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高考大一轮总复习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系


§ 9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 考纲展示? 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给 定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 考点 1 直线与圆的位置关系

(3)圆的切线方程常用结论: ①过圆 x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为 x0x+y0y=r2. ②过圆(x-a)2+(y-b)2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0- a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ③过圆 x2+y2=r2 外一点 M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在 直线方程为 x0x+y0y=r2. 答案:(1)相交 相切 相离 ②相交 2 r2-d2

(2)①相交 相切 相离 相切 相离

直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系:________、________、________. (2)两种研究方法:

(1)[教材习题改编]圆(x-1)2+(y+2)2=6 与直线 2x+y-5=0 的位置 关系是( )

A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离 答案:B 解析: 由题意知,圆心 (1,- 2)到直线 2x+ y- 5= 0 的距离 d= |2×1-2-5| = 5< 6,且 2×1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不 22+1 过圆心.
1

(2)[教材习题改编]圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 ________. 答案:x- 3y+2=0 解析: 圆的方程为(x-2)2+y2=4,圆心坐标为(2,0),半径为 2, 点 P 在圆上. 易知切线的斜率存在,设切线方程为 y- 3=k(x-1),即 kx-y-k + 3=0, |2k-k+ 3| 3 ∴ =2,解得 k= 3 , 2 k +1 3 ∴切线方程为 y- 3= 3 (x-1), 即 x- 3y+2=0.

5 解得 k=12, 5 所以切线方程为 y-3=12(x-2), 即 5x-12y+26=0. 综上可知,切线方程为 5x-12y+26=0 或 x-2=0.

[典题 1] (1)[2017· 湖北七市联考]将直线 x+y-1=0 绕点(1,0)沿逆 时针方向旋转 15° 得到直线 l,则直线 l 与圆(x+3)2+y2=4 的位置关系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 [答案] B

圆的切线:注意切线的条数. 过点(2,3)作圆 x2+y2=4 的切线,则切线方程为________. 答案:5x-12y+26=0 或 x-2=0 解析:当切线斜率不存在时,可得切线方程为 x-2=0. 当切线斜率存在时,设切线方程为 y-3=k(x-2), 即 kx-y+3-2k=0, 由圆心到切线的距离等于半径得 |3-2k| =2, k2+1

[解析] 依题意得,直线 l 的方程是 y=tan 150° (x-1),即 x+ 3y |-3-1| -1=0,圆心(-3,0)到直线 l 的距离 d= =2,因此该直线与圆相 3+1 切. (2)[2017· 陕西西安一模]直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆 x2 +y2-2x+2y-7=0 的位置关系是( A.相切 C.相离 [答案] B
2

) B.相交 D.不确定

[解析 ]

解法一:x2+y2-2x+2y-7=0 化为圆的标准方程为 (x-

(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. ②[解] 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= 1+k2|x1-x2| =2 令 t= 8-4k+11k2 =2 1+k2 11- 4k+3 , 1+k2

1)2+(y+1)2=9, 故圆心坐标为(1,-1),半径 r=3, 圆心到直线的距离 d=
2 2

|?a+1?-?a-1?+2a| |2a+2| = . ?a+1?2+?a-1?2 2a2+2

4a2+8a+4 7a2-4a+7 再根据 r -d =9- = , 2a2+2 a2+1 而 7a2-4a+7=0 的判别式 Δ=16-196=-180<0, 故有 r >d ,即 d<r,故直线与圆相交. 解法二:由(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R), 整理得 x-y+a(x+y+2)=0,
? ? ?x-y=0, ?x=-1, ? 则由 解得? ? ? ?x+y+2=0, ?y=-1,
2 2

4k+3 2 2 ,则 tk -4k+(t-3)=0, 1+k

3 当 t=0 时,k=-4; 当 t≠0 时,因为 k∈R, 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0, 解得-1≤t≤4,且 t≠0, 故 t= 4k+3 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2

