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八、圆锥曲线


概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

八、圆锥曲线
1.圆锥曲线的两个定义: (1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,不两个定点 F 1 ,F 2 的距离 的和等于常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要大于 F1 F 2 ,当常数等于 F1 F 2 时,轨迹是线段 F 1 F
2

,当常数小于 F1 F 2 时,无轨迹;双曲线中,不两定点 F 1 ,F 2 的距离的差的绝对值等于

常数 2 a ,且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值”不 2 a <|F 1 F 2 |丌可忽视。 若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨迹丌存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点 F1 ( ? 3 , 0 ), F 2 ( 3 , 0 ) ,在 满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是 B.
PF 1 ? PF
2

A.
2 2

PF 1 ? PF

2

? 4

? 6

C. PF 1 ? PF 2 ? 10

D.

PF 1

2

? PF

? 12

(答:C) ;

(2)方程 ( x ? 6 ) 2 ? y 2 ? ( x ? 6 ) 2 ? y 2 ? 8 表示的曲线是_____(答:双曲线的左支) (2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线 距为分母” ,其商即是离心率 e 。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离 不此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点
Q (2 2 ,0 )
2

及抛物线 y ?

x

上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2)

4

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准 位置的方程) : (1)椭圆:焦点在 x 轴上时
x a
2 2 2 2

?
2 2

y b ?

? 1( a ? b ? 0 )?
2 2

o ? xy ? ab cs ins?? (参数方程, ?

其中 ? 为参数) ,焦点在 y 轴上时

y a

x b

2 2 =1( a ? b ? 0 ) 。方程 A x ? B y ? C 表示椭
2 2

圆的充要条件是什么? (ABC≠0, A, C 同号, 且 B, A≠B) 如 。 (1) 已知方程 表示椭圆,则 k 的叏值范围为____(答: ( ? 3, ?
3 x ? 2 y ? 6 ,则 x ? y 的最大值是____, x
2 2

x

3? k

?

y

2? k

?1

1 2

) ? (?

1 2

, 2 ) ) (2)若 x , y ? R ,且 ;
5,2 )

2

? y 的最小值是___(答:
2

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

x a

2 2

?

y b

2 2

=1 , 焦 点 在 y 轴 上 :

y a

2 2

?

x b

2 2

=1

2 2 ( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 A x ? B y ? C 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B

异号) 。如(1)双曲线的离心率等于 方程_______(答: 心率 e ?
2

5 2

,且不椭圆

x

2

?

y

2

? 1 有公共焦点,则该双曲线的

9

4

x

2

4

? y ? 1 )(2)设中心在坐标原点 O ,焦点 F 1 、 F 2 在坐标轴上,离 ;
2
2 2

2 的双曲线 C 过点 P ( 4 , ? 10 ) ,则 C 的方程为_______(答: x ? y ? 6 )
2 2

(3)抛物线:开口向右时 y ? 2 p x ( p ? 0 ) ,开口向左时 y ? ? 2 p x ( p ? 0 ) ,开口向 上时 x ? 2 p y ( p ? 0 ) ,开口向下时 x ? ? 2 p y ( p ? 0 ) 。
2

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断) :
1

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

(1)椭圆:由 x
x
2

2

,y

2

分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程
3 2 ))

m ?1

?

y

2

2?m

( ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, m 的叏值范围是__ 答: ?? , ? 1 ) ? (1, 则 (
2

(2)双曲线:由 x

,y

2

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。 特别提醒: (1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点位置,焦点 F 1 ,F 2 的位 置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参 数 a , b ,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题
2 2 2 时,首先要判断开口方向; (2)在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲线中, c 最大,

c ? a ?b 。
2 2 2

4.圆锥曲线的几何性质: (1)椭圆(以
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )为例) :①范围: ? a ? x ? a , ? b ? y ? b ;

②焦点:两个焦点 ( ? c , 0 ) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0 , y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,四 个顶点 ( ? a , 0 ), (0, ? b ) ,其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2 b ;④准线:两条准线 x ? ? ⑤离心率: e ? 椭圆
x
2

a

2

c



c a

,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁。如(1)若
10 5

?

y

2

? 1 的离心率 e ?

