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第九章直线、平面、简单几何体复习资料


第九章 直线、平面、简单几何体 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5(A) 9.6(A) 9.7(A) 9.8(A)距离 9.9 研究性学习课题: 多面体欧拉定理的发现 9.10 阅读材料:向量概念的推广与应用(A)/欧拉公式和正多面体的种类;

第九章

直线、平面、简单几何体

课时一: 平面的基本性质。 课时二:空间的平行直线与异面直线。 课时三:直线和平面平行与平面和平面平行。 课时四:直线和平面垂直。 课时五:空间向量及其运算。 课时六、七:空间向量的坐标运算。 课时八:直线和平面所成的角与二面角。 课时九:距离。 课时十:棱柱与棱锥、球。

课时一: 平面的基本性质
教学目的: 1.掌握平面的概念、画法、平面的性质、平面与空间图形 2.进一步掌握“点线共面”的证明方法. 理解公理三的三个推论. 3.将三条定理及三个推论用符号语言表述,提高几何语言水平. 4.通过公理 3 导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力. 教学重点:用反证法和同一法证明命题的思路. 教学难点:对公理 3 的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式. 教学过程: 一、讲解新课: 1.平面的概念:平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性. 2.平面的画法及其表示方法: ①常用平行四边形表示平面.通常把平行四边形的锐角画成 45? , 横边画成邻 边的两倍.画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把 被遮住的部分画成虚线或不画. ②一般用一个希腊字母 ? 、 ? 、? ??来表示,还可用平行四边形的对角顶 点的字母来表示如平面 AC 等. 3.空间图形是由点、线、面组成的. 点、线、面的基本位置关系如下表所示: 图形 符号语言

文字语言(读法) 点 A 在直线 a 上. 点 A 不在直线 a 上.

A
A

a
a

A? a A? a

? A
?
A

A ??

点 A 在平面 ? 内.

A
b a

A ??

点 A 不在平面 ? 内. 直线 a 、 b 交于 A 点. 直线 a 在平面 ? 内.

a ?b ? A

?
?

a
a

a ??

a ?? ? ?

直线 a 与平面 ? 无公共点.

?

a

A

a ?? ? A

直线 a 与平面 ? 交于点 A .

? ?? ?l

平面 ? 、 ? 相交于直线 l .

a ? ? (平面 ? 外的直线 a )表示 a ? ? ? ? 或 a ? ? ? A
4 .平面的基本性质 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内, 那么这条直线上的所有点都在这 个平面内. 推理模式:

A ?? ? ? ? AB ? ? .如图示: B ?? ?

?

A B

应用:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面. 公理 1 说明了平面与曲面的本质区别. 通过直线的 “直” 来刻划平面的 “平” , 通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性” ,它既是判断直线在平面 内,又是检验平面的方法. 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些 公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 推理模式:

A ?? ? ? ? ? ? ? ? l 且 A ? l 且 l 唯一.如图示: A? ? ?

应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上. 公理 2 揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了 确定两个平面交线的方法. 公理 3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推理模式: A, B, C 不共线 ? 存在唯一的平面 ? ,使得 A, B, C ?? .

应用:①确定平面;②证明两个平面重合. “有且只有一个”的含义分两部分理解, “有”说明图形存在,但不唯一, “只有 一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在, “有且只 有一个” 既保证了图形的存在性, 又保证了图形的唯一性. 在数学语言的叙述中, “确定一个”“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在 , 证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证. 5 .平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称 这个图形为平面图形,否则称为空间图形. 推论 1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知:直线 l ,点 A 是直线 l 外一点. 求证:过点 A 和直线 l 有且只有一个平面. 证明: (存在性) :在直线 l 上任取两点 B 、 C , ∵ A ? l ,∴ A, B, C 不共线. 由公理 3,经过不共线的三点 A, B, C 可确定一个平面 ? , ∵点 B, C 在平面 ? 内,根据公理 1, ∴ l ? ? ,即平面 ? 是经过直线 l 和点 A 的平面. (唯一性) :∵ B, C ? l , l ? ? , A ? ? ,∴点 A, B, C ?? , 由公理 3,经过不共线的三点 A, B, C 的平面只有一个, 所以,经过 l 和点 A 的平面只有一个. 推理模式: A ? a ? 存在唯一的平面 ? ,使得 A ? ? , l ? ? . 推论 2 经过两条相交直线有且只有一个平面. 已知:直线 a ? b ? P . 求证:过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面. 证明: (存在性) :在直线 a 上任取一点 A,直线 b 上任取一点 B , ∵ a ? b ? P ,∴ A, B, P 不共线. 由公理 3,经过不共线的三点 A, B, P 可确定一个平面 ? , ∵点 A, B, P 在平面 ? 内,根据公理 1, ∴ a, b ? ? ,即平面 ? 是经过直线 a 和直线 b 的平面. (唯一性) :∵ a ? b ? P , A ? a, B ? b , a, b ? ? , ∴点 A, B, P ?? , 由公理 3,经过不共线的三点 A, B, P 的平面只有一个,