即直线(a+1)x+(a-1)y+2a=0(a∈R)过定点(-1,-1),又(-1)2 +(-1)2-2×(-1)+2×(-1)-7=-5<0, 则点(-1,-1)在圆 x2+y2-2x+2y-7=0 的内部,故直线(a+1)x +(a-1)y+2a=0(a∈R)与圆 x +y -2x+2y-7=0 相交. (3)已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1) +(y+1) =12. ①求证:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; ②求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 解法一:①[证明]
? ?y=kx+1, 由? 2 2 ? ??x-1? +?y+1? =12
2 2 2 2

则直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. 解法二:①[证明] 因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而 |PC|= 5<2 3=r,所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直 线 l 总经过圆 C 内部的定点 P.所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有 两个交点.

消去 y,得

②[解] 由平面几何知识知,过圆内定点 P(0,1)的弦,只有与 PC(C 为圆心)垂直时才最短,
3

而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点, 由勾股定理知,|AB|=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7. [点石成金] 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到

解析: 由题意可知,圆心 (0,0) 到直线 x + 3 y - 2 = 0 的距离为 |0+ 3×0-2| 12+? 3?2 =1,

则|AB|=2 22-12=2 3. 2.圆的切线方程问题:代数法或数形结合法. 过点 P(-1,0)作圆(x-1)2+y2=1 的切线,则切线方程是________. 3 答案:y=± 3 (x+1) 解析:作出图形(图略),可知过点 P(-1,0)的圆的切线的倾斜角为 30° 或 150° , 3 所以切线方程为 y=± 3 (x+1).

直线的距离易表达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的 距离的表达较繁琐,则用代数法.能用几何法,尽量不用代数法. 考点 2 切线、弦长问题

[教材习题改编]过点 P(1,0)的直线 l 被圆 O:(x-1)2+(y-1)2=1 截 得的弦长为 2,则直线 l 的斜率为________. 答案:1 或-1 解析:点 P(1,0)在圆 O 上,而圆 O 的半径为 1,由图(图略)可知直 线 l 的斜率为 1 或-1.

[典题 2] (1)已知圆 C 过点(-1,0),且圆心在 x 轴的负半轴上,直 线 l:y=x+1 被该圆所截得的弦长为 2 2,则过圆心且与直线 l 平行的 直线方程为________. [答案] x-y+3=0

1.圆的弦长问题:几何法. 直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的 长度等于________. 答案:2 3
4 2 2

[解析] 设圆心为(a,0)(a<0),则圆的半径 r=|a+1|, |a+1| 圆心(a,0)到 y=x+1 的距离为 , 2 由截得的弦长为 2 2,得|a+1|2=?
?|a+1|?2 ? +2,解得 a=-3, 2 ? ?

所以过圆心且与 l 平行的直线为 y-0=x+3,即 x-y+3=0. (2)已知点 P( 2+1,2- 2),点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4. ①求过点 P 的圆 C 的切线方程; ②求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长. [解] 由题意,得圆心 C(1,2),半径 r=2. ①∵( 2+1-1) +(2- 2-2) =4, ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC= 2- 2-2 =-1, 2-1-1
2 2

则圆心 C 到切线的距离 d=

|k-2+1-3k| 3 =r=2,解得 k=4. 2 k +1

3 ∴切线方程为 y-1=4(x-3),即 3x-4y-5=0. 综上可得,过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0. ∵|MC|= ?3-1?2+?1-2?2= 5,

∴过点 M 的圆 C 的切线长为 |MC|2-r2= 5-4=1. [点石成金] 1.圆的切线方程的两种求法 (1)代数法:设切线方程为 y- y0= k(x- x0),与圆的方程组成方程 组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式 Δ=0 进而求得 k. (2)几何法:设切线方程为 y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公 式表示出圆心到切线的距离 d,然后令 d=r,进而求出 k. [提醒] 若点 M(x0,y0)在圆 x2+y2=r2 上,则过点 M 的圆的切线方 程为 x0x+y0y=r2. 2.弦长的两种求法 (1)代数方法:将直线和圆的方程联立方程组,消元后得到一个一 元二次方程.在判别式 Δ>0 的前提下,利用根与系数的关系,根据弦 长公式求弦长. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆的半径长为 r,则弦长 l=2 r2-d2. [提醒] 代数法计算量较大,我们一般选用几何法.

