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2012全国各地高考数学试题分类汇编--解析几何(试卷型)_word版_已经排好版。

2012 全国各地高考数学试题分类汇编(解析几何)
1、(2012 安徽文)(本小题满分 13 分)如图, F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 + =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, a2 b2 A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°.

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值.

x2 y 2 2、 (2012 安徽理) (本小题满分 13 分) 如图, F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左, a b a2 右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? 于点 Q ; c (I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

3、(2012 北京理)( (本小题共 14 分)已知曲线 C:(5-m)x +(m-2)y =8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、 N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。

2

2

4、(2012 福建理)(本小题满分 13 分)如图,椭圆 E : 离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 , a 2 b2

1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 2 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q 。试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 P Q 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;
若不存在,说明理由。

1

5、 (2012 广东理)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 离心率 e ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q?0,2? 的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程; 3 2 2 (2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M ?m, n ? 使得直线 l : ? ny ? 1 与圆 O :x ? y ? 1 相交于不同的两点 A, B , mx 且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 y l B A

O

x

6、 (2012 广东理) (本小题满分 14 分) 点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 L:x= 数

25 的距离的比是常 4

4 。且直线 L / 为 4x-5y+40=0,设点 M 的运动轨迹为 C。求: (1)轨迹为 C 的方程; 5

(2)轨迹为 C 上是否存在一点,它到直线 L / 的距离最小?最小距离是多小?

7、 (2012 湖南文) (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为 圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
2 2

1 2

(2)设 P 是椭圆 E 上一点, 过 P 作两条斜率之积为 标

1 的直线 l1,l2,当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐 2

8、 (2012 湖北理) (本小题满分 13 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记 点 M 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N ,直 线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值; 若不存在,请说明理由.

2

9、 (2012 湖南理) (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在圆 C2: x-5) +y =9 外, ( 且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)( y0 ? ?3 )为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C, D.证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.

2

2

10、 (2012 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2

F1 (?c,0),F2 (c,0) ,已知点 (1, e) 和 (e,

3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P, (i)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF 的斜率;(ii)求证: PF ? PF2 是定值 1 1 2
A

y

P F1 O F2

B x

11、2012 辽宁) ( (本小题满分 12 分) 如图, 椭圆 C0 :

x2 y 2 + =1? a >b>0,a,b为常数 ? , C1:x 2 +y 2 =t12 ,b<t1 <a . 动圆 a 2 b2 点 A1 ,A2 分别为 C0 的左右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点,(1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方
程;

t (2) 设动圆 C2 :x +y =t2 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点, 其中 b <t2 <a ,1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'
2 2 2

的面积相等,证明: t1 +t2 为定值

2

2

3

12、 (2012 辽宁文)(本小题满分 12 分)如图,动圆 C1 : x ? y ? t ,1<t<3,与椭圆 C2 :
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B, 9
y

C,D 四点,点 A1 , A2 分别为 C2 的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 A O

D

x A1 B C A2

13、 (2012 全国卷理) (本小题满分 12 分)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准 线为 l , A ? C , 已
2

知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点; (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程; (2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m, n 距离的比 值。
0

14、(2012 山东理)(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为

2

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l:y=kx+ 交点 D,E,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两个不同的 4

1 2 2 ≤k≤2 时, AB ? DE 的最小值。 2

4

15、 (2012 山东文) (本小题满分 13 分)如图, 椭圆 M :

x2 y 2 3 , 直线 x ? ?a 和 y ? ?b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ?R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD | PQ | 有两个不同的交点 S , T .求 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

16、 (2012 上海理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 分) (4 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:OP⊥OQ; 分) (6
2 2

(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分)
2 2

17、 (2012 四川理)(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2,0) 构成 ?MAB , 且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 围.

| PR | 的取值范 | PQ |

18、(2012 天津理)(本小题满分 14 分)设椭圆

x2 y2 + =1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上 a2 b2 1 且异于 A,B 两点, O 为坐标原点.(Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? ,求椭圆的离心率; 2 (Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k |> 3 .

5

19、 (2012 天津文) (本小题满分 14 分)已知椭圆

(a>b>0),点 P(

5 2 a, a) 在椭圆上。 5 2

(I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。

1 20、(2012 浙江文)(本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xoy 中,点 P(1, ) 到抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准 2
线的距离为

(1)求 p, t 的值; (2)求 ?ABP 面积的最大值。

5 。点 M (t ,1) 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。 4 y
A P

O B

x

21、 (2012 浙江理)(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:

x2 y 2 1 + 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 2 a b 2

P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;(Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

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2012 全国各地高考数学试题分类汇编(解析几何)
x2 y2 1、(2012 安徽文)(本小题满分 13 分)如图, F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 + 2 =1( a ? b ? 0 )的左、右焦点, a b A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值. c 1 【解析】 (I) ?F1 AF2 ? 60? ? a ? 2c ? e ? ? a 2 (Ⅱ)设 BF2 ? m ;则 BF1 ? 2a ? m
在 ?BF1 F2 中, BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? 2 BF2 ? F1 F2 ? cos120
2 2 2

?