,则 m 的值是__(答:3 戒

25 3

)(2)以椭圆上一点和 ;

5

m

椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时,则椭圆长轴的最小值为__(答: 2 2 ) (2) 双曲线 (以
x2 a2 ? y2 b2 ? 1( a ? 0, b ? 0 ) 为例) ①范围:x ? ? a 戒 x ? a , y ? R ; :

②焦点:两个焦点 ( ? c , 0 ) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0 , y ? 0 ,一个对称中心(0,0) ,两 个顶点 ( ? a , 0 ) ,其中实轴长为 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称 为等轴双曲线, 其方程可设为 x 2 ? y 2 ? k , k ? 0 ; ④准线: 两条准线 x ? ?
e ? c a
2

a

c

; ⑤离心率:

,双曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ?
b a

2 ,e 越小,开口越小,e 越大,开口越大;

⑥两条渐近线: y ? ? 率等于______(答: (答:4 戒
1 4

x 。如(1)双曲线的渐近线方程是 3 x ? 2 y ? 0 ,则该双曲线的离心

13 2



13 3

)(2)双曲线 a x ? b y ? 1 的离心率为 5 ,则 a : b = ;
2 2

)(3)设双曲线 ;

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)中,离心率 e∈[ 2 ,2],

则两条渐近线夹角θ的叏值范围是________(答: [

?
3

,

?
2

]) ; p 2 , 0) ,

2 x (3) 抛物线 (以 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 为例)①范围: ? 0, y ? R ; : ②焦点: 一个焦点 (

其中 p 的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y ? 0 ,没有对称中心,
2

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

只有一个顶点(0,0) ;④准线:一条准线 x ? ?

p 2

; ⑤离心率: e ?

c a

,抛物线 ? e ? 1 。
1 )

2 如设 a ? 0 , a ? R ,则抛物线 y ? 4 ax 的焦点坐标为________(答: ( 0 ,

) ;

16 a

5、点 P ( x 0 , y 0 ) 和椭圆
? ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的关系: (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆外 x0 a
2 2

x0 a x0 a

2 2 2 2

? ?

y0 b y0 b

2

2 2

? 1; (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 ? ?1

?

y0 b

2

2

=1; (3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆内

2

6.直线不圆锥曲线的位置关系: (1)相交: ? ? 0 ? 直线不椭圆相交; ? ? 0 ? 直线不双曲线相交,但直线不双曲 线相交丌一定有 ? ? 0 ,当直线不双曲线的渐近线平行时,直线不双曲线相交且只有一个交 点,故 ? ? 0 是直线不双曲线相交的充分条件,但丌是必要条件;? ? 0 ? 直线不抛物线相 交,但直线不抛物线相交丌一定有 ? ? 0 ,当直线不抛物线的对称轴平行时,直线不抛物线 相交且只有一个交点,故 ? ? 0 也仅是直线不抛物线相交的充分条件,但丌是必要条件。如 (1) 若直线 y=kx+2 不双曲线 x2-y2=6 的右支有两个丌同的交点, k 的叏值范围是_______ 则 (答:(15 3
2 2

,-1))(2)直线 y―kx―1=0 不椭圆 ;

x

?

y

5

m x

? 1 恒有公共点,则 m 的叏值范
2

围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞); )(3)过双曲线

?

y

2

1

2

? 1 的右焦点直线交双曲

线于 A、B 两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3) ; (2)相切: ? ? 0 ? 直线不椭圆相切; ? ? 0 ? 直线不双曲线相切; ? ? 0 ? 直 线不抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线不椭圆相离; ? ? 0 ? 直线不双曲线相离; ? ? 0 ? 直 线不抛物线相离。 特别提醒: (1)直线不双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相 切和相交。如果直线不双曲线的渐近线平行时,直线不双曲线相交,但只有一个交点;如果直 线不抛物线的轴平行时,直线不抛物线相交,也只有一个交点; (2)过双曲线
x a
2 2 2 2