1 ∴切线的斜率 k=-k =1. PC ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=1×[x-( 2+1)],即 x -y+1-2 2=0. ②∵(3-1)2+(1-2)2=5>4, ∴点 M 在圆 C 外部. 当过点 M 的直线斜率不存在时, 直线方程为 x=3,即 x-3=0. 又点 C(1,2)到直线 x-3=0 的距离 d=3-1=2=r, 即此时满足题意,所以直线 x=3 是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1 -3k=0,

5

1.[2017· 重庆调研]过点(-2,3)的直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y=0 相交 于 A,B 两点,则|AB|取得最小值时 l 的方程为( A.x-y+5=0 B.x+y-1=0 C.x-y-5=0 D.2x+y+1=0 答案:A 解析: 由题意,得圆的标准方程为 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 5 ,则圆心 C(-1,2). 过圆心与点(-2,3)的直线 l1 的斜率为 k= 3-2 =-1. -2-?-1? )

联立切线方程与圆的方程,解得两切点 P,Q 的坐标分别为(4,2),
?4 22? ? , ?,由两点间的距离公式得|PQ|=4. ?5 5 ?

考点 3 圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系
2 2 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0),圆 O2:(x-a2) +(y-b2) = 2 r2 (r2>0).

当直线 l 与 l1 垂直时,|AB|取得最小值,故直线 l 的斜率为 1, 所以直线 l 的方程为 y-3=x-(-2),即 x-y+5=0. 2.过原点 O 作圆 x +y -6x-8y+20=0 的两条切线,设切点分别 为 P,Q,则线段 PQ 的长为________. 答案:4 解析: 将圆的方程化为标准方程 (x - 3) + (y - 4) = 5 ,则圆心为 (3,4),半径为 5. 由题意可设切线方程为 y=kx,则圆心(3,4)到直线 y=kx 的距离等于 半径, |3k-4| 1 11 即 2 = 5,解得 k=2或 k= 2 , k +1 1 11 则切线方程为 y=2x 或 y= 2 x.
2 2 2 2

方法 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 答案: d>r1+r2 两组不同的实数解

几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 ________________ ________________ ________________ ____________ ____________ 无解 d = r1 + r2

代数法:两圆方程联 立组成方程组的解的 情况 ________________ ________________ ________________ ____________ ____________ |r1-r2|<d<r1+r2

一组实数解

d=|r1-r2|(r1≠r2) 一组实数解 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 无解
6

若两圆 x2+y2=1 与(x-a)2+(y+a)2=4(a>0)相切,则 a=________. (1)[教材习题改编]圆 O1:(x+2) +y =4 与圆 O2:(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为________. 答案:相交 解析:两圆圆心分别为 O1(-2,0),O2(2,1), 半径长分别为 r1=2,r2=3. ∵|O1O2|= [2-?-2?]2+?1-0?2= 17, 3-2< 17<3+2,∴两圆相交. (2)[教材习题改编]圆 x2+y2-4=0 与圆 x2+y2-4x+4y-12=0 的公 共弦长为________. 答案:2 2
?x2+y2-4=0, ? 解析:由 ? 2 2 ? ?x +y -4x+4y-12=0,
2 2 2 2

2 3 2 答案: 2 或 2 解析:两圆的圆心距为 2a,半径分别为 r1=1,r2=2. 当两圆内切时, 当两圆外切时, 2 2a=2-1=1,得 a= 2 ; 3 2 2a=2+1=3,得 a= 2 .

[典题 3] 已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2 =1 相外切,则 ab 的最大值为( 6 A. 2 9 C.4 [答案] C ) 3 B.2 D.2 3

得 x-y+2=0. 又圆 x2+y2=4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 由勾股定理得弦长的一半为 4-2= 2, 所以所求弦长为 2 2. 2 = 2. 2

[解析] 由圆 C1 与圆 C2 相外切,可得 ?a+b?2+?-2+2?2=2+ 1=3,即 (a+b)2=9,根据基本 (均值 )不 等式可知,ab≤?
?a+b?2 9 ? = ,当且仅当 a=b 时等号成立.故选 C. 4 ? 2 ?