3 ? (2a ? m)2 ? m2 ? a 2 ? am ? m ? a 5 1 1 3 3 S ? ? F2 F1 ? AB ? sin 60? ? ? a ? (a ? a ) ? ? 40 3 ?AF1B 面积 2 2 5 2 ? a ? 10, c ? 5, b ? 5 3
2、 (2012 安徽理) (本小题满分 13 分) 如图, F1 (?c, 0), F2 (c, 0) 分别是椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左, a 2 b2 a2 右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? 于点 Q ; c (I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。

x2 y 2 b2 【解析】 (I)点 P(?c, y1 )( y1 ? 0) 代入 2 ? 2 ? 1 得: y1 ? a b a 2 b ?0 4?0 PF1 ? QF2 ? a ? ? ?1 ① ?c ? c 4 ? c a2 ? 4 ② c 2 ? a 2 ? b2 (a, b, c ? 0) ③ 又 c x2 y 2 ? ?1 由①②③得: a ? 2, c ? 1, b ? 3 既椭圆 C 的方程为 4 3 b2 ?0 2 a y ?0 (II)设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? a ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a c ?c ? c a 2 ?c c b2 b2 2a ? ? 2x 2 2 2 y b c x a ? 2 ? 1 ? y ? b 2 ? 2 x 2 ? y? ? 得: k PQ ? 2 a ? 2 a b a a a b2 ?c b2 ? 2 x2 c a c 过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y? x ?? c ? ? k PQ a 得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。
3、(2012 北京理)( (本小题共 14 分)已知曲线 C:(5-m)x +(m-2)y =8(m∈R) (1) 若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围;
7
2 2

(2) 设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两 点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线。 8 ? 8 ?5 ? m ? m ? 2 ? x2 y2 ? 8 7 ?0 解:(1)原曲线方程可化简得: ,解得: ? m ? 5 ? ? 1 由题意可得: ? 8 8 2 ?5 ? m 5?m m?2 ? 8 ?m ? 2 ? 0 ? 3 (2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k 2 ? 1) x 2 ? 16kx ? 24 ? 0 , ? =32(2k 2 ? 3) ,解得: k 2 ? 2 16k 24 由韦达定理得: xM ? xN ? 2 ①, xM xN ? 2 ,② 2k ? 1 2k ? 1 设 N ( xN , k xN ? 4) , M ( xM , kxM ? 4) , G ( xG , 1)

???? ? 3xM ? 3xM ? ? ???? kxM ? 6 , ? ,? AG ? ? 1 ,? 1? , AN ? ? xN ,xN k ? 2 ? , x ? 2 ,则 G ? xM ? kxM ? 6 ? ? xM k ? 6 ? ???? ???? 欲证 A , ,N 三点共线,只需证 AG , AN 共线 G 3xM ( xN k ? 2) ? ? xN 成立,化简得: (3k ? k ) xM xN ? ?6( xM ? xN ) 即 xM k ? 6 将①②代入易知等式成立,则 A ,G ,N 三点共线得证。
MB 方程为: y ?

4、(2012 福建理)(本小题满分 13 分)如图,椭圆 E : 离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 , a 2 b2

1 。过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8。 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程。 2 (Ⅱ)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q 。试探究: 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 P Q 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;
若不存在,说明理由。 解: (Ⅰ)设 c ?

a 2 ? b2

?ABF2 的周长为
椭圆 E 的方程为

c 1 ? ? a ? 2c ? 3a 2 ? 4b 2 a 2 AB ? AF2 ? BF2 ? 8 ? AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 8
则e ?

? 4a ? 8 ? a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y2 ? ?1 4 3 (Ⅱ)由对称性可知设 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) 与 M ( x, 0)
3x 3x ?k?? 0 4 y0 3 4 3 ? x2 4 3x0 3(1 ? x0 ) ( x ? x0 ) ? Q(4, ) 直线 l : y ? y0 ? ? 4 y0 y0 ???? ???? ? 3(1 ? x0 ) MP?MQ ? 0 ? ( x ? x0 )( x ? 4) ? y0 ? ? 0 ? x0 ( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 3) (*) y0 (*)对 x0 ? (?2, 2) 恒成立 ? x ? 1, 得 M (1, 0)
5、 (2012 广东理)(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C : 离心率 e ?

x2 y 2 3 ? ? 1 ? y ? 3 ? x 2 ? y? ? ? 4 3 4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 a 2 b2

2 ,且椭圆 C 上的点到 Q?0,2? 的距离的最大值为 3. 3
8

(1)求椭圆 C 的方程;

(2) 在椭圆 C 上, 是否存在点 M ?m, n ? 使得直线 l : ? ny ? 1 与圆 O :x ? y ? 1 相交于不同的两点 A, B , mx
2 2

且△ OAB 的面积最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△ OAB 的面积;若不存在,请说明理由。 解: (1)由题意

b2 1 ? 1 ? e2 ? , a 2 ? 3b 2 2 3 a 令椭圆 C 上任意一点 P( 3b cos? , b sin ? ) ,

?

PQ ?

?

2 2 3b cos? ? 0 ? ?b sin? ? 2? ? ? 2?b sin ? ? 1? ? 6 ? 3b

?

2

2

○当 b ? 1 时, PQmax ? 1 2 ○当 b ? 1 时, PQmax

6 ? 3b 2 ? 3 , b ? 1 ? b ? 2 ? 3,b ? 1
2

l

y B A
O

x ? y2 ? 1 3 (2)假设存在满足题设的 M ?m, n ? ,令 O 到 l 的距离为 d ,则
d? 1 m2 ? n2
m2 ? n2 ?1 AB ? 2 1 ? d ? 2 m2 ? n2
2

? b ? 1,

a 2 ? 3 ?椭圆 C 的方程为

x

m2 ? n2 ?1 t 1 1 2 2 ? ? ,令 m ? n ? 1 ? t ,则 S ? 2 2 2 1 2 m ?n t ?1 t? t 2 m 2 2 “=”成立时 t ? 1 ,即 m ? n ? 2 , 又? M ?m, n ? ? C , ? ? n2 ? 1 3 6 2 m?? , n?? 2 2 ?存在点 ? 6 , 2 ? ,? ? 6 , 2 ? ,? 6 ,? 2 ? ,? ? 6 ,? 2 ? 满足条件,使△ OAB 的面积最大为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? S OAB ? 1 AB ? d ? 2

?

