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专题三 函数的基本性质2


专题三函数的基本性质(2)——奇偶性与周期性 一、奇偶性 1. 已知 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为 [a ? 1, 2a] ,则 a ? , b ? . 2. 已知 f ( x) ? x 5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 ( 则 f (2) =___________. f -2) =10, 3.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 f (?1) ? ()

A. 3 B. 1 C. ? 1 D. ? 3
4.已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1,若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=_______. 5.设函数 f ( x ) 是 R 上的奇函数,并且当 x ? [0, ??) 时, f ( x ) = x 1 ? 时, f ( x ) =________________.

?

3

x ,当 x ? (?? ,0)

?

x?m ,则常数 m ? , n ? . x ? nx ? 1 7. 已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数,则 y ? f (2 x ? 1) ? 1 的图像必过定点.
6. 定义在(-1,1)上的奇函数 f ( x) ?
2
2 8.已知 f ( x ) = loga ( ? x ? 1 ? x ) ? log 1 ( a

2 ? 1) ,则 f ( x )为( ) 1? x
D.非奇非偶函数

A.偶函数 9.已知函数 f(x)=ln(

B.奇函数

C.既是奇函数又是偶函数 )

1 1+9x2-3x)+1,则 f(lg 2)+flg =( 2

A.-1 B.0C.1 D.2 10. 已知函数 y= f ( x ) 是偶函数,y= f ( x ? 2) 在[0,2]上是单调减函数,则( ) A. f (0) < f (?1) < f (2) B. f (?1) < f (0) < f (2) C. f (?1) < f (2) < f (0) D. f (2) < f (?1) < f (0) 11. 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数, 又 f (?3) ? 0 , 则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集为() A. (?3, 0) ? (0,3) B. (??, ?3) ? (3, ??) C. (?3, 0) ? (3, ??) D. (??, ?3) ? (0,3) 12. 若函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 且在 ( ??, 0] 上是减函数,f (2) ? 0 , 则使得 f ( x ) <0 的 x 的取值范围是. 13.已知 f ( x) 是 R 上的偶函数, f (2) ? ?1 ,若 f ( x) 的图像向右平移 1 个单位长度得到一 个奇函数的图像,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2011 ) ?. 14.已知函数 f(x)是偶函数,且它在[0,+∞)上是减函数,若 f(lgx)>f(1),则 x 的取值范围是 __________. 15.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解集用区 间表示为________. 16.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增. 若实数 a 满足 f(log2a) 1 +f(log a)≤2f(1),则 a 的取值范围是( 2 1 A.[1,2] B.[0, ] 2 )

1 C.[ ,2]D.(0,2] 2

17. 设 f ( x) 是 R 上的偶函数, 且 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) , 对任意 x1 , x2 ? [0,3] , 当 x1 ? x 2

时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则( ) x1 ? x2 A. 函数 f ( x) 在 [6,9] 上是增函数 B. 函数 f ( x) 在 [6,12] 上是增函数 C. 方程 f ( x) ? 0 在 [?9,9] 上有 6 个不等的实根 D. 方程 f ( x) ? 0 在 [?9,9] 上有 4 个不等的实根

二、周期性 1.x 为实数,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 f(x)=x-[x]在 R 上为( A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 2.设函数 D(x)= ?

)

?1, x为有理数, 则下列结论错误的是_________. ?0, x为无理数,

①D(x)的值域为{0,1};②D(x)是偶函数; ③D(x)不是周期函数;④D(x)不是单调函数. 3.设 f(x)是以 2 为周期的函数,且当 x∈[1,3)时,f(x)=x-2,则 f(-1)=________. 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+6)=f(x), 当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时, f(x)=x. 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)=__________. 8.函数 f ( x) 对 x ? R 都有 f ( x ? 2) ?

1 ,若 f (1) ? ?5 ,则 f ( f (5)) ? 。 f ( x)

10.定义在 R 上的函数满足 f ( x) f ( x ? 2) ? 13 ,若 f (1) ? 2 ,则 f (99) ? ( ) A. 13 B. 2 C.

13 2

D.

2 13

5.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? A.-1 B.0

?1 ? x, x ? 0 ,则 f (2011 ) ? () ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
C.1 D.2

6.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,若方程 f(x)=m(m>0)在区间 ?? 8,8? 上有四个不同根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.

7. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1), 已知当 x∈[0,1] 时,f(x)=2x,则有 ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0. 其中所有正确命题的序号是________.

三、奇偶性、周期性与对称性

1.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2) = ? f ( x) ,则 f (6) ? () A.-1 B.0 C.1 D.2 2. 设 f ( x ) 是 (??, ??) 上的奇函数 , f ( x ? 2) = ? f ( x) ,当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) =x , 则 f (7.5)? . 3. 已知 f ( x ) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) = ? f ( x) ,当 x ? [0,1] 时 f ( x ) = 2 ? 1 ,则 f (?5) =______.
x

4. 若 f ( x) 是 R 上的周期为 5 的奇函数,且 f (1) ? 1, f (2) ? 2, 则 f (3) ? f (4) ? . 5. 设 f ( x) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 f ( x+ 1) ?

1 ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时 , f ( x) ? 2 x , 则 1 ? f ( x)

f (11.5) ? ( ) 1 1 A. ? 1 B. 1 C. D. ? 2 2 6.若 f ( x) 在 (4,??) 上为减函数,且对任意实数 x ,都有 f ( x ? 4) ? f (4 ? x) ,则() A. f (2) ? f (3) B. f (2) ? f (5) C. f (3) ? f (5) D. f (3) ? f (6)
7. 设函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? a 的图像关于 x ? 1 对称,则 a 的值为() A.1 B.2 C.3 D.-1 8.若函数 y ? f ( x ? 2) ? 2 为奇函数, 且函数 y ? f ( x) 的图像关于点 M (a, b) , 则 2a ? b ? . 9.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 y ? f ( x ?

1 ) 为偶函数,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2011 ) ?. 2

10. 已知函数 f ( x) 的图像关于点 (?

3 3 ,0) 对称,且满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) , 且 f (?1) ? 1 , 4 2 f (0) ? ?2 ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2011 ) ?.

11.已知 f ( x) 是 R 上的单调函数, f (? x) ? ? f ( x ? 4) ,当 x ? 2 时 f ( x) 单调递增,如果

x1 ? x2 ? 4 , ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? 0 ,对于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 的值推断正确的序号为.①恒小于 0 ;②恒大于 0 ;③可能为 0 ;④可正可负。
1 ? 2 的图像关于点 A(0,1) 对称. x (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? x ? ax,且 g ( x) 在区间 ?0,2? 上为减函数,
12.已知函数 f ( x) 的图像与函数 h( x) ? x ? 求实数 a 的取值范围.

13.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当 0≤x≤1 时,f(x)=x. (1)求 f(π)的值; (2)当-4≤x≤4 时,求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积;

(3)写出(-∞,+∞)内函数 f(x)的单调区间.

14.设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7] 上只有 f(1)=f(3)=0 (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论.


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