[题点发散 1] 把本例中的“外切”变为“内切”,求 ab 的最大 值. 两圆相切:注意是内切还是外切.
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解:由 C1 与 C2 内切,得

?a+b?2+?-2+2?2=1. 即(a+b)2=1,又 ab≤?
?a+b?2 1 ?= , 4 ? 2 ?

判断,一般不采用代数法. 2.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作 差得到.

当且仅当 a=b 时等号成立, 1 故 ab 的最大值为4. [题点发散 2] 的直线方程. 解:由题意得,把圆 C1,圆 C2 的方程都化为一般方程. 圆 C1:x +y -2ax+4y+a =0,① 圆 C2:x +y +2bx+4y+b +3=0,② 由②-①,得(2a+2b)x+3+b -a =0, 即(2a+2b)x+3+b2-a2=0 为所求公共弦所在直线方程. [ 题点发散 3] 将本例条件“外切”变为“若两圆有四条公切
2 2 2 2 2 2 2 2

把本例条件“外切”变为“相交”,求公共弦所在

1.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 答案:B

)

解析:两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d = 42+1= 17. ∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. 2.过两圆 x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0 的交点的圆 中面积最小的圆的方程为________. 3? ? 6? 4 ? 答案:?x+5?2+?y+5?2=5
? ? ? ? ?x2+y2+4x+y=-1,① ? 解析:由? 2 2 ? ?x +y +2x+2y+1=0,②

线”,试判断直线 x+y-1=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=1 的位置关系. 解:由两圆存在四条公切线,故两圆外离, 故 ?a+b?2+?-2+2?2>3. ∴(a+b)2>9,即 a+b>3 或 a+b<-3. |a+b-1| ∴圆心(a,b)到直线 x+y-1=0 的距离 d= >1, 2 ∴直线 x+y-1=0 与圆(x-a)2+(y-b)2=1 相离. [点石成金] 1.处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系

1 ①-②得 2x-y=0,代入①得 x=-5或-1, 2? ? 1 ∴两圆两个交点为?-5,-5?,(-1,-2). ? ?

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2? ? 1 过两交点的圆中,以?-5,-5?, (- 1,-2)为端点的线段为直径 ? ? 的圆时,面积最小. 6? ? 3 ∴该圆圆心为?-5,-5?, ? ?
? 1 ? ? 2 ? ?- +1?2+?- +2?2 ? 5 ? ? 5 ?

2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线 有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考 虑斜率不存在的情况,以防漏解. 真题演练集训

半径为

2
? ? ? ?

2 5 = 5 ,

1.[2016· 新课标全国卷Ⅱ]圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离为 1,则 a=( 4 A.-3 C. 3 答案:A ) 3 B.-4 D.2

3? ? 6? 4 ? 圆的方程为?x+5?2+?y+5?2=5.

[方法技巧] 1.圆的弦长的常用求法
?l? (1)几何法:求圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则?2?2=r2- ? ?

解析:由已知可得,圆的标准方程为 (x-1)2+(y-4)2=4,故该圆 的圆心为(1,4),由点到直线的距离公式得 d= 4 3,故选 A. 2.[2015· 新课标全国卷Ⅱ]过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A.2 6 C.4 6 答案:C 解析:设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ) B.8 D.10 |a+4-1| =1,解得 a=- a2+1

d2; (2)代数方法:运用根与系数的关系及弦长公式:
2 2 |AB|= 1+k2|x1-x2|= ?1+k ?[?x1+x2? -4x1x2].

2 .两圆的位置关系与公切线的条数:①内含: 0 条;②内切: 1 条;③相交:2 条;④外切:3 条;⑤外离:4 条. 3.当两圆相交时,两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得公共弦 所在直线的方程. [易错防范] 1.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否

在圆上,然后设出切线方程.注意:斜率不存在的情形.
9

则?4D+2E+F+20=0,

?D+3E+F+10=0, ?