1 。 2
6、 (2012 广东理) (本小题满分 14 分) 点 M(x,y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 L:x= 数

25 的距离的比是常 4

4 。且直线 L / 为 4x-5y+40=0,设点 M 的运动轨迹为 C。求: 5

(1)轨迹为 C 的方程; (2)轨迹为 C 上是否存在一点,它到直线 L / 的距离最小?最小距离是多小? 解(1)设 d 是点 M 到直线 L:x=

MP 4 25 ? } 的距离,点 M 的轨迹集合为:P={M∣ d 5 4

( x ? 4) 2 ? y 2 4 x2 y2 x2 y2 ? ,化简的: ? ? 1 所以轨迹为 C 的方程为: ? ?1 即 25 5 25 9 25 9 ?x 4
(2)设直线 m 平行直线 L ,则直线 m 的方程为:4x-5y+k=0
/

?4 x ? 5 y ? k ? 0 ? 2 2 由 ? x2 消去 y,得 25 x ? 8kx ? k ? 225 ? 0 y2 ?1 ? ? ? 25 9 2 2 令△=0 得 64 k ? 100 (k ? 225) ? 0 解得 k 1? 25 ,或 k 2 ? ?25
由图知,当 k=25 时,直线 m 与椭圆的交点到直线 L 的距离最小,此时直线 m 的方程为 4x-5y+25=0
9
/

所以 d ?

40 ? 25 4 ?5
2 2

?

15 41 41

最小距离为

15 41 . 41 1 2

7、 (2012 湖南文) (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为 圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
2 2

(Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 P 的坐标.

1 的直线 l1,l2. 2

解: (Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 2 ,故圆 C 的圆心为点 (2,0) .
2 2 2 2

x2 y 2 从而可设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其焦距为 2c . a b c 1 2 2 2 由题设知 c ? 2 , e ? ? .所以 a ? 2c ? 4 , b ? a ? c ? 12 . a 2 2 x y2 故椭圆 E 的方程为 ? ? 1. 16 12 (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , l1 , l 2 的斜率分别为 k1 , k 2 .则 l1 , l 2 的方程分别为 1 l1 : y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ) , l 2 : y ? y0 ? k2 ( x ? x0 ) ,且 k1k2 ? . 2 | 2k1 ? y0 ? k1 x0 | 2 2 ? 2, 由 l1 与圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 相切得 k12 ? 1
即 [(2 ? x0 ) ? 2]k1 ? 2(2 ? x0 ) y0 k1 ? y0 ? 2 ? 0 .
2 2 2

同理可得 [(2 ? x0 ) ? 2]k2 ? 2(2 ? x0 ) y0 k2 ? y0 ? 2 ? 0 .
2 2 2

从而 k1 , k 2 是方程 [(2 ? x0 ) ? 2]k ? 2(2 ? x0 ) y0 k ? y0 ? 2 ? 0 的两个实根.
2 2 2

?( 2 ? x0 ) 2 ? 2 ? 0, ? 于是 ? 2 2 ? ? ? 8[( 2 ? x0 ) ? y0 ? 2] ? 0, ?

①且 k1k2 ?

y0 2 ? 2 1 ? . 2 (2 ? x0 ) ? 2 2

? x0 2 y0 2 ? ? 1, ? 18 ? 16 12 2 由? 得 5x0 ? 8 x0 ? 36 ? 0 .解得 x0 ? ?2 ,或 x0 ? . 2 5 ? y0 ? 2 ? 1 ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?

57 18 得 y0 ? ? ,它们均满足①式. 5 5 18 57 18 57 ) ,或 ( , ? ). 故点 P 的坐标为 (?2,3) ,或 (?2, ?3) ,或 ( , 5 5 5 5
由 x0 ? ?2 得 y0 ? ?3 ;由 x0 ? 8、 (2012 湖北理) (本小题满分 13 分)设 A 是单位圆 x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) . 当点 A 在圆上运动时,记 点 M 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程,判断曲线 C 为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标; (Ⅱ)过原点且斜率为 k 的直线交曲线 C 于 P , Q 两点,其中 P 在第一象限,它在 y 轴上的射影为点 N ,直 线 QN 交曲线 C 于另一点 H . 是否存在 m ,使得对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH ?若存在,求 m 的值; 若不存在,请说明理由.
10

解析: (Ⅰ)如图 1,设 M ( x, y ) , A( x0 , y0 ) ,则由 | DM |? m | DA | (m ? 0, 且m ? 1) , 1 可得 x ? x0 , | y |? m | y0 | ,所以 x0 ? x , | y0 |? | y | . ① m 因为 A 点在单位圆上运动,所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . ② 将①式代入②式即得所求曲线 C 的方程为 x2 ? 因为 m? (0, 1) ? (1, ? ?) ,所以 当 0 ? m ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为 (? 1 ? m2 , 0) , ( 1 ? m 2 , 0) ; 当 m ? 1时,曲线 C 是焦点在 y 轴上的椭圆,两焦点坐标分别为 (0, ? m 2 ? 1) , (0, (Ⅱ)解法 1:如图 2、3, ?k ? 0 ,设 P( x1 , kx1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? kx1 ) , N (0, kx1 ) , 直线 QN 的方程为 y ? 2kx ? kx1 ,将其代入椭圆 C 的方程并整理可得
(m2 ? 4k 2 ) x2 ? 4k 2 x1 x ? k 2 x12 ? m2 ? 0 .
m2 ? 1) .

y2 ? 1 (m ? 0, 且m ? 1) . m2

依题意可知此方程的两根为 ? x1 , x2 ,于是由韦达定理可得 ? x1 ? x2 ? ? 因为点 H 在直线 QN 上,所以 y2 ? kx1 ? 2kx2 ?

