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高中数学合情推理2人教版选修1-2.doc


合情推理-归纳推理
教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识归纳推理的基 本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具有代表性,那么推广 的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用归纳进行简单的推理。 教学难点:用归纳进行推理,做出猜想。 教学过程: 一、课堂引入: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。 见书上的三个推理案例,回答几个推理各有什么特点?都是由“前提”和“结论”两部分组 成,但是推理的结构形式上表现出不同的特点,据此可分为合情推理与演绎推理 二、新课讲解: 1、 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的。 蛇,鳄鱼,海龟,蜥蜴都是爬行动物,所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 2、 三角形的内角和是 180? ,凸四边形的内角和是 360? ,凸五边形的内角和是 540? 由此我们猜想:凸边形的内角和是 (n ? 2) ?180? 3、

2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ?1 a a?m ? , ? , ? ,? ,由此我们猜想: ? ( a, b, m 均为正实数) 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b?m

这种由某类事物的部分对象具有某些特征 ,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称:归纳) 归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 实验,观察 概括,推广 猜测一般性结论

三、例题讲解: 例 1 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?

1 (n ? N ? ) , f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ??? (1 ? an ) ,试 (n ? 1) 2

通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f ( n) 的值。 【学生讨论: 】 (学生讨论结果预测如下)
用心 爱心 专心

(1) f (1) ? 1 ? a1 ? 1 ?

1 3 ? 4 4

1 3 8 2 4 f (2) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? f (1) ? (1 ? ) ? ? ? ? ) 9 4 9 3 6 1 2 15 5 f (3) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )(1 ? a3 ) ? f (2) ? (1 ? ) ? ? ? 16 3 16 8
由此猜想, f (n) ?

n?2 2(n ? 1)

学生讨论:1)哥德巴赫猜想:任何大于 2 的偶数可以表示为两个素数的之和。 2)三根针上有若干个金属片的问题。 四、巩固练习:

? 1 、 已 知 f (n )? 1

1 1 1 ? ? ??? ? n(? N ? , ) 经计算: 2 3 n

3 5 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , 2 2

7 ,推测当 n ? 2 时,有__________________________. 2 3 3 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2、已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ? , sin 5 ? sin 65 ? sin 125 ? 。 2 2

f (16) ? 3, f (32) ?

观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并证明之。 3、观察(1) tan10 tan 20 ? tan 20 tan 60 ? tan 60 tan10 ? 1
? ? ? ? ? ?

(2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1 。
? ? ? ? ? ?

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论。 注:归纳推理的几个特点: 1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论. 五、教学小结: 1.归纳推理是由部分到整体, 从特殊到一般的推理。 通常归纳的个体数目越多, 越具有代表性, 那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的重要方法。 2.归纳推理的一般步骤:1)通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) 。 六、作业: 七、教后感:

用心

爱心

专心

课题:合情推理(二)——类比推理 课时安排:一课时 课型:新授课 教学目标: 1、通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法,认识类比推理的基 本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质,类比的性质相似性 越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 教学重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 教学难点:用类比进行推理,做出猜想。 教学过程: 一、复习引入: 1、什么叫推理?推理由哪几部分组成? 2、合情推理的主要形式有 3、归纳推理是从 4、归纳推理的特点: 5、 2 ? 和 事实中概括出 . 结论的一种推理模式

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3? ? 3 , 4 ? ? 4 ,? 3 3 8 8 15 15
b=


6?

a a ( a , b 均为实数) , ?6 b b

请推测 a = 二、新课讲解:

春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班,被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形 的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的:茅草是齿形的,茅草能割破手,需要一种能割断木头的,它也可以是齿形 的。这个推理过程是归纳推理吗? 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (2) a=b? ac=bc; (3) a=b?a2=b2;等等 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 二、新课讲解: 由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出他们在其他方面也相似或相同;或 其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 (简称类 比) .简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
用心 爱心 专心

猜想不等式的性质: (1) a>b?a+c>b+c (2) a>b? ac>bc; (3) a>b?a2>b2;等等。

类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;

⑶ 检验猜想。即 观察,比较 联想,类推 猜测新的结论

例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 弦 直径周长 圆面积 圆的性质 圆心与弦 ( 不是直径 ) 的中点的连线垂 直于弦 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距 离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较 长 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆 心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心 间中四面体性质的猜想. 2、若数列 ?an ? 为等差数列,且 am ? x, an ? y(m ? n, m, n ? N? ) ,则 am ? n ? 球的性质 球心与截面圆 ( 不是大圆 ) 的圆点的连 线垂直于截面圆 与球心距离相等的两截面圆相等; 与球 心距离不等的两截面圆不等, 距球心较 近的截面圆较大 球的切面垂直于过切点的半径; 经过球 心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切面的直线必经过 球心 三、巩 固 习: 1、 类比 平面内 直角三 角形的 勾股定 理,试 给出空 练 截面圆 大圆 表面积 球体积

mx ? ny 。现已 m?n

知数列 ?bn ? (bn ? 0, n ? N? ) 为等比数列, 且 bm ? x, bn ? y(m ? n, m, n ? N? ) , 类比以上结论, 可得到什么结论?你能说明结论的正确性吗? 四、教学小结: 1、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性 越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得出的结论就越可靠。 2、类比推理的一般步骤:
用心 爱心 专心

a) 找出两类事物之间的相似性或者一致性。 b) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) 。 五、作业: 六、教后感

用心

爱心

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