∴ |AC|2=36+4=40. 又 r=2,∴ |AB|2=40-4=36. ∴ |AB|=6. 4.[2016· 新课标全国卷Ⅲ]已知直线 l:mx+y+3m- 3=0 与圆 x2 +y2=12 交于 A,B 两点,过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两 点.若|AB|=2 3,则|CD|=________.

? ?D-7E+F+50=0,

D=-2, ? ? 解得?E=4, ? ?F=-20. ∴ 圆的方程为 x +y -2x+4y-20=0. 令 x=0,得 y=-2+2 6或 y=-2-2 6, ∴ M(0,-2+2 6),N(0,-2-2 6)或 M(0,-2-2 6),N(0, -2+2 6),∴ |MN|=4 6,故选 C. 3.[2015· 重庆卷]已知直线 l:x+ay-1=0(a∈R)是圆 C:x2+y2- 4x-2y+1=0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( A.2 C.6 答案:C 解析:∵直线 x+ay-1=0 是圆 C:x2+y2-4x-2y+1=0 的对称 轴, ∴ 圆心 C(2,1)在直线 x+ay-1=0 上, ∴ 2+a-1=0,∴ a=-1, ∴ A(-4,-1). ) B.4 2 D.2 10
2 2

答案:4 解析:设圆心到直线 l:mx+y+3m- 3=0 的距离为 d,则弦长 |AB|=2 12-d2=2 3,得 d=3,即 |3m- 3| 3 =3,解得 m=- 3 ,则直 2 m +1

|AB| 线 l:x- 3y+6=0,数形结合可得|CD|=cos 30° =4. 5.[2015· 江苏卷]在平面直角坐标系 xOy 中,以点(1,0)为圆心且与 直线 mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准 方程为__________________. 答案:(x-1)2+y2=2 解析:直线 mx-y-2m-1=0 经过定点(2,-1). 当圆与直线相切于点(2,-1)时,圆的半径最大,此时半径 r 满足 r2=(1-2)2+(0+1)2=2. 课外拓展阅读 圆与线性规划的综合应用

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[典例]

2x-y+2≥0, ? ? 如果点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ? ?x+y-2≤0

此时垂足(-1,0)在满足条件的平面区域内, 上,点 Q 在曲线 x2 故|PQ|的最小值为 5-1. [答案] 方法点睛 本题考查线性规划及圆、点到直线的距离等知识,并考查考生综合 应用知识解决问题的能力.本题的突出特点就是将圆与线性规划问题有 机地结合起来,为我们展现了数学知识相互交汇的新天地,求解时既要 注意使用线性规划的基本思想,又要利用圆上各点的特殊性,实际上是 上,画出点 P 所在的 对数形结合思想的提升,即利用线性或非线性函数的几何意义,通过作 图来解决最值问题. 5-1

+(y+2)2=1 上,那么|PQ|的最小值为________. [审题视角] 求解本题应先画出点 P 所在的平面区域,再画出点 Q 所在的圆,最后利用几何意义将问题转化为圆上的点到定直线的距离的 最值问题,即可求出|PQ|的最小值. 2x-y+2≥0, ? ? 由点 P 在平面区域?x-2y+1≤0, ?x+y-2≤0 ?

[解析]

平面区域. 由点 Q 在圆 x +(y+2) =1 上,画出点 Q 所在的圆,如图所示.
2 2

课时跟踪检测(五十)
[高考基础题型得分练] 1.[2017· 浙江温州十校联考]对任意的实数 k,直线 y=kx-1 与圆 C:x2+y2-2x-2=0 的位置关系是( A.相离 B.相切 )

由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离减去半径 1. 又圆心(0,-2)到直线 x-2y+1=0 的距离为 |0-2×?-1?+1| = 5, 12+22
11