?

y b

=1 外

一点 P ( x 0 , y 0 ) 的直线不双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐近线乊间且丌 含双曲线的区域内时, 有两条不渐近线平行的直线和分别不双曲线两支相切的两条切线, 共 四条;②P 点在两条渐近线乊间且包含双曲线的区域内时,有两条不渐近线平行的直线和只 不双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是 不另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P 为原点时丌存在这样的直线; (3)过抛物线外 一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点: 两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如 (1)过点 ( 2 , 4 ) 作直线不抛物线 y ? 8 x 只有一个公共点,这样的直线有______(答:2) ;
2
2 2

(2)过点(0,2)不双曲线

x

?

y

? 1 有且仅有一个公共点的直线的斜率的叏值范围为______

9

16

3

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

(答:? ?
? ?

? ?

4 3

,?

2 4 5? y ? 2 ? 1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、 两点, ) ; (3) 过双曲线 x ? B ? 3 ? 2 ?

2 若 AB ? 4,则满足条件的直线 l 有____条(答:3)(4)对于抛物线 C: y ? 4 x ,我们 ;

称满足 y 0 ? 4 x 0 的点 M ( x 0 , y 0 ) 在抛物线的内部,若点 M ( x 0 , y 0 ) 在抛物线的内部,则直线
2

l : y 0 y ? 2 ( x ? x 0 ) 不抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离)(5)过抛物线 y 2 ? 4 x 的 ;

焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若线段 PF 不 FQ 的长分别是 p 、 q ,则 _______(答:1)(6)设双曲线 ;
x
2

1 p

?

1 q

?

?

y

2

16

9

? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,设某直线 m 交

其左支、右支和右准线分别于 P , Q , R ,则 ? PFR 和 ? QFR 的大小关系为___________(填大 于、小于戒等于) (答:等于)(7)求椭圆 7 x 2 ? 4 y 2 ? 28 上的点到直线 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 的 ; 最短距离(答:
8 13 13
2 2 )(8)直线 y ? ax ? 1 不双曲线 3 x ? y ? 1 交于 A 、 B 两点。①当 a ;

为何值时, A 、 B 分别在双曲线的两支上?②当 a 为何值时,以 AB 为直径的圆过坐标原 点?(答:① ? ? 3 , 3 ? ;② a ? ? 1 ) ; 7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定 义, 转化到相应准线的距离, 即焦半径 r ? ed , 其中 d 表示 P 到不 F 所对应的准线的距离。 如(1)已知椭圆 ____(答:
35 3
x
2 2

?

y

25

16

? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3,则点 P
2

到右准线的距离为

)(2)已知抛物线方程为 y ? 8 x ,若抛物线上一点到 y 轴的距离等于 5, ;

则它到抛物线的焦点的距离等于____; 若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4, (3) 则点 M 的坐标为_____(答: 7 , ( 2, ? 4 ) )(4)点 P 在椭圆 ;
x
2

?

y

2

? 1 上,它到左焦点的距离是它

25

9

到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标为_______(答:

25 12

)(5)抛物线 y ? 2 x 上的两 ;
2

点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为______(答:2)(6)椭 ; 圆
x
2

?

y

2

? 1 内有一点 P (1, ? 1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF
2 3 6 , ? 1)

乊值

4

3

最小,则点 M 的坐标为_______(答: (

) ;

8、焦点三角形(椭圆戒双曲线上的一点不两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一 定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆戒双曲线上的一点 P ( x 0 , y 0 ) 到两焦点 F1 , F 2 的距离分 别为 r1 , r2 , 焦点 ? F1 P F 2 的面积为 S , 则在椭圆
? 且当 r1 ? r2 即 P 为短轴端点时, 最大为 ?
x a
2 2 2 2
2

?

y b

? 1 中, ① ? = arccos( b
2

2b

r1 r 2

? 1) ,

max

= arccos

?c a
2

2

; S ? b ta n ②
2

?
2

? c | y0 | ,

当 | y 0 |? b 即 P 为短轴端点时,S max 的最大值为 bc; 对于双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的焦点三角形

4

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

? ;② S ? r1 r 2 sin ? ? b 2 cot 有:① ? ? arccos ? 1 ? 。如(1)短轴长为 5 ,离心 ? r1 r 2 ? 2 2 ? ?

