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高中数学人教a版选修1-1课时作业:第2章习题课3 含解析

习题课(3) 一、选择题 y2 1.[2014· 人大附中月考]以双曲线 - =1 的右顶点为焦点的抛物线的标 16 9 准方程为( ) B. y2=-16x D. y2=-8x x2 A. y2=16x C. y2=8x 解析:本题主要考查双曲线、抛物线的标准方程及其几何性质.因为双曲线 y2 - =1 的右顶点为(4,0),即抛物线的焦点坐标为(4,0),所以抛物线的标准方 16 9 程为 y2=16x,故选 A. 答案:A 2.若抛物线 y2=2px(p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列,那么这三 个点到抛物线焦点 F 的距离的关系是( A.成等差数列 B.既成等差数列又成等比数列 C.成等比数列 D.既不成等比数列也不成等差数列 解析:设三点为 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3), 则 y2 1=2px1,y2 2=2px2,y2 3=2px3, 因为 2y2 2=y2 1+y2 3,所以 x1+x3=2x2, ? p? p p ? ? 即|P1F|- +|P3F|- =2?|P2F|- ?, 2? 2 2 ? ) x2 所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|. 答案:A 3. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A.y2=± 4x C.y2=4x 解析:y2=ax ) B.y2=± 8x D.y2=8x ?a ? ? ? , 0 的焦点坐标为? ?,过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y= ?4 ? ? a? a 1 |a| |a| ? ? 2?x- ?,令 x=0 得 y=- .∴ × × =4,∴a2=64,∴a=± 8. 4? 2 2 4 2 ? 答案:B 4.设直线 l1:y=2x,直线 l2 经过点 P(2,1),抛物线 C:y2=4x,已知 l1、 l2 与 C 共有三个交点,则满足条件的直线 l2 的条数为( A.1 C.3 B.2 D.4 ) 解析:∵点 P(2,1)在抛物线内部,且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A,B 两点, ∴过点 P 的直线 l2 在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意.∴满足条件的直线 l2 共有 3 条. 答案:C 5.过抛物线 y2=ax(a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点,若 PF 1 1 与 FQ 的长分别为 p、q,则 + 等于( p q ) A.2a 1 B. 2a D. 4 a C.4a ?a ? ? ? 解析:可采用特殊值法,设 PQ 过焦点 F? ,0?且垂直于 x 轴,则|PF|=p ?4 ? a a a a =xp+ = + = , 4 4 4 2 a 1 1 2 2 4 |QF|=q= ,∴ + = + = . 2 p q a a a 答案:D 6. [2014· 河北省衡水中学期中考试]已知抛物线 y=x2-1 上一定点 B(-1,0) 和两个动点 P,Q,当 BP⊥PQ 时,点 Q 的横坐标的取值范围是( A. (-∞,-3)∪[1,+∞) B. [-3,1] C. [1,+∞) D. (-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:本题主要考查直线垂直的条件和直线与抛物线的位置关系.设 P(t, t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,∴ t2-1 ?s2-1?-?t2-1? · =-1,即 t2+(s-1)t t+1 s-t ) -s+1=0,∵t∈R,P,Q 是抛物线上两个不同的点,∴必须有 Δ=(s-1)2+4(s -1)≥0,即 s2+2s-3≥0,解得 s≤-3 或 s≥1.∴点 Q 的横坐标的取值范围是 (-∞,-3]∪[1,+∞),故选 D. 答案:D 二、填空题 7.抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=1,则实数 a 的值是__________. 1 解析:抛物线 y=ax2 化为 x2= y, a 1 由于其准线方程为 y=1,故 a<0,且| |=1, 4a 1 解得 a=- . 4 答案:- 1 4 8.[2014· 四川省绵阳南山中学月考]抛物线 y2=2x 上的两点 A、B 到焦点的 距离之和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是________. 解析:本题主要考查抛物线的定义和基本性质的应用.抛物线 y2=2x 的焦 1 1 点为 F( ,0),准线方程为 x=- ,设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则|AF|+|BF|=x1 2 2 1 1 + +x2+ =5,解得 x1+x2=4,故线段 AB 的中点横坐标为 2.故线段 AB 的中 2 2 点到 y 轴的距离是 2. 答案:2 9.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A 为垂足,如果直线 AF 的斜率为- 解析:∵直线 AF 的斜率为- ∴∠PAF=60° . 又|PA|=|PF|, 3,那么|PF|=__________. 3, ∴△PAF 为正三角形,作 FM⊥PA,则 M 为 PA 中点,MA=p,∴PA=2p. ∴|PF|=|AP|=2p=8. 答案:8 三、解答题 p p 10.(1)求过点(- ,0)(p>0)且与直线 x= 相切的动圆圆心 M 的轨迹方程; 2 2 (2)平面上动点 M 到定点 F(0,3)的距离比 M 到直线 y=-1 的距离大 2,求 动点 M 满足的方程,并画出相应的草图. 解:(1)根据抛物线的定义知, p 圆心 M 的轨迹是以点(- ,0)为焦点, 2 p 直线 x= 为准线的抛物线, 2 其方程为 y2=-2px(p>0). (2)因为动点 M 到定点 F(0,3)的距离比点 M 到直线 y=-1 的距离大 2, 所以动点 M 到定点 F(0,3)的距离等于点 M 到直线 y=-3 的距离, 由抛物线的定义得动点 M 的轨迹是以定点 F(

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