C.相交 D.以上三个选项均有可能 答案:C 解析:直线 y=kx-1 恒经过点 A(0,-1),圆 x2+y2-2x-2=0 的 圆心为 C(1,0),半径为 3,而|AC|= 2< 3,故直线 y=kx-1 与圆 x2

+y2-2x-2=0 相交. 2.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度 为 4,则实数 a 的值是( A.-2 C.-6 答案:B 解析:将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆 心为(-1,1),半径 r= 2-a, |-1+1+2| 圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= = 2, 2 故 r -d =4,即 2-a-2=4,所以 a=-4,故选 B. 3.[2017· 辽宁大连期末]圆 x +y +2y-3=0 被直线 x+y-k=0 分 成两段圆弧,且较短弧长与较长弧长之比为 1∶3,则 k=( A. 2-1 或- 2-1 C.1 或- 2 答案:B 解析:由题意知,圆的标准方程为 x2+(y+1)2=4. 较短弧所对圆周角是 90° , 2 所以圆心(0,-1)到直线 x+y-k=0 的距离为 2 r= 2. |1+k| 即 = 2,解得 k=1 或-3. 2
12 2 2 2 2

4.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m =( ) A.21 B.-4 D.-8 C.9 答案:C 解析:圆 C1 的圆心 C1(0,0),半径 r1=1, 圆 C2 的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m, 所以圆心 C2(3,4),半径 r2= 25-m, 从而|C1C2|= 32+42=5. 由两圆外切,得|C1C2|=r1+r2,即 1+ 25-m=5,解得 m=9,故 选 C. 5 . [2017· 江西南昌模拟 ] 已知过定点 P(2,0) 的直线 l 与曲线 y = 2-x2相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 S△AOB=1 时,直线 l 的倾 斜角为( ) B.135° D.不存在 ) B.19 D.-11

)

B.1 或-3 D. 2

A.150° C.120° 答案:A

1 解析:由于 S△AOB=2× 2× 2sin ∠AOB=1, π ∴sin ∠AOB=1,∴∠AOB=2, ∴点 O 到直线 l 的距离 OM 为 1,

而 OP=2,OM=1,在直角△OMP 中,∠OPM=30° , ∴直线 l 的倾斜角为 150° ,故选 A. 6.[2017· 山东青岛一模]过点 P(1, 3)作圆 O:x2+y2=1 的两条切 线,切点分别为 A 和 B,则弦长|AB|=( A. 3 C. 2 答案:A B.2 D.4 )

∴|AB|=2|OA|sin∠AOP= 3. 7.若 a2+b2=2c2(c≠0),则直线 ax+by+c=0 被圆 x2+y2=1 所截 得的弦长为( 1 A.2 2 C. 2 答案:D 解析: 因为圆心 (0,0)到直线 ax+ by+ c = 0 的距离 d = |c| 2 =2, 2|c| 因此根据直角三角形勾股定理,弦长的一半就等于 1-?
? 2?2 ?= ?2 ?

) B.1 D. 2

|c| = a +b2
2

解析: 如图所示,∵PA,PB 分别为圆 O:x2+y2=1 的切线, ∴AB⊥OP. ∵P(1, 3),O(0,0), ∴|OP|= 1+3=2. 又∵|OA|=1, 1 在 Rt△APO 中,cos∠AOP=2, ∴∠AOP=60° ,
13

2 2 ,所以弦长为 2. 8.直线 l 与圆 x2+y2+2x-4y+a=0(a<3)相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点为(-2,3),则直线 l 的方程为( A.x+y-3=0 C.x-y+5=0 答案:C 解析:设直线的斜率为 k,又弦 AB 的中点为(-2,3), 所以直线 l 的方程为 kx-y+2k+3=0, 由 x2+y2+2x-4y+a=0 得圆的圆心坐标为(-1,2), )