4k 2 x1 m2 x ,即 x2 ? 2 1 2 . m 2 ? 4k 2 m ? 4k

2km2 x1 . m 2 ? 4k 2 ??? ? ???? 4k 2 x 2km2 x1 于是 PQ ? (?2 x1 , ? 2kx1 ) , PH ? ( x2 ? x1 , y2 ? kx1 ) ? (? 2 1 2 , 2 ). m ? 4k m ? 4k 2 ??? ???? 4(2 ? m2 )k 2 x12 ? 而 PQ ? PH 等价于 PQ ? PH ? ? 0 ,即 2 ? m2 ? 0 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2 2 m ? 4k y2 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

y A

y H
M
N

y H
N

P
O

P
O

O

D

x
Q

x
Q

x

图 3 (m ? 1) 图 2 (0 ? m ? 1) 图1 解法 2:如图 2、3, ?x1 ? (0, 1) ,设 P( x1 , y1 ) , H ( x2 , y2 ) ,则 Q(? x1 , ? y1 ) , N (0, y1 ) ,
?第2812 ? y12 ? m 2 , ? m x 题解答图 因为 P , H 两点在椭圆 C 上,所以 ? 2 2 两式相减可得 2 2 ? m x2 ? y2 ? m , ?

③ m2 ( x12 ? x22 ) ? ( y12 ? y22 ) ? 0 . 依题意,由点 P 在第一象限可知,点 H 也在第一象限,且 P , H 不重合, ( y ? y2 )( y1 ? y2 ) 故 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 0 . 于是由③式可得 1 ④ ? ?m2 . ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2y y ? y2 又 Q , N , H 三点共线,所以 kQN ? kQH ,即 1 ? 1 . x1 x1 ? x2 于是由④式可得 kPQ ? kPH ?
y1 y1 ? y2 1 ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) m2 ? ? ? ?? . x1 x1 ? x2 2 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) 2

m2 ? ?1 ,又 m ? 0 ,得 m ? 2 , 2 y2 故存在 m ? 2 ,使得在其对应的椭圆 x2 ? ? 1 上,对任意的 k ? 0 ,都有 PQ ? PH . 2

而 PQ ? PH 等价于 kPQ ? kPH ? ?1 ,即 ?

9、 (2012 湖南理) (本小题满分 13 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在圆 C2: x-5) +y =9 外, ( 且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.
11

2

2

(Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)( y0 ? ?3 )为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C, D.证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值. 解: (Ⅰ)解法 1 设 M 的坐标为 ( x, y ) ,由已知得 x ? 2 ?

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 3 .
2 2

易知圆 C2 上的点位于直线 x ? ?2 的右侧,于是 x ? 2 ? 0 ,所以 ( x ? 5) ? y ? x ? 5 . 化简得曲线 C1 的方程为 y ? 20 x .
2

解法 2 由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2 (5, 0) 的距离等于 它到直线 x ? ?5 的距离.因此,曲线 C1 是以 (5, 0) 为焦点, 直线 x ? ?5 为准线的抛物线.故其方程为 y ? 20 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ?4 上运动时,P 的坐标为 ( ?4, y0 ) ,又 y0 ? ?3 , 则过 P 且与圆 C2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y0 ? k ( x ? 4) , 即 kx ? y ? y0 ? 4k =0 .于是

5k ? y0 ? 4 k k ?1
2

2 ? 3. 整理得 72k 2 ? 18 y0 k ? y0 ? 9 ? 0.



设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率分别为 k1 , k 2 , 则 k1 , k 2 是方程①的两个实根.故 k1 ? k2 ? ? 由?

18 y0 y ?? 0. 72 4

② ③

?k1 x ? y ? y0 ? 4k1 ? 0, 2 得 k1 y ? 20 y ? 20( y0 ? 4k1 ) ? 0. y 2 ? 20 x, ?

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y2 , y3 , y4 , 则 y1 , y2 是方程③的两个实根,所以 y1 ? y2 ? 同理可得 y3 ? y4 ?

20( y0 ? 4k1 ) . k1



20( y0 ? 4k2 ) . k2



于是由②,④,⑤三式得
2 2 2 400( y0 ? 4k1 )( y0 ? 4k2 ) 400 ? y0 ? 4(k1 ? k2 ) y0 ? 16k1k 2 ? 400 ? y0 ? y0 ? 16k1k2 ? ? ?? ? ? 6400 . ? y1 y2 y3 y4 ? k1k2 k1k2 k1k2 所以,当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. x2 y 2 10、 (2012 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a b 3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. F1 (?c,0),F2 (c,0) ,已知点 (1, e) 和 (e, 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P, y 6 (i)若 AF1 ? BF2 ? ,求直线 AF 的斜率;(ii)求证: PF ? PF2 是定值 1 1 2 A 解 (1) 由题设知 a ? b ? c , e ?
2 2 2

c . a 1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得 2 ? 2 2 ? 1 F1 a a b 2 2 2 解得 b ? 1 ,于是 c ? a ? 1, e2 3 a2 ?1 3 3 ? 1 ,即 4 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2 ( ) 又点 e, 在椭圆上,所以 2 ? 2 2 4 a 4b a
12

P O F2

B x

x2 ? y 2 ? 1. 2 (2) 由(1)知 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,又直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设直线 AF1 的方程为 x ?1 ? my , 直线 BF2 的方程为 x ?1 ? my .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0, y 2 ? 0
因此,所求椭圆的方程是

? x1 2 2 m ? 2m 2 ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 2 由? 2 得 (m ? 2) y1 ? 2my1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? m2 ? 2 ? x ? 1 ? my 1 ? 1
故 AF1 ?