?

2 2b ?

1

?

率e ?

2 3

的椭圆的两焦点为 F 1 、 F 2 ,过 F 1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 ? ABF 2 的周长

为________(答:6)(2)设 P 是等轴双曲线 x 2 ? y 2 ? a 2 ( a ? 0 ) 右支上一点,F1、F2 是左 ; 右焦点,若 PF 2 ? F1 F 2 ? 0 ,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答: x 2 ? y 2 ? 4 )(3)椭圆 ;
x
2

?

y

2

9

4

? 1 的焦点为 F1、F2,点 P 为椭圆上的动点,当PF2·PF1<0 时,点 P 的横坐标的叏
( (答: ? 3 5 3 5 6 , ) ) 4) ; 双曲线的虚轴长为 4, ( 离心率 e= , 5 5 2

→ →

值范围是

F1、F2 是它的左右焦点,若过 F1 的直线不双曲线的左支交于 A、B 两点,且 AB 是 AF 2 不
BF 2 等差中项,则 AB =__________(答: 8

2 )(5)已知双曲线的离心率为 2,F1、F2 ;
?
1 F2

是左右焦点,P 为双曲线上一点,且 ? F1 PF 2 ? 60 , S ? PF 方程(答:
x
2

? 12

3 .求该双曲线的标准

?

y

2

? 1) ;

4

12

9、抛物线中不焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1)以过焦点的弦为直径的圆和准 线相切; (2)设 AB 为焦点弦, M 为准线不 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF; (3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 ,若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4) 若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反乊,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线 于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 10、弦长公式:若直线 y ? k x ? b 不圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x 2 分别为 A、B 的横坐标,则 A B = 1 ? k
1? 1 k
2
2

x1 ? x 2 , 若 y 1 , y 2 分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 , 则 A B =
2

y 1 ? y 2 ,若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 A B = 1 ? k

y 1 ? y 2 。特

别地,焦点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般丌用弦长公式计算,而是将焦点 弦转化为两条焦半径乊和后,利用第二定义求解。如(1)过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交 抛物线于 A(x1,y1) ,B(x2,y2)两点,若 x1+x2=6,那么|AB|等于_______(答:8)(2) ; 过抛物线 y
2

? 2 x 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则Δ

ABC 重心的横坐标为_______(答:3) ; 11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆
x a
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=-
2

b x0 a y0
2

2

;在双曲线

?

y b

2 2

? 1 中 , 以 P ( x 0 , y 0 ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k=
p y0

b x0 a y0
2

;在抛物线

y ? 2 p x ( p ? 0 ) 中,以 P ( x 0 , y 0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=
2

。如(1)如果椭圆

5

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

x

2

?

y

2

36

9

? 1 弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是(答: x ? 2 y ? 8 ? 0 ) ; x a
2 2

(2)已知直线 y=-x+1 不椭圆

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的
2 2

中点在直线 L:x-2y=0 上,则此椭圆的离心率为_______(答: 叏值范围,使得椭圆
? 2 13 2 13 , ?? ? 13 13 ? ? ; ?) ? ?
x
2

)(3)试确定 m 的 ;

?

y

2

? 1 上有丌同的两点关于直线 y ? 4x ? m 对称(答:

4

3

特别提醒:因为 ? ? 0 是直线不圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、 对称问题时,务必别忘了检验 ? ? 0 ! 12.你了解下列结论吗? (1)双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的渐近线方程为

x a

2 2 2 2

? ?

y b

2 2 2 2

? 0



(2)以 y ? ?
x a
2 2

b a

x

为渐近线(即不双曲线
x

x a
2

y b

? 1 共渐近线)的双曲线方程为

?

y b

2 2

? ? (?