B.x+y-1=0 D.x-y-5=0

所以圆心到直线的距离为 2, |-k-2+2k+3| 所以 = 2,解得 k=1, k2+1 所以直线 l 的方程为 x-y+5=0. 9.[2017· 河北唐山模拟]过点 A(3,1)的直线 l 与圆 C:x2+y2-4y-1 → → =0 相切于点 B,则CA· CB=________. 答案:5 解析:解法一:由已知得,圆心 C(0,2),半径 r= 5, △ABC 是直角三角形,|AC|= ?3-0?2+?1-2?2= 10,|BC|= 5, BC 5 ∴cos∠ACB=AC= , 10 → → → → ∴CA· CB=|CA||CB|cos∠ACB=5. → → → → → →2 → → 解法二:CA· CB=(CB+BA)· CB=CB +BA· CB, 由于|BC|= 5,AB⊥BC, → → 因此CA· CB=5+0=5. 10.已知直线 ax+y-2=0 与圆心为 C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4 相 交于 A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数 a=________. 答案:4± 15 解析:依题意,圆 C 的半径是 2,圆心 C(1,a)到直线 ax+y-2=0 3 的距离等于 2 ×2= 3,
14

|a+a-2| 于是有 = 3,即 a2-8a+1=0,解得 a=4± 15. 2 a +1 11.若曲线 C1:x2+y2-2x=0 与曲线 C2:y(y-mx-m)=0 有四个 不同的交点,则实数 m 的取值范围是为________. 答案:?-
? ?

3 ? ? 3? ?∪?0, ? , 0 3 3? ? ?

解析:整理曲线 C1 的方程得,(x-1)2+y2=1,故曲线 C1 为以点 C1(1,0)为圆心,1 为半径的圆; 曲线 C2 则表示两条直线,即 x 轴与直线 l:y=m(x+1),显然 x 轴 与圆 C1 有两个交点,依题意知直线 l 与圆相交,故有圆心 C1 到直线 l
? |m?1+1?-0| 3 3? 的距离 d= <r=1,解得 m∈?- , ?, 2 3 3? ? m +1

又当 m=0 时,直线 l 与 x 轴重合,此时只有两个交点,应舍去. 故 m∈?-
? ?

3 ? ? 3? ?∪?0, ?. , 0 3 3? ? ?

12.过点 M(1,2)的直线 l 与圆 C:(x-3)2+(y-4)2=25 交于 A,B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线 l 的方程是________. 答案:x+y-3=0 解析:依题意得,当∠ACB 最小时,圆心 C 到直线 l 的距离达到最 大, 此时直线 l 与直线 CM 垂直,又直线 CM 的斜率为 1, 因此所求直线 l 的方程是 y-2=-(x-1),即 x+y-3=0. [冲刺名校能力提升练]

1.[2017· 辽宁沈阳一模]直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相 切,则 a 的值为( A.3 C.3 或-5 答案:C
? ?y=x+4, 解析:解法一:联立? 2 2 ??x-a? +?y-3? =8, ?

-1,且最长弦与最短弦垂直, π ∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为 1,即倾斜角是4. 3.设直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于 A,B 两点,与圆(x-5)2+y2= r2(r>0)相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r 的取值范围是( A.(1,3) C.(2,3) 答案:D 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),
2 ? ?y1=4x1, 则? 2 ?y2=4x2, ?

) B.2 2 D.-3 或 5

) B.(1,4) D.(2,4)

消去 y 可得,2x2-(2a-2)x+a2-7=0, 则由题意可得 Δ=[-(2a-2)]2-4×2×(a2-7)=0, 整理可得 a2+2a-15=0,解得 a=3 或-5. 解法二:因为(x-a) +(y-3) =8 的圆心为(a,3),半径为 2 2,所 以由直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切知,圆心到直线的距离 等于半径, |a-3+4| 所以 2 =2 2,即|a+1|=4,解得 a=3 或-5. 1 +?-1?2 2.[2017· 新疆乌鲁木齐一诊]在圆 x2+y2+2x-4y=0 内,过点(0,1) 的最短弦所在直线的倾斜角是( π A.6 π C.3 答案:B 解析:由题意知,圆心为 (-1,2),过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为
15 2 2

