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重庆市梁平实验中学高中数学 3.2简单的三角恒等变换(三)教案 新人教A版必修4

3.2 简单的三角恒等变换(三 )
教学目标 知识与技能目标 熟练掌握三角公式及其变形公式. 过程与能力目标 抓住角、函数式得特点,灵活运用三角公式解决一些实际问题. 情感与态度目标 培养学生观察、分析、解决问题的能力. 教学重点 和、差、倍角公式的灵活应用. 教学难点 如何灵活应用和、差、倍角公式的进行三角式化简、求值、证明. 教学过程 例 1:教材 P141 面例 4

?
例 1. 如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为 3 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形 的内接矩形.记∠COP=?,求当角 ? 取何 值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大面 积.

Q

D O A

C

?

B

P

例 2:把一段半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法能使横截面的面积最大? (分别设边与角为自变量) 解: (1)如图,设矩形长为 l,则面积 S ? l 4R ? l ,
2 2

所以 S ? l (4R ? l ) ? ?(l ) ? 4R l , 当且仅当
2 2 2 2 2 2 2 2

l2 ?

4R2 ? 2R2 , 2

θ

即l ?

2R 时, S 2 取得最大值 4 R 4 ,此时 S 取得最大值 2 R 2 ,矩形的宽为

2R2 ? 2R 2R 即长、宽相等,矩形为圆内接正方形.
(2)设角为自变量,设对角线与一条 边的夹角为 ? ,矩形长与宽分别为

2 R sin ? 、 2 R cos ? ,所以面积 S ? 2R cos? ? 2R sin ? ? 2R 2 sin 2? .
2 2 而 sin 2? ? 1 ,所以 S ? 2 R ,当且仅当 sin 2? ? 1 时, S 取最大值 2 R ,所以当且仅当

1

2? ? 90 ? 即 ? ? 45? 时, S 取最大值,此时矩形为内接正方形.
变式:已知半径为 1 的半圆,PQRS 是半圆的内接矩形如图,问 P 点在什么位置时,矩形的 面积最大,并求最大面积时的值. Q P 解:设 ?SOP ? ? , 则 SP ? sin ? , OS ? cos? , 故 S 四边形 PQRS ? sin ? ? 2 cos ? ? sin 2? 故 ? 为 45 ? 时,

R

O

S

Smax ? 1

课堂小结 建立函数模型利用三角恒等变换解决实际问题. 课后作业 1. 阅读 教材 P. 139 到 P.142; 2. 《习案》作 业三十五.

2


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