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数学:《函数值域求法十一种》素材

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函数值域求法十一种

在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的 值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究 函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方 法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简, 事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下,供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例 1. 求函数

y?

1 x 的值域。
1 ?0 ∴x

解:∵ x ? 0

显然函数的值域是: (??,0) ? (0,??) 例 2. 求函数 y ? 3 ? x 的值域。 解:∵ x ? 0

? ? x ? 0,3 ? x ? 3

故函数的值域是: [??,3] 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例 3. 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。 2 解:将函数配方得: y ? ( x ? 1) ? 4

∵ x ?[?1,2] 由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当 x ? ?1时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8] 3. 判别式法

例 4. 求函数

y?

1 ? x ? x2 1 ? x 2 的值域。

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程

( y ? 1) x 2 ? ( y ? 1) x ? 0
(1)当 y ? 1 时, x ? R

? ? (?1) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 1) ? 0

1 3 ?y? 2 解得: 2
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?1 3? 1? ? , ? (2)当 y=1 时, x ? 0 ,而 ? 2 2 ?
例 5. 求函数 y ? x ? x (2 ? x ) 的值域。

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?1 3? ? , ? 故函数的值域为 ? 2 2 ?

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2 2 解:两边平方整理得: 2x ? 2( y ? 1) x ? y ? 0 (1)

∵ x ?R

2 ∴ ? ? 4( y ? 1) ? 8y ? 0

解得: 1 ? 2 ? y ? 1 ? 2 但此时的函数的定义域由 x(2 ? x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2
2 2 由 ? ? 0 ,仅保证关于 x 的方程: 2x ? 2( y ? 1) x ? y ? 0 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在

区间[0,2]上,即不能确保方程(1)有实根,由 ? ? 0 求出的范围可能比 y 的实际范围大,故不能确定此

?1 3? ? , ? 函数的值域为 ? 2 2 ? 。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵0? x ?2

? y ? x ? x (2 ? x ) ? 0

? y min ? 0, y ? 1 ? 2 代入方程(1)
x1 ? 2 ? 2 ? 24 2 2 ? [0,2]

解得:

即当

x1 ?

2 ? 2 ? 24 2 2 时, 原函数的值域为: [0,1 ? 2 ]

注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的 部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x ? 4 例 6. 求函数 5x ? 6 值域。
x?
解:由原函数式可得:

4 ? 6y 5y ? 3

则其反函数为:

y?

4 ? 6y 3 x? 5x ? 3 ,其定义域为: 5

3? ? ? ? ?, ? 5? 故所求函数的值域为: ?
5. 函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域。
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例 7. 求函数

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y?

ex ?1 e x ? 1 的值域。
ex ? y ?1 y ?1

解:由原函数式可得:
x ∵e ?0

y ?1 ?0 y ?1 ∴
解得: ? 1 ? y ? 1 故所求函数的值域为 (?1,1)

例 8. 求函数

y?

cos x sin x ? 3 的值域。

解:由原函数式可得: y sin x ? cos x ? 3y ,可化为:

y 2 ? 1 sin x ( x ? ?) ? 3y

sin x ( x ? ?) ?
即 ∵ x ?R

3y y2 ? 1

∴ sin x(x ? ?) ?[?1,1]

?1?


3y y2 ? 1

?1

解得:

?

2 2 ?y? 4 4

? 2 2? , ?? ? ? 4 4 ? ? 故函数的值域为 ?
6. 函数单调性法 例 9. 求函数 y ? 2
x ?5

? log 3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 x ?1

x ?5 解:令 y1 ? 2 , y 2 ? log 3

则 y1 , y 2 在[2,10]上都是增函数 所以 y ? y1 ? y 2 在[2,10]上是增函数

当 x=2 时,

y min ? 2 ?3 ? log 3 2 ? 1 ?

1 8

5 当 x=10 时, y max ? 2 ? log 3 9 ? 33

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?1 ? ? ,33? 故所求函数的值域为: ? 8 ?
例 10. 求函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的值域。

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y?
解:原函数可化为:

2 x ?1 ? x ?1

令 y1 ? x ? 1, y 2 ? x ? 1 ,显然 y1 , y 2 在 [1,??] 上为无上界的增函数 所以 y ? y1 , y 2 在 [1,??] 上也为无上界的增函数

2
所以当 x=1 时, y ? y1 ? y 2 有最小值 2 ,原函数有最大值 2 显然 y ? 0 ,故原函数的值域为 (0, 2 ] 7. 换元法

? 2

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。 例 11. 求函数 y ? x ? x ? 1 的值域。 解:令 x ? 1 ? t , (t ? 0)
2 则 x ? t ?1

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? 2 4 ∵
又 t ? 0 ,由二次函数的性质可知 当 t ? 0 时, y min ? 1 当 t ? 0 时, y ? ?? 故函数的值域为 [1,??)
2 例 12. 求函数 y ? x ? 2 ? 1 ? ( x ? 1) 的值域。

2 解:因 1 ? ( x ? 1) ? 0 2 即 ( x ? 1) ? 1

故可令 x ? 1 ? cos ?, ? ?[0, ?]
2 ∴ y ? cos ? ? 1 ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? 1

? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4

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0 ? ? ? ?,0 ? ? ?