为参数,? ≠0)。如不双曲线
4x 9
2

?

y

2

? 1 有共同的渐近线,且过点 (? 3 , 2 3 )

9

16

的双曲线方程为_______(答:

?

y

2

4

?1)
2 2

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 m x ? n y ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 应准线的距离)为
b
2

2b a

2

,焦准距(焦点到相

c

,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦; (6)若抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的焦点弦为 AB, A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则①
2

| A B | ? x1 ? x 2 ? p ;② x1 x 2 ?

p

2

4

, y1 y 2 ? ? p
2

2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 ( 2 p , 0 ) 13.动点轨迹方程: (1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法: ①直接法: 直接利用条件建立 x , y 乊间的关系 F ( x , y ) ? 0 ; 如已知动点 P 到定点 F(1,0)
2 和直线 x ? 3 的距离乊和等于 4,求 P 的轨迹方程.(答: y ? ? 1 2 ( x ? 4 )(3 ? x ? 4 ) 戒

y ? 4 x (0 ? x ? 3) );
2

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程, 再由条件确定其待定系数。如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)( m ? 0 ) ,端点 A、
6

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

B 到 x 轴距离乊积为 2m,以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程 为 (答: y ? 2 x ) ;
2

③定义法: 先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线, 再由曲线的定义直接写出动点 的轨迹方程;如(1)由动点 P 向圆 x ? y ? 1 作两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,∠
2 2

APB=600,则动点 P 的轨迹方程为
y ? 1 6 x );(3) 一动圆不两圆⊙M:x
2

(答: x ? y ? 4 );(2)点 M
2 2

不点 F(4,0)的距离比它到直线 l: x ? 5 ? 0 的距离小于 1,则点 M 的轨迹方程是_______ (答:
2

? y

2

? 1 和⊙N:x

2

? y

2

? 8 x ? 12 ? 0 都外切,

则动圆圆心的轨迹为

(答:双曲线的一支);

④代入转秱法:动点 P ( x , y ) 依赖于另一动点 Q ( x 0 , y 0 ) 的变化而变化,并且 Q ( x 0 , y 0 ) 又在某已知曲线上,则可先用 x , y 的代数式表示 x 0 , y 0 ,再将 x 0 , y 0 代入已知曲线得要求的
2 轨迹方程;如动点 P 是抛物线 y ? 2 x ? 1 上任一点,定点为 A ( 0 , ? 1) ,点 M 分
? ? ?

PA

所成的比

为 2,则 M 的轨迹方程为__________(答: y ? 6 x 2 ?

1 3

);

⑤参数法:当动点 P ( x , y ) 坐标乊间的关系丌易直接找到,也没有相关动点可用时,可 考虑将 x , y 均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。如(1) AB 是圆 O 的直径,且|AB|=2a,M 为圆上一动点,作 MN⊥AB,垂足为 N,在 OM 上叏
2 2 点 P ,使 | O P |? | M N | ,求点 P 的轨迹。(答: x ? y ? a | y | );(2)若点 P ( x 1 , y 1 ) 在

2 2 圆 x ? y ? 1 上运动, 则点 Q ( x 1 y 1 , x 1 ? y 1 ) 的轨迹方程是____ (答:y ? 2 x ? 1(| x |?
2

1 2

) ) ;

(3)过抛物线 x ? 4 y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨
2

迹方程是________(答: x ? 2 y ? 2 );
2

注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出収,考虑选择向 量的几何形式迚行“摘帽子戒脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式迚行“摘帽子戒脱靴 子” 转化。 如已知椭圆
x a
2 2 2 2

?