( x1 ? 1) 2 ? y1 ? (my1 ) 2 ? y1 ?
2 2

2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?① m2 ? 2

同理, BF2 ?

2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?② m2 ? 2

2m m 2 ? 1 6 2 ? (ⅰ)由①②得 AF1 ? BF2 ? 解得 m ? 2 , 2 2 m ?2 1 2 因为 m ? 0 ,故 m ? 2 ,所以直线 AF1 的斜率为 ? m 2 PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 ? ? (ⅱ)因为直线 AF1 与 BF2 平行,所以 ,于是 PF1 AF1 PF1 AF1 AF1 BF1 .由点 B 在椭圆上知 BF1 ? BF2 ? 2 2 故 PF1 ? AF1 ? BF2 AF1 BF2 (2 2 ? BF2 ) .同理 PF2 ? (2 2 ? AF1 ) 从而 PF1 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 BF2 2 AF1 ? BF2 (2 2 ? BF2 ) ? (2 2 ? AF1 ) ? 2 2 ? 因此 PF1 ? PF2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2
2 2 (m 2 ? 1) m2 ? 1 , AF1 ? BF2 ? 2 又由①②知 AF1 ? BF2 ? m2 ? 2 m ?2 2 3 2 ? 所以 PF1 ? PF2 ? 2 2 ? .因此 PF1 ? PF2 是定值. 2 2 x2 y 2 2 2 2 11、2012 辽宁) ( (本小题满分 12 分) 如图, 椭圆 C0 : 2 + 2 =1? a >b>0,a,b为常数 ? , 动圆 C1:x +y =t1 ,b<t1 <a . a b 点 A1 ,A2 分别为 C0 的左、右顶点, C1 与 C0 相交于 A,B,C ,D 四点
(1)求直线 AA1 与直线 A2 B 交点 M 的轨迹方程;

t (2) 设动圆 C2 :x +y =t2 与 C0 相交于 A',B',C',D' 四点, 其中 b <t2 <a ,1 ? t2 .若矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D'
2 2 2

【解析】 (1)设 A ? x1 ,y1 ? ,B ? x1 ,-y1 ? ,又知 A1 ? -a,0 ? ,A2 ? a,0 ? , 则:直线 A1 A 的方程为 由①②得
2

的面积相等,证明: t1 +t2 为定值

2

2

y=

y1 ? x +a ? ① 直线 A2 B 的方程为 x1 +a

y=

- y1 ? x-a ? ② x1 -a

- y12 y = 2 2 ? x 2 -a 2 ? x1 -a
2
2

x12 y12 ③由点 A ? x1 ,y1 ? 在椭圆 C0 上,故可得 2 + 2 =1 , a b
??6 分

? (2)证明:设 A' ? x2 ,y2 ? ,由矩形 ABCD 与矩形 A'B'C'D' 的面积相等,
13

从而有 y1 =b ? 1-

?

x12 ? x2 y 2 ,代入③得 2 - 2 =1? x <-a,y <0 ? ? a2 ? a b

? x12 ? 2 2 ? x2 2 ? 得 4 x1 y1 =4 x2 y2 , ? x y =x2 y2 ,因为点 A,A' 均在椭圆上,所以 b x ? 1- 2 ? =b x2 ? 1- 2 ? ? a ? ? a ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x1 +x2 =a 。从而 y1 +y2 =b ,因而 t1 +t2 =a +b 为定值?12 分
2 2 1 1 2 2

2

2 1

【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题,考查转化与化归能力、运 算求解能力,是难题. 12、 (2012 辽宁文)(本小题满分 12 分)如图,动圆 C1 : x ? y ? t ,1<t<3,与椭圆 C2 :
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B, 9

C,D 四点,点 A1 , A2 分别为 C2 的左,右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。 解:(1)设 A(x0 , y 0) ,则矩形 ABCD 的面积 S ? 4 x0 ? y 0 ,由 从而 x0 y 0 ? x0 (1 ?
2 2 2 2 x0 1 2 9 9 ) ? ? ( x0 ? ) 2 ? 9 9 2 4 2 x0 x2 2 2 ? y0 ? 1 得 y0 ? 1 ? 0 , 9 9

y

9 2 1 , y 0 ? 时, S max ? 6 从而 t ? 5 时矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6. 2 2 A (2)由 A( x0 , y 0 ), B( x0 ,? y 0 ), A1 (?3,0), A2 (3,0) 知 y0 ( x ? 3)?? ① 直线 AA1 的方程为 y ? O x0 ? 3 A1 ? y0 ( x ? 3)?? ② 直线 A2 B 的方程为 y ? B x0 ? 3
当 x0 ?
2

D

x A2 C

由①②得 y ?
2

2 ? y0 ( x 2 ? 9)?? 2 x0 ? 9


2 x0 ?? ④ 9

又点 A(x0 , y 0) 在椭圆 C 上,故 y 0 ? 1 ?
2

将④代入③得

x2 ? y 2 ? 1, ( x ? ?3, y ? 0) 9

x2 ? y 2 ? 1, ( x ? ?3, y ? 0) . 因此点 M 的轨迹方程为 9
13、 (2012 全国卷理) (本小题满分 12 分)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准 线为 l , A ? C , 已
2

知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点; (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;
0

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。 解(1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p 点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 圆 F 的方程为 x ? ( y ? 1) ? 8
2 2

2p

1 S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2 x2 p (2)由对称性设 A( x0 , 0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2