两式相减,得(y1+y2)· (y1-y2)=4(x1-x2), 当直线 l 的斜率不存在时,符合条件的直线 l 必有两条; 当直线 l 的斜率 k 存在时,如图,x1≠x2,

) π B.4 3π D. 4

解析:过 O 作 OP 垂直于直线 x-2y+5=0, 过 P 作圆 O 的切线 PA,连接 OA, 易知此时|PA|的值最小. 由点到直线的距离公式,得 |OP|= |1×0-2×0+5| = 5. 1+22

又|OA|=1,所以|PA|= |OP|2-|OA|2=2. 5.如图,已知以点 A(-1,2)为圆心的圆与直线 l1:x+2y+7=0 相 y1+y2 y1-y2 则有 2 · =2,即 y0· k=2, x1-x2 y0-0 由 CM⊥AB,得 k· =-1, x0-5 y0 · k=5-x0,2=5-x0,x0=3, 即 M 必在直线 x=3 上,将 x=3 代入 y2=4x,得 y2=12, ∴-2 3<y0<2 3, ∵点 M 在圆上,
2 2 2 ∴(x0-5)2+y2 0=r ,r =y0+4<12+4=16, 2 又 y2 0+4>4,∴4<r <16,∴2<r<4.故选 D.

切.过点 B(-2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M,N 两点,Q 是 MN 的中 点,直线 l 与 l1 相交于点 P.

(1)求圆 A 的方程; (2)当|MN|=2 19时,求直线 l 的方程. 解:(1)设圆 A 的半径为 R. 由于圆 A 与直线 l1:x+2y+7=0 相切, ∴R=
16

4.[2017· 云南名校联考]已知圆 O:x2+y2=1,P 为直线 x-2y+5 =0 上的动点,过点 P 作圆 O 的一条切线,切点为 A,则|PA|的最小值为 ________. 答案:2

|-1+4+7| =2 5. 5

∴圆 A 的方程为(x+1)2+(y-2)2=20. (2)①当直线 l 与 x 轴垂直时,易知 x=-2 符合题意; ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x+2). 即 kx-y+2k=0. 连接 AQ,则 AQ⊥MN.

解:(1)由条件知点 M 在圆 O 上, 所以 1+a2=4,则 a=± 3. 3 当 a= 3时,点 M 为(1, 3),kOM= 3,k 切=- 3 , 3 此时切线方程为 y- 3=- 3 (x-1), 即 x+ 3y-4=0, 3 当 a=- 3时,点 M 为(1,- 3),kOM=- 3,k 切= 3 , 3 此时切线方程为 y+ 3= 3 (x-1), 即 x- 3y-4=0. 所以所求的切线方程为 x+ 3y-4=0 或 x- 3y-4=0.

∵|MN|=2 19,∴|AQ|= 20-19=1, 则由|AQ|= |k-2| 3 =1,得 k=4, 2 k +1

(2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 d1,d2(d1,d2≥0),
2 2 则 d2 1+d2=OM =3. 2 又有|AC|=2 4-d2 1,|BD|=2 4-d2, 2 所以|AC|+|BD|=2 4-d2 1+2 4-d2. 2 2 2 则(|AC|+|BD|)2=4×(4-d2 1+4-d2+2 4-d1· 4-d2) 2 2 2 =4×[5+2 16-4?d2 1+d2?+d1d2] 2 =4×(5+2 4+d2 1d2). 2 因为 2d1d2≤d2 1+d2=3,

∴直线 l:3x-4y+6=0. 故直线 l 的方程为 x=-2 或 3x-4y+6=0. 6.已知圆 O:x +y =4 和点 M(1,a). (1)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求 出切线方程; (2)若 a= 2,过点 M 作圆 O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC| +|BD|的最大值.
17 2 2

9 2 2 所以 d1 d2≤4,

6 当且仅当 d1=d2= 2 时等号成立, 5 2 所以 4+d2 1d2≤ , 2 5? ? 所以(|AC|+|BD|)2≤4×?5+2×2?=40.
? ?

所以|AC|+|BD|≤2 10, 即|AC|+|BD|的最大值为 2 10.

18


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