所以,经过直线 a 和直线 b 的平面只有一个. 推理模式: a ? b ? P ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a, b ? ? . 推论 3 经过两条平行直线有且只有一个平面. 已知:直线 a // b . 求证:过直线 a 和直线 b 有且只有一个平面. 证明: (存在性) : ∵ a // b ∴由平行线的定义,直线 a 和直线 b 在同一个平面 ? 内, 即平面 ? 是经过直线 a 和直线 b 的平面. (唯一性) :取 A, C ? a , B ? b , ∵ a, b ? ? , a // b ∴点 A,B,C 不共线且 A, B, C ?? , 由公理 3,经过不共线的三点 A, B, C 的平面只有一个, 所以,经过直线 a 和直线 b 的平面只有一个. 推理模式: a // b ? 存在唯一的平面 ? ,使得 a, b ? ? . 二、讲解范例: 例 1 将下列文字语言转化为符号语言: (1)点 A 在平面 ? 内,但不在平面 ? 内; (2)直线 a 经过平面 ? 外一点 M ; (3)直线 l 在平面 ? 内,又在平面 ? 内.(即平面 ? 和 ? 相交于直线 l .) 解: (1) A ? ? , A ? ? ; (2) M ? a , M ? ? ; (3) l ? ? , l ? ? .(即 ? ? ? = l ) 例 2 点 A? 平面 BCD ,E , F , G, H 分别是 AB, BC, CD, DA 上的点,若 EH 与 FG 交 于 P (这样的四边形 ABCD 就叫做空间四边形) . 求证: P 在直线 BD 上. 证明:∵ EH ? FG ? P ,∴ P ? EH , P ? FG ,

A E H D G B F C P

∵ E , H 分别属于直线 AB, AD , ∴ EH ? 平面 ABD ,∴ P ? 平面 ABD , 同理: P ? 平面 CBD , 又∵平面 ABD ? 平面 CBD ? BD , 所以, P 在直线 BD 上. 例 3 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知:直线 AB, BC , CA 两两相交,交点分别为 A, B, C .

求证:直线 AB, BC , CA 共面.

C ?

B

A

证法一:∵直线 AB ? AC ? A ,∴直线 AB 和 AC 可确定平面 ? , ∵ B ? AB , C ? AC ,∴ B ? ? , C ? ? , ∴ BC ? ? ,即 AB, BC, CA ? ? 即直线 AB, BC , CA 共面. 证法二:因为 A ? 直线 BC 上,所以过点 A 和直线 BC 确定平面α . (推论 1) 因为 A∈α ,B∈BC,所以 B∈α .故 AB α , 同理 AC α , 所以 AB,AC,BC 共面. 证法三: 因为 A,B,C 三点不在一条直线上,所以过 A,B,C 三点可以确定平面α . 因为 A∈α ,B∈α ,所以 AB α . 同理 BC α ,AC α ,所以 AB,BC,CA 三直线共面. 问题:在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略,为什么? 例 4 若 ? ? ? ? l , A, B ? ? , c ? ? ,试画出平面 ABC 与平面 ? , ? 的交线. 解: (1)若 AB ? l ? D 时,如图(1)(2)若 AB // l 时,如图(2). ;

三、课堂练习: 1.选择题 (1)下列图形中不一定是平面图形的是 ( ) (A)三角形 (B)菱形 (C)梯形 (D)四边相等的四边形 (2)空间四条直线,其中每两条都相交,最多可以确定平面的个数是( (A)一个 (B)四个 (C)六个 (D)八个 (3)空间四点中,无三点共线是四点共面的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要 (4)若 a??,b??,?∩?=c,a∩b=M,则 ( ) (A)M?c (B)M?c (C)M?? (D)M?? 2.已知直线 a//b//c,直线 d 与 a、b、c c 分别相交于 A、B、C,求证:a、b、c、d c' C 四线共面. B b

)

?