2 2 x0 x0 p 2 )? p? ? ? ? x0 ? 3 p 2 点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ? 2p 2p 2 3p p ? p 3p 3p 得: A( 3 p, ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 2 2 2 3p

14

x2 x 3 3 3p p x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ) 2p p 3 3 3 6
2

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ?3。 坐标原点到 m, n 距离的比值为 2 6
直线 n : y ? 14、(2012 山东理)(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,F 是抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点,M 是抛物线 C 上 位于第一象限内的任意一点,过 M,F,O 三点的圆的圆心为 Q,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为
2

3 。 4

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由; (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,直线 l:y=kx+ 交点 D,E,求当

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A,B,l 与圆 Q 有两个不同的 4

1 2 2 ≤k≤2 时, AB ? DE 的最小值。 2 2 x p p 2 解析: (Ⅰ)F 抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点 F (0, ) ,设 M ( x 0 , 0 )( x 0 ? 0) ,Q(a, b) ,由题意可知 b ? , 2p 2 4 p p p 3 3 2 则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 b ? ? ? ? p ? ,解得 p ? 1 ,于是抛物线 C 的方程为 x ? 2 y . 4 2 4 2 4
(Ⅱ)假设存在点 M,使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M,

x0 1 ) , Q (a, ) , MQ ? OQ ? QF , 2 4 2 3 x0 x0 1 2 1 3 2 2 ( x0 ? a) ? ( ? ) ? a ? ,a ? ? x0 , 2 4 16 8 8 2 1 x0 ? 2 2 ,则 1 x 4 ? 3 x 2 ? 1 ? 1 x 2 , 由 x ? 2 y 可得 y ? ? x , k ? x 0 ? 43 0 0 0 8 8 4 2 x0 3 ? x0 8 8 1 4 2 即 x 0 ? x 0 ? 2 ? 0 ,解得 x0 ? 1 ,点 M 的坐标为 (1, ) . 2 2 1 , )。 (Ⅲ)若点 M 的横坐标为 2 ,则点 M ( 2 ,1) , Q (? 8 4 ? x2 ? 2y 1 ? 2 由? 1 可得 x ? 2kx ? ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 2 ?y ? kx? 4 ?
而 F (0, ), O(0,0), M ( x0 ,

1 2

2

AB ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? k 2 )( 4k 2 ? 2)

2

k?
圆 Q : (x ?

2 2 1 2 1 3 ) ? ( y ? )2 ? ? ? ,D ? 8 2 64 16 32
3 k2 3 ? 2k 2 ? ]? , 32 32 (1 ? k 2 ) 8(1 ? k 2 )
2

? 2 8

1? k 2

?

2k 8 1? k 2

DE ? 4[
2

2

于是 AB ? DE

? (1 ? k 2 )( 4k 2 ? 2) ?

3 ? 2k 2 5 2 ,令 1 ? k ? t ? [ ,5] 2 8(1 ? k ) 4
15

3 ? 2k 2 2t ? 1 1 1 ? t (4t ? 2) ? ? 4t 2 ? 2t ? ? , 2 8t 8t 4 8(1 ? k ) 1 1 1 设 g (t ) ? 4t 2 ? 2t ? ? , g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 , 8t 4 8t 5 1 当 t ? [ ,5] 时, g ?(t ) ? 8t ? 2 ? 2 ? 0 , 4 8t 5 1 25 5 1 1 1 即当 t ? , k ? 时 g (t ) min ? 4 ? ? 2? ? ? ?4 . 5 4 4 2 16 4 10 8? 4 1 1 2 2 故当 k ? 时, ( AB ? DE ) min ? 4 . 2 10 AB ? DE ? (1 ? k 2 )( 4k 2 ? 2) ?
2 2

15、 (2012 山东文) (本小题满分 13 分)如图, 椭圆 M :

3 x2 y 2 , 直线 x ? ?a 和 y ? ?b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

所围成的矩形 ABCD 的面积为 8. (Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ?R) 与椭圆 M 有两个不同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD | PQ | 有两个不同的交点 S , T .求 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST | 解:(I) e ?
c 3 a 2 ? b2 3 ? ? ? ??① a 2 a2 4 矩形 ABCD 面积为 8,即 2a ? 2b ? 8 ??②

由①②解得: a ? 2, b ? 1 ,∴椭圆 M 的标准方程是

x2 ? y2 ? 1 . 4

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, (II) ? ? 5 x 2 ? 8mx ? 4m2 ? 4 ? 0 , y ? x ? m, ? 8 4m 2 ? 4 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? m, x1 x2 ? , 5 5
4m 2 ? 4 4 2 ? 8 ? ? 5 ? m2 . 由 ? ? 64m2 ? 20(4m2 ? 4) ? 0 得 ? 5 ? m ? 5 . | PQ |? 2 ? ? m ? ? 4 5 ? 5 5 ? 当 l 过 A 点时, m ? 1,当 l 过 C 点时, m ? ?1 .
2

①当 ? 5 ? m ? ?1 时,有 S (?m ? 1, ?1), T (2, 2 ? m),| ST |? 2(3 ? m) ,[

| PQ | 4 5 ? m 2 4 4 6 ? ? ? 2 ? ?1 , 2 | ST | 5 (3 ? m) 5 t t

| PQ | 1 3 4 5 2 其中 t ? m ? 3 ,由此知当 ? ,即 t ? , m ? ? ? (? 5, ?1) 时, 取得最大值 5. | ST | t 4 3 3 5 | PQ | 5 2 ②由对称性,可知若 1 ? m ? 5 ,则当 m ? 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5 | PQ | 2 ? 5 ? m2 , ③当 ?1 ? m ? 1 时, | ST |? 2 2 , | ST | 5 | PQ | 2 由此知,当 m ? 0 时, 取得最大值 5. | ST | 5 | PQ | 5 2 综上可知,当 m ? ? 和 0 时, 取得最大值 5. | ST | 3 5

16、 (2012 上海理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线, 求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 分) (4 (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证:OP⊥OQ; 分) (6
2 2

16

(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分)
2 2

解: (1)双曲线 C1 :

x2
1 2

? y 2 ? 1 ,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ( x ?
,得 ?

