则 g(1)＝0， 1－a? a（x－1）?x－ a ? a－1 1 ax2－x－（a－1） ? g′(x)＝a－ 2 － ＝ ＝ . x x x2 x2 1－a 1－a 1 当 0<a< 时， >1，若 1<x< ，则 g′(x)<0，g(x)单调递减， 2 a a 此时 g(x)<g(1)＝0，不符合题意． 1－a 1 当 a≥ 时， ≤1，若 x>1，则 g′(x)>0，g(x)单调递增， 2 a a－1 则 g(x)>g(1)＝0，即 f(x)≤ax＋ ＋1－2a 在[1，＋∞)上恒成立． x 1 ? 综上，a 的取值范围是? ?2，＋∞?. (2)证明：由题意 F(x)＝ln x＋ax2－2x， 2ax2－2x＋1 1 F′(x)＝ ＋2ax－2＝ ， x x 因为函数 F(x)有两极值点，所以 2ax2－2x＋1＝0 的 Δ>0， 1 则 0<a< . 2 不妨设 2ax2－2x＋1＝0 的两根为 x1，x2 且 0<x1<x2，则 F(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递 增，在(x1，x2)上单调递减，x2 是 F(x)的极小值点， x1＋x2? 3 3 所以当 F? ? 2 ?<－2时，必有 F(x2)<－2. x1＋x2 1 因为 ＝ ， 2 2a 1? x ＋ x 1 3 1 1 2? 所以 F? ＝F? ＝ln － ? ， 2 a ? ? 2 a 2 2a 2 ? ? x1＋x2? 3 1 3 1 3 要证 F? ? 2 ?<－2，即证 ln2a－2?2a＋2<0. 1 3 3 1 3 令 ＝t(t>1)，设 G(t)＝ln t－ t＋ ，则 G′(t)＝ － <0， 2a 2 2 t 2 所以 t>1 时，G(t)单调递减，又因为 G(1)＝0，

所以 G(t)<0，即 F?

x1＋x2? 3 3 ? 2 ?<－2，也即 F(x)的极小值小于－2.

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