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高中数学人教A版选修1-2课件:章末归纳总结3_图文

成才之路 ·数学 人教A版 ·选修1-1 1-2 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第三章 数系的扩充与复数的引入 第三章 章末归纳总结 1 自主预习学案 2 典例探究学案 自主预习学案 本章在小学、初中和高中所学知识的基础上,介绍复数的 概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容. 本章共分两大节.第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”.第二大节是“复数的运算”.在第一大节中,首先简要 地展示了数系的扩充过程,回顾了数的发展,并指出当数集扩 充到实数集时,由于负数不能开平方,因而大量代数方程无法 求解,于是就产生了要开拓新数集的要求,从而自然地引入虚 数i,复数由此而产生,接着,介绍了复数的有关概念和复数的 几何表示. 主要涉及的概念有:复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实 部、虚部、复数相等、复数的模等.在第二大节中,介绍了复 数代数形式的加、减、乘、除的运算法则,同时指出了复数加 法、减法的几何意义,复平面上两点间的距离公式,沟通了 “数与形”之间的联系,提供了用“形”来帮助处理“数”和 用“数”来帮助处理“形”的工具. 本章有两条主线:一条主线是以复数代数形式来表示复数 的概念.规定了加、乘两种运算法则,然后把减、除法分别定 义为加、乘法的逆运算来推导出其运算法则.利用复数的四则 运算,可把复数代数形式 a + bi 看成由 a 和 bi 两个非同类项组 成,这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用不误,于 是复数就与多项式、方程联系起来,从而能帮助解决一些多项 式中的因式分解、解方程等数学问题. 另一条主线是用复平面上的点或向量来描述复数.由此引 出了复数运算的几何意义,使复数在平面几何、解析几何中得 到广泛应用.这两条主线在教材中是交替安排的,这样能加强 学生的“形与数”结合的观念,使学生在看到代数形式时就能 联想到几何图形,看到几何图形就能联想到对应的复数.有利 于学生深入理解复数概念,开阔学生的思路,培养和提高用 “数形结合”观点来处理问题的能力. 一、复数的概念 1.虚数单位 i:(1)i2=-1;(2)i 和实数在一起,服从实数 的运算律. 2.代数形式:a+bi(a、b∈R),其中 a 叫实部,b 叫虚部. 3.复数的分类 复数 z=a+bi(a、b∈R)中, z 是实数?b=0, z ? ?a=0 是纯虚数?? ? ?b≠0 z 是虚数?b≠0 . 4.a+bi 与 a-bi(a、b∈R)互为共轭复数 二、复数相等的条件 a+bi=c+di(a、b、c、d∈R)?a=c 且 b=d. 特别 a+bi=0(a、b∈R)?a=0 且 b=0. 三、复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实 轴,y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数,除了原点外,虚轴 上的点都表示纯虚数.原点对应复数 0,建立复平面后,复平 面内的点与复数集构成一一对应关系.以原点 O 为起点,复数 → z 在复平面内的对应点 Z 为终点的向量OZ, 与复数 z 一一对应, → OZ的模叫做复数 z 的模. 四、运算法则 z1=a+bi,z2=c+di,(a、b、c、d∈R). 1.z1± z2=(a± c)+(b± d)i; 2.z1· z2=(ac-bd)+(ad+bc)i; z1 ac+bd bc-ad 3.z = 2 + i. c +d2 c2+d2 2 1. 复数代数形式 z = a + bi 中, a 、 b∈R 应用复数相等的条 件,必须先化成代数形式. 2 .复数表示各类数的条件的前提必须是代数形式 z = a + bi(a、b∈R),z为纯虚数的条件为a=0且b≠0,注意虚数与纯虚 数的区别. 3 .复数运算的法则,不要死记硬背,加、减可类比合并 同类项,乘法可类比多项式乘法,除法可类比分母有理化. 4.a2≥0是在实数范围内的性质,在复数范围内z2≥0不一定 成立,|z|2≠z2. 5 .复数与平面向量联系时,必须是以原点为始点的向 量. 6.不全为实数的两个复数不能比较大小. 7.复平面的虚轴包括原点. 典例探究学案 复数的概念 熟练掌握复数的代数形式,复数的相等及复数表示各类数 的条件是熟练解答复数题的前提. 已知复数z=m(m-1)+(m2+2m-3)i 当m取何实数值时,复数z是: (1)零; (2)纯虚数; (3)z=2+5i. ? ?m?m-1?=0 (1)由题意可得? 2 ? ?m +2m-3=0 [解析] , ? ?m=0或m=1 即? ? ?m=-3或m=1 ,∴m=1. 所以当 m=1 时,复数 z 为零. ? ?m?m-1?=0 (2)由题意可得? 2 ? ?m +2m-3≠0 ? ?m=0或m=1 解得? ? ?m≠-3且m≠1 , ,所以 m=0. 所以 m=0 时,z 为纯虚数. ? ?m?m-1?=2 (3)由题意可得? 2 ? ?m +2m-3=5 ? ?m=2或m=-1 解得? ? ?m=-4或m=2 , ,∴m=2. 所以当 m=2 时,复数 z 为 2+5i. 复数的运算 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、 除,加减法是实部与实部、虚部与虚部分别相加减,而乘法类 比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1. 1+i 4 1 3 18 ( ) +(-2+ 2 i) =( 1-i A.2i C.1+i B.-1+i D.2 ) 1+i 2 2 1 3 3 [解析] ∵( ) =i =-1,(-2+ 2 i) =1, 1-i 1+i 4 1 3 18 ∴( ) +(-2+ 2 i) 1-i 1+i 2 2 1 3 36 =[( ) ] +[(-2+ 2 i) ] =2. 1-i [答案] D 2 若 z= ,则 z2 012+z2 016 的值是__________. 1+i 2?1-i?

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