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9-1第1讲 直线的倾斜角、斜率及方程


第9章

第1讲

直线的倾斜角、斜率及方程

一、选择题 1.下列命题中真命题为( )

A.过点 P(x0,y0)的直线都可表示为 y-y0=k(x-x0) B.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线都可表示为(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1) C.过点(0,b)的所有的直线都可表示为 y=kx+b x y D.不过原点的所有的直线都可表示为 + =1 a b 2.直线 l 过点(-1,2)且与直线垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 )

B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 ) C.y=-2x-3 ) D.y=-2x-2

x 3.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 B.y=2x-1

4.若直线 ax+by+c=0 过第一、二、三象限,则( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0 )

5.已知直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0).总可以作为 l 的方向向量为( A A.(1, ) B A B.(1,- ) B C.(A,B)

D.(B,-A)

6.直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜 角的 2 倍,则( ) B.A=- 3,B=-1 D.A=- 3,B=1

A.A= 3,B=1 C.A= 3,B=-1 二、填空题

7.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线 l 的倾斜角的取值范围是________. 8.直线 l 的倾斜角为 45° ,且过点(4,-1),则这条直线被 坐标轴截得的线段长是________. 2π 9.已知直线 l 的倾斜角是 ,在 x 轴上的截距是-2,则 l 的方程为________. 3 3 10.直线 l 的斜率为 ,l 与坐标轴围成的三角形周长是 12,则 l 的方程________. 4
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三、解答题 11.求下列直线 l 的方程: 3 (1)过点 A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5 (2) 过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交点.

12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). ( 1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程.

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第9章

第1讲

直线的倾斜角、斜率及方程

一、选择题 1.下列命题中真命题为( )

A.过点 P(x0,y0)的直线都可表示为 y-y0=k(x-x0) B.过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线都可表示为(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1) C.过点(0,b)的所有的直线都可表示为 y=kx+b x y D.不过原点的所有的直线都可表示为 + =1 a b [解析] 对直线方程点斜式适用范围是 直线不垂直 x 轴, A 错, 故 对直线方程斜截式适 用范围是直线不垂直于 x 轴,故 C 错,对直线方程截距式适用范围是直线不垂直于坐标轴, 不过原点,故 D 错.[答案] B 2.(2009· 安徽卷文)直线 l 过点(-1,2)且与直线垂直,则 l 的方程是( A.3x+2y-1=0 C.2x-3y+5=0 B.3x+2y+7=0 D.2x-3y+8=0 )

3 3 [解析] 可得 l 斜率为- ,∴l∶y-2=- (x+1)即 3x+2y-1=0,选 A.[答案] A 2 2 x 3.(2010· 课标全国,3)曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为( x+2 A.y=2x+1 C.y=-2x-3 B.y=2x-1 D.y=-2x-2 )

?x+2?-x x 2 [解析] 由 y= ,得 y′= ,所以在点(-1,-1)处切线的斜率 k 2 = x+2 ?x+2? ?x+2?2 =y′|x=-1=2,由点斜式方程,得切线方程为 y+1=2(x+1),即 y=2x+1.故选 A.[答案] A 4.若直线 ax+by+c=0 过第一、二、三象限,则( A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0 )

B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

a c [解析] 由题画出图象,由题有 a、b≠0,故 y=- x- , b b a c 结合图象有- >0,- >0, b b 所以 ab<0,bc<0 ,故选 D.[答案] D

3

5.已知直线 l:Ax+By+C=0(A、B 不同时为 0).总可以作为 l 的方向向量为( A A.(1, ) B [答案] D A B.(1,- ) B C.(A,B)

)

D.(B,-A)

6.直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜 角的 2 倍,则( ) B.A=- 3,B=-1 D.A=- 3,B=1

A.A= 3,B=1 C.A= 3,B=-1

A 1 1 [解析] 将直线方程化成 y=- x+ ∵ =-1,∴B=-1,∴否定 A、D. B B B 2 2π 又直线 3x-y=3 3的倾斜角 α= , ∴l 的倾斜角 2α= . 3 3 A 2π ∴l 的斜率- =tan =- 3 B 3 二、填空题 7.直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)两点(m∈R),那么直线 l 的倾斜角的取值范围是________. m2-1 [解析] k=tanα= =1-m2≤1, 1-2 π π ∴α∈[0, ]∪( ,π) 4 2 π π [答案] [0, ]∪( ,π) 4 2 8.直线 l 的倾斜角为 45° ,且过点(4,-1),则这条直线被 坐标轴截得的线段长是________. [解析] 由题 y-(-1)=tan45° (x-4),所以 y=x-5, 所以直线与两坐标轴的交点为 A(5,0)、B(0,-5), 所以线段的长为|AB|= ?5-0?2+?0+5?2=5 2. [答案] 5 2 ∴A=- 3 [答案] B

2π 9.已知直线 l 的倾斜角是 ,在 x 轴上的截距是-2,则 l 的方程为________. 3 2π [解析] 直线 l 的斜率 k=tan =- 3,且过点(-2,0). 3 ∴l 的方程为 y-0=- 3(x+2),即 3x+y +2 3=0 [答案] 3x+y+2 3=0.

3 10.直线 l 的斜率为 ,l 与坐标轴围成的三角形周长是 12,则 l 的方程________. 4 3 4 5 [解析] l:y= x+b,∴|b|+ |b|+ |b|=12, 4 3 3 ∴|b|=3,∴l:3x-4y+12=0. [答案] 3x-4y+12=0

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三、解答题 11.求下列直线 l 的方程: 3 (1)过点 A(0,2),它的倾斜角的正弦是 ; 5 (2) 过点 A(2,1)和直线 x-2y-3=0 与 2x-3y-2=0 的交点. 3 3 3 [解] (1)设直线 l 的倾斜角为 α,则 sinα= ,tanα=± ,由斜截式得 y=± x+2, 5 4 4 即 3x-4y+8=0 或 3x+4y-8=0.
? ? ?x-2y-3=0, ?x=-5, (2)解方程组? 得? 即两条直线的交点为(-5 ,-4). ?2x-3y-2=0, ?y=-4. ? ?

y-1 x-2 由两点式得 = ,即 5x-7y-3=0. -4-1 -5-2 12.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). ( 1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值 并求此时直线 l 的方程.
?x+2=0 ?x=-2 ? ? ( 1)[证明] 直线 l 的方程是:k(x+2)+(1-y)=0,令? 解之得? ? ? ?1-y=0 ?y=1

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k (2)[解] 当 k≠0 时,由方程知,直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上的截距为 1 k

?-1+2k<0 ? k +2k,要使直线不经过第四象限,则必须有? ∴k>0 ? ?1+2k>0
当 k=0,显然符合题意,∴综上,k 取值范围 k≥0.

?-1+2k<0 ? 1+2k k (3)[解] 由 l 的方程,得 A(- ,0),B(0,1+2k).依题意得? k ? ?1+2k>0,
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解得 k>0.

1 1 ?1+2k? 1 ?1+2k? 1 1 1 ∵S= · |OB|= · |OA|· · |1+2k|= · = (4k+ +4)≥ (2×2+4)=4, 2 2? k ? 2 k 2 k 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k = ,∴Smin=4,此时 l:x-2y+4=0. k 2

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