) ,即 y ? 2 x ? 1 .
1 2

? y?? 2 x

?y ? 2 x ?1 (2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切, 故
由?

? ?x ? ? 1 ? ?y ? 2

2 4

.

所以所求三角形的面积 1 为 S ?
|b | 2

| OA || y |?

2 8

.

? 1 ,即 b2 ? 2 .

? y ? x?b ,得 x 2 ? 2bx ? b2 ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1
2

又 b ? 2 .,
2
2 2 2

所以: OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b ? 2(?b ? 1) ? b ? 2b ? b ? b ? 2 ? 0 , 故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|= 当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
2 2 2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为

3 3

.

) ,则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 x . k
2 1? k 2 4? k 2

? x2 ? ? y ? kx ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
所以 d12 ?
1 |OM | 2 1 ? |ON | 2 ? 3k 2 ? 3 k 2 ?1

1 4? k 2 k2 4? k 2

,所以 | ON | ?
2

.同理 | OM | ?
2

1? k 2 . 2 k 2 ?1

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | ,
2 2 2 2

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值. 17、 (2012 四川理)(本小题满分 12 分) 如图,动点 M 到两定点 A(?1, 0) 、 B(2,0) 构成 ?MAB , 且 ?MBA ? 2?MAB ,设动点 M 的轨迹为 C . (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? ?2 x ? m 与 y 轴交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q、R ,且 | PQ |?| PR | ,求 围. 解: (1)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0, y ? 0 . 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3)
| y| | y| x ?1 ? ? 2 tan ?MAB | y| 2 x?2 当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,有 tan∠MBA= ,即 1? ( ) 2 x ?1 1 ? tan ?MAB 2 2 化简得:3x -y -3=0,而又经过(2,,±3) 2 2 y 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x -y -3=0(x>1) M 2

| PR | 的取值范 | PQ |

? y ? ?2 x ? m 2 2 消去 y,可得 x ? 4mx ? m ? 3 ? 0 .(*) ? 2 2 ?3 x ? y ? 3 ? 0 2 2 由题意,方程(*)有两根且均在(1,+ ? )内,设 f ( x) ? x ? 4mx ? m ? 3 A ? ? 4m ?? 2 ? 1 ? ? 2 2 所以 ? f (1) ? 1 ? 4m ? m ? 3 ? 0 解得,m>1,且 m ? 2 ?? ? (?4m) 2 ? 4(m 2 ? 3) ? 0 ? ? ?
(II)由方程
17

O

B x

2 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x0 , y0 ), ( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有 xR ? 2m ? 3(m ? 1) , x0 ? 2m ? 3(m ? 1)

1 ) PR xR 2m ? 3(m ? 1) 4 m 2 ? ?1 ? 所以 ? ? ? 2 PQ xQ 2m ? 3(m ? 1) 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2 ? 3(1 ? 2 ) m m 4 4 由 m>1,且 m ? 2,有 1 ? ?1 ? ? 7 ? 4 3, 且 ? 1 ? ? 7. 1 1 2 ? 3(1 ? 2 ) 2? ( ? 2) 31 m m PR 所以 的取值范围是 ?1,7 ? ? (7,7 ? 4 3 ) PQ
2

2 ? 3(1 ?

18、(2012 天津理)(本小题满分 14 分)设椭圆 且异于 A,B 两点, O 为坐标原点.

x2 y2 + =1 (a>b>0) 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上 a2 b2

1 ,求椭圆的离心率; 2 (Ⅱ)若 |AP|=|OA| ,证明直线 OP 的斜率 k 满足 |k |> 3 .
(Ⅰ)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为 ? 解: (Ⅰ)设点 P( x0 , y 0 ) ,由题意得 由 k AP ? k BP ? ?
2 2 y0 y0 x0 y 0 , k BP ? ? 2 ? 1??? ①由 A(?a,0), B(a,0) 得 k AP ? 2 x0 ? a x0 ? a a b

1 2 2 2 2 2 2 可得 x0 ? a ? 2 y 0 代入①并整理得 (a ? 2b ) y 0 ? 0 ,由于 y 0 ? 0 , 2 a2 ? b2 1 2 2 2 2 故 a ? 2b ,于是 e ? ? ,所以椭圆的离心率为 e ? 2 2 2 a ? y 0 ? k x0 ? (Ⅱ)证明:依题意直线 OP 的方程 y ? kx ,设点 P( x0 , y 0 ) ,有条件得 ? x 2 y2 0 ? 0 ?1 ? 2 b2 ?a a 2b 2 2 2 ?? ②由 AP ? OA , A(?a,0) 及 y 0 ? kx0 得 ( x0 ? a) 2 ? k 2 x0 ? a 2 消去 y 0 并整理得 x0 ? 2 2 k a ? b2 ? 2a 2 2 2 整理得 (1 ? k ) x0 ? 2ax0 ? 0 而 x0 ? 0 ,于是 x0 ? ,代入②整理得 1? k 2 b 2 2 ( ( ? k 2) ? 4k 2 ( ) 2 ? 4 ,由 a ? b ? 0 ,故 1 ? k 2) ? 4k 2 ? 4 , 即 k 2 ? 3 ,所以 k ? 3 . 1 a
19、 (2012 天津文) (本小题满分 14 分)已知椭圆 (a>b>0),点 P(