? 5 ? ? 4 4

2 ? ? sin(? ? ) ? 1 2 4 ? ? 0 ? 2 sin(? ? ) ? 1 ? 1 ? 2 4 ??
故所求函数的值域为 [0,1 ? 2 ]

例 13. 求函数

y?

x3 ? x x 4 ? 2x 2 ? 1 的值域。

解:原函数可变形为:

y?

1 2x 1 ? x2 ? ? 2 1 ? x2 1 ? x2

2x 1? x2 ? sin 2?, ? cos 2 ? 2 x ? tg? ,则有 1 ? x 2 1? x 可令

1 1 ? y ? ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin 4? 2 4


??
??

k? ? 1 ? y max ? 4 2 8 时,
k? ? 1 ? y min ? ? 2 8 时, 4



而此时 tan ? 有意义。

? 1 1? ?? , ? 故所求函数的值域为 ? 4 4 ?

? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 的值域。 例 14. 求函数 y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1) ,
解: y ? (sin x ? 1)(cos x ? 1)

? sin x cos x ? sin x ? cos x ? 1
令 sin x ? cos x ? t ,则

sin x cos x ?

1 2 ( t ? 1) 2

1 1 y ? (t 2 ? 1) ? t ? 1 ? (t ? 1) 2 2 2
由 t ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ? / 4)

? ? ?? x ? ?? , ? ? 12 2 ? 且

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2 ?t? 2 可得: 2
∴当 t ? 2 时,

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y max ?

3 2 3 2 ? 2 t? y? ? 2 时, 4 2 2 ,当

?3 ? 2 3 , ? 2? ? ? 2 2 ?。 ?4 ? 故所求函数的值域为 ?
2 例 15. 求函数 y ? x ? 4 ? 5 ? x 的值域。
2 解:由 5 ? x ? 0 ,可得 | x |? 5

故可令 x ? 5 cos ?, ? ?[0, ?]

? y ? 5 cos ? ? 4 ? 5 sin ? ? 10 sin(? ? ) ? 4 4
∵0??? ?

? ? 5? ? ??? ? 4 4 4
当 ? ? ? 时, y min ? 4 ? 5

当 ? ? ? / 4 时, y max ? 4 ? 10

故所求函数的值域为: [4 ? 5 ,4 ? 10 ] 8. 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数 形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
2 2 例 16. 求函数 y ? ( x ? 2) ? ( x ? 8) 的值域。

解:原函数可化简得: y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 | 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2) B(?8) 间的距离之和。 , 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, y ?| x ? 2 | ? | x ? 8 |?| AB |? 10 故所求函数的值域为: [10,??]
2 2 例 17. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。

解:原函数可变形为:

y ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 2) 2 ? ( x ? 2) 2 ? (0 ? 1) 2
上式可看成 x 轴上的点 P(x,0) 到两定点 A(3,2), B(?2,?1) 的距离之和,
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2 2 由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时, y min ?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 43 ,

故所求函数的值域为 [ 43,??]

2 2 例 18. 求函数 y ? x ? 6x ? 13 ? x ? 4x ? 5 的值域。
2 2 2 2 解:将函数变形为: y ? ( x ? 3) ? (0 ? 2) ? ( x ? 2) ? (0 ? 1)

上式可看成定点 A(3,2)到点 P(x,0)的距离与定点 B(?2,1) 到点 P(x,0) 的距离之差。 即: y ?| AP | ? | BP | 由图可知: (1)当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P' ,则构成 ?ABP' ,根据三角
2 2 形两边之差小于第三边,有 || AP' | ? | BP' ||?| AB |? (3 ? 2) ? (2 ? 1) ? 26

即: ? 26 ? y ? 26 (2)当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有 || AP | ? | BP ||?| AB |? 26 综上所述,可知函数的值域为: (? 26 , 26 ]

注:由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使 A、B 两点在 x 轴的两侧,而求两距 离之差时,则要使 A,B 两点在 x 轴的同侧。 如:例 17 的 A,B 两点坐标分别为: (3,2) (?2,?1) ,在 x 轴的同侧;例 18 的 A,B 两点坐标分别 , 为(3,2) (2,?1) ,在 x 轴的同侧。 , 9. 不等式法
? 3 利用基本不等式 a ? b ? 2 ab , a ? b ? c ? 3 abc (a , b, c ? R ) ,求函数的最值,其题型特征解析式是

和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 19. 求函数

y ? (sin x ?