A

d

a

3.求证:一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点. 4 在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,① AA1 与 CC1 是否在同 一平面内?②点 B, C1 , D 是否在同一平面内?③画出平 面 AC1 与平面 BC1 D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的
C1 B C D B1 D1 A A1

交线. 四、小结:平面的概念、画法、平面的性质、平面与空间图形 公理 3 的三个推论是以公理 3 为主要的推理论证的依据, 是命题间逻辑关系的体 现

课时二:空间的平行直线与异面直线
教学目的: 1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念; 2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法. 3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离 教学重点:两异面直线的公垂线及距离的概念. 教学难点:两异面直线所成角及距离的求法. 一、讲解新课: 1 空间两直线的位置关系 (1)相交——有且只有一个公共点; (2)平行——在同一平面内,没有公共点; (3)异面——不在任何一个平面内,没有公共点; 2.公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行
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推理模式: a // b, b // c ? a // c . 3.等角定理: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同, 那么这两个角相 等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐 角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法
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a b

b a
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b
A1

D1 B1 D A B

C1 C

a

6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平 面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ? AB 与 l 是异面直线
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7.异面直线所成的角:已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 O

a b
O

b′

? ? ? ? ? ? 作直线 a // a, b // b , a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 a , b 所成的锐角(或直
角)叫异面直线 a , b 所成的角(或夹角) .为了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 异面
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(0, ] 2 直线所成的角的范围:

?

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8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面 直线 a , b 垂直,记作 a ? b . 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求 10.两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交的直线, 我们称之为异面直线的公 D1 C1 A1 垂线 B1 理解:因为两条异面直线互相垂直时,它们不一定相交,所以 D C 公垂线的定义要注意“相交”的含义. A B 定义: 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段 (公 垂线段)的长度,叫做两条异面直线间的距离. 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解范例: 例 1 设图中的正方体的棱长为 a (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA1 成异面直线? (2)求直线 BA1 和 CC1 所成的角的大小. (3)求异面直线 BC 和 AA1 的距离.
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解: (l)∵A1 不在平面 BC1,而点 B 和直线 CC1 都在平面 BC1 内,且 B ? CC1. ∴直线 BA1 与 CC1 是异面直线. 同理,直线 C1D1、D1D、DC、AD、B1C1 都和直线 BA1 成异面直线. (2)∵CC1∥BB1 ∴BA1 和 BB1 所成的锐角就是 BA1 和 CC1 所成的角. ∵∠A1BB1=45°, ∴BA1 和 CC1 所成的角是 45°. D1 C1 (3)∵AB⊥AA1,AB∩AA1=A, A1 B1 又∵AB⊥BC,AB∩BC=B, ∴AB 是 BC 和 AA1 的公垂线段. D C ∵AB=a, A B ∴BC 和 AA1 的距离是 a. 说明:本题是判定异面直线,求异面直线所成角与距离的综合题,解题时要注意书写规范. 例 2 已知 E , F , G, H 分别是空间四边形四条边 AB, BC, CD, DA 的中点,
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(1)求证四边形 EFGH 是平行四边形

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(2)若 AC⊥BD 时,求证: EFGH 为矩形;

(3)若 BD=2,AC=6,求 EG ? HF ;
2 2

(4)若 AC、BD 成 30?角,AC=6,BD=4,求四边形 EFGH 的面积; (5)若 AB=BC=CD=DA=AC=BD=2,求 AC 与 BD 间的距离. 证明(1) :连结 AC , BD , ∵ E , F 是 ?ABC 的边 AB, BC 上的中点,
E A H D F G C

∴ EF // AC ,
B

同理, HG // AC ,∴ EF // HG , 同理, EH // FG , 所以,四边形 EFGH 是平行四边形

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证明(2) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵ EF // AC , EH // BD ∴由 AC⊥BD 得, EF ? EH ∴ EFGH 为矩形. 解(3) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=2,AC=6,

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A E B F C H D G

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EF ?


1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 1 2 2
2 2 2 2

∴由平行四边形的对角线的性质 EG ? HF ? 2( EF ? EH ) ? 20 . 解(4) :由(1)四边形 EFGH 是平行四边形 ∵BD=4,AC