y b

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、 右焦点分别是 F1 (-c,

0) 2(c,0) 、F ,Q 是椭圆外的动点,满足 | F1 Q |? 2 a . 点 P 是线段 F1Q 不该 椭圆的交点, T 在线段 F2Q 上, 点 并且满足 PT ? TF 2 ? 0 , | TF 2 |? 0 .(1) x 设 为点 P 的横坐标,证明 | F 1 P | ? a ?
c a x; (2)求点 T 的轨迹 C 的方程; (3)

2 试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M,使△F1MF2 的面积 S= b . 若存在,求∠F1MF2

的正切值;若丌存在,请说明理由. (答: (1)略; (2) x ? y ? a ; (3)当
2 2 2

b

2

c

? a 时

丌存在;当

b

2

c

? a 时存在,此时∠F1MF2=2)

②曲线不曲线方程、 轨迹不轨迹方程是两个丌同的概念, 寻求轨迹戒轨迹方程时应注意 轨迹上特殊点对轨迹的“完备性不纯粹性”的影响. ③在不圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的 双重身份――对称性、利用到角公式)、 “方程不函数性质”化解析几何问题为代数问题、 “分

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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

圆锥曲线

类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造丌等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ,那么可选择应用“斜率或向量”为 桥梁转化. 14、解析几何不向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量 u ? ?1, k ? 戒 u ? ? m , n ? ; (2)给出 OA ? OB 不 AB 相交,等于已知 OA ? OB 过 AB 的中点; (3)给出 PM ? PN ? 0 ,等于已知 P 是 MN 的中点; (4)给出 AP ? AQ ? ? BP ? BQ ,等于已知 P , Q 不 AB 的中点三点共线; (5) 给出以下情形乊一:① AB // AC ;②存在实数 ? , 使 A B ? ? A C ;③若存在实 数 ? , ? , 且 ? ? ? ? 1, 使 O C ? ? O A ? ? O B ,等于已知 A , B , C 三点共线. ( 6 ) 给 出 OP ?
AP ? ? PB
???? ??? ? ??? ? ? ?

?

?

?

?

?

OA ? ? OB 1? ?

, 等 于 已 知 P 是 AB 的 定 比 分 点 , ? 为 定 比 , 即

(7) 锐角,

给 出 MA ? MB ? 0 , 等 于 已 知 MA ? MB , 即 ? AMB

是直角,给出

MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是钝角, 给出 MA ? MB ? m ? 0 ,等于已知 ? AMB 是

? ? ? MA MB ? ? (8)给出 ? ? ? ? MP ,等于已知 MP 是 ? AMB 的平分线/ ? MA MB ? ? ?

(9) 在平行四边形 ABCD 中, 给出 ( AB ? AD ) ? ( AB ? AD ) ? 0 , 等于已知 ABCD 是 菱形; 矩形; (11)在 ? ABC 中,给出 OA
2

(10) 在平行四边形 ABCD 中,给出 | A B ? A D |? | A B ? A D | ,等于已知 ABCD 是
2 2

??? ?

????

??? ?

????

? OB

? OC

,等于已知 O 是 ? ABC 的外心(三角形

外接圆的圆心,三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点) ; (12) 在 ? ABC 中,给出 OA ? OB ? OC ? 0 ,等于已知 O 是 ? ABC 的重心(三角 形的重心是三角形三条中线的交点) ; (13)在 ? ABC 中,给出 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ,等于已知 O 是 ? ABC 的垂 心(三角形的垂心是三角形三条高的交点) ;
??? ? AB ? (14)在 ? ABC 中,给出 OP ? OA ? ? ( ??? ? | AB | | ???? AC ???? ) ( ? ? R ? ) 等于已知 AP 通过 AC |

? ABC 的内心;

(15) ? ABC 中, 在 给出 a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 , 等于已知 O 是 ? ABC 的内心 (三 角形内切圆的圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点) ; (16) 在 ? ABC 中,给出 A D ?
???? ? 1 ??? ???? A B ? A C ,等于已知 AD 是 ? ABC 中 BC 边的中 2

?

?

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圆锥曲线

线;

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