5 2 a, a) 在椭圆上。 5 2

(I)求椭圆的离心率。 (II)设 A 为椭圆的右顶点,O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 OQ 的斜率的值。 解(1)因为点 P(

5 2 a2 a2 b2 5 a, a) 在椭圆上,故 2 ? 2 ? 1,? 2 ? 5 2 8 5a 2b a 2 2 2 a ?b a 3 6 2 ? 1 ? 2 ? ,所以椭圆的离心率为 e ? . 于是 e ? 2 4 8 a b (2)设直线 OQ 的斜率为 k,则其方程为 y ? kx ,设点 Q 的坐标为 ( x 0 , y 0 )
? y 0 ? k x0 a 2b 2 ? 2 2 ,?? ① 有条件得 ? x 2 ,消去 y 0 并整理得 x0 ? 2 2 y0 0 k a ? b2 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
18

2 2 2 2 由 AQ ? AO , A(?a,0), y 0 ? kx0 , 得 ( x ? a) ? k x ? a 整理得
2 (1 ? k 2 ) x0 ? 2ax0 ? 0 ,而 x ? 0 ,故 x0 ? ?

2 2a 2 2 2 a ,代人①整理得 (1 ? k ) ? 4k ? 2 ? 4 b 1? k 2

b2 5 32 2 由(1)知 2 ? ,故 (1 ? k 2 ) 2 ? k ? 4,? 5k 4 ? 22 k 2 ? 15 ? 0, k 2 ? 5 . 8 5 a 所以直线 OQ 的斜率 k ? ? 5
1 20、(2012 浙江文)(本题满分 14 分)如图,在直角坐标系 xoy 中,点 P(1, ) 到抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准 2
线的距离为

5 。点 M (t ,1) 是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分。 4
y A

(1) 求 p, t 的值。 (2) 求 ?ABP 面积的最大值。 1 ?2 pt ? 1 ? ? ? p 5 ? ?p ? 2. 解:( ) Ⅰ 由题意知 ? 1? ? ? 2 4 ?t ? 1 ? ? ( ) A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 线段 AB 的中点为 Q(m, m). Ⅱ 设

P

O B

x

? y 2 ? x1 由 ? 12 ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 , ? y2 ? x2 故 k ? 2m ? 1, 1 所以直线 AB 的方程为 y ? m ? ( x ? m) ? x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0. 2m ? x ? 2my ? 2m2 ? m ? 0 由? 2 ? y 2 ? 2my ? 2m2 ? m ? 0. ?y ? x
所以 ? ? (?2m) 2 ? 4(2 m2 ? m) ? 4 m ? 4 m2 ? 0, y1 ? y 2 ? 2 m, y1 ? y 2 ? 2m 2 ? m.

1 ? | y1 ? y2 |? 1 ? 4m2 ? 4m ? 4m 2 . k2 |1 ? 2m ? 2m 2 | 设点 P 到直线 AB 的距离为 d , 则 d ? . 1 ? 4m 2 1 设 ?ABP 的面积为 S , 则 S ? | AB | ?d ?|1 ? 2(m ? m2 ) | ? m ? m2 . 2 1 令 u ? m ? m2 ? 0 ? u ? , 则S ? u (1 ? 2u 2 ) ? S ? ? 1 ? 6u 2 . 2 6 1 6 6 令 S? ? 0 ? u ? 所以 Smax ? S ( ) ? ? (0, ), . 6 2 6 9 6 故 ?ABP 面积的最大值为 . 9
从而 | AB |? 1 ? 21、 (2012 浙江理)(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 ? ABP 的面积取最大时直线 l 的方程. c 1 解:(Ⅰ)由题: e ? ? ; (1) a 2

由 ? ? 4m ? 4m2 ? 0 ? 0 ? m ? 1.

x2 y 2 1 + ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 a 2 b2 2

P(2,1)的距离为 10 .不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: d ? (2 ? c) 2 ? 12 ? 10 . (2) 由(1) (2)可解得: a2 ? 4,b2 ? 3,c2 ? 1 .∴所求椭圆 C 的方程为:
19

x2 y 2 + ?1. 4 3

1 1 (Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y= x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0= x0. 2 2
? xA2 y A2 + ?1 ? ? ∵A,B 在椭圆上,∴ ? 42 32 ? xB + yB ? 1 ? 4 3 ? ? k AB ? y A ? yB 3 xA ? xB 3 2 x0 3 ?? ?? ?? . xA ? xB 4 y A ? yB 4 2 y0 2

? x2 y2 ?1 ? + 3 ? 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ x ? m (m≠0),代入椭圆: ? 4 3 2 ? y=- 3 x ? m ? ? 2

?

3 x 2 ? 3mx ? m 2 ? 3 ? 0 .

显然 ? ? (3m)2 ? 4 ? 3(m2 ? 3) ? 3(12 ? m2 ) ? 0 .∴﹣ 12 <m< 12 且 m≠0. 由上又有: xA ? xB =m, yA ? yB =
m2 ? 3 . 3
( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB = 1 ? k AB

∴|AB|= 1 ? k AB | xA ? xB |= 1 ? k AB ∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?

4?

m2 . 3

?3 ? 1 ? m 1 ? k AB

?

m? 2 1 ? k AB



m2 1 1 ∴S ? ABP= d|AB|= |m+2| 4 ? , 3 2 2

当|m+2|= 4 ?

m2 1 3 1 ,即 m=﹣3 或 m=0(舍去)时,(S ? ABP)max= .此时直线 l 的方程 y=﹣ x ? . 3 2 2 2

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