1 2 1 2 ) ? (cos x ? ) ?4 sin x cos x 的值域。

解:原函数变形为:
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y ? (sin 2 x ? cos 2 x ) ? ? 1 ? ces 2 x ? sec 2 x ? 3 ? tan 2 x ? cot 2 x ? 3 3 tan 2 x cot 2 x ? 2 ?5
当且仅当 tan x ? cot x 即当

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1 1 ? 2 sin x cos 2 x

x ? k? ?

? 4 时 (k ? z) ,等号成立

故原函数的值域为: [5,??) 例 20. 求函数 y ? 2 sin x sin 2x 的值域。
2 解: y ? 4 sin x sin x cos x ? 4 sin x cos x

y ? 16 sin 4 x cos 2 x ? 8 sin 2 x sin 2 x (2 ? 2 sin 2 x ) ? 8[(sin 2 x ? sin 2 x ? 2 ? 2 sin 2 x ) / 3]3 ? 64 27
2 2

当且仅当 sin x ? 2 ? 2 sin x ,即当

sin 2 x ?

2 3 时,等号成立。

64 8 3 8 3 y ? ? ?y? 9 9 27 可得: 由
2

? 8 3 8 3? , ?? ? 9 9 ? ? ? 故原函数的值域为: ?

10. 一一映射法

原理:因为

y?

ax ? b (c ? 0) cx ? d 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,

就可以求另一个变量范围。

例 21. 求函数

y?

1 ? 3x 2x ? 1 的值域。

1 1? ? 1 ? 3x x ? 1 ? y ?x | x ? ? 或x ? ? ? y? 2y ? 3 2 2? 由 2x ? 1 得 解:∵定义域为 ?
x?


1? y 1? y 1 1 ?? x? ?? 2y ? 3 2或 2y ? 3 2

3 3 y ? ? 或y ? ? 2 2 解得

3? ? 3 ? ? ? ? ?,? ? ? ? ? ,??? 2? ? 2 ? 故函数的值域为 ?
11. 多种方法综合运用

例 22. 求函数

y?

x?2 x ? 3 的值域。
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2 解:令 t ? x ? 2 ( t ? 0) ,则 x ? 3 ? t ? 1

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y?
(1)当 t ? 0 时,

t 1 1 ? ? 1 t ?1 t ? 1 2 0? y? t 2 ,当且仅当 t=1,即 x ? ?1时取等号,所以
2

(2)当 t=0 时,y=0。

? 1? ?0, ? 综上所述,函数的值域为: ? 2 ?
注:先换元,后用不等式法

例 23. 求函数

y?

1 ? x ? 2x 2 ? x 3 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 的值域。
? x ? ? ? 1? x2 ?
2

?1? x2 1 ? 2x 2 ? x 4 x ? x3 ?? y? ? 2 ? 1 ? 2x 2 ? x 4 1 ? 2x 2 ? x 4 ? 1 ? x 解:
?1? x2 ? ? x ? tan 2 ? 2 ,则 ? 1 ? x 令 ? ? ? cos 2 ? ? ?
2

x 1 ? sin ? 2 2 1? x
∴当

1? 17 ? 1 1 ? y ? cos ? ? sin ? ? ? sin 2 ? ? sin ? ? 1 ? ?? sin ? ? ? ? 4? 16 ? 2 2
2

2

sin ? ?

1 17 y max ? 16 4 时,

当 sin ? ? ?1 时, y min ? ?2

此时

tan

17 ? ? ? ?? 2, 16 ? ? 2 都存在,故函数的值域为 ?

注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用 sin ? 的有界性。 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一 般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

练习 1:设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm2,画面的宽与高的比为λ (λ <1),画面的上、下各留 8 cm 的空白,左右各留 5 cm 空白,怎样确定画面的高与宽尺寸,才能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求

2 3 λ ∈[ , ] ,那么λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小? 3 4
练习 2:已知函数 f(x)= (1)当 a=

x2 ? 2x ? a ,x∈[1,+∞ ) x

1 时,求函数 f(x)的最小值. 2

(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 练习 3:一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长 400 千米,为了

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安全,两列货车间距离不得小于( 货车的车身长)

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V 2 ) 千米 ,那么这批物资全部运到 B 市,最快需要_________小时(不计 20

练习 4:某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加 2500 元,市场对此商品年需求量为 500 台,销售的收入函数为 R(x)=5x- 品售出的数量(单位:百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本? 练习 5:某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按 120 个工时计算) 生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如 下表: 家电名称 工时 产值(千元) 空调器 彩电 冰箱

1 2 x (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产 2

1 2
4

1 3
3

1 4
2

问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位) 练习 6:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这 两个圆锥的侧面积之积为 S1,△ABC 的内切圆面积为 S2,记

BC ? CA =x. AB

(1)求函数 f(x)=

S1 的解析式并求 f(x)的定义域. S2

(2)求函数 f(x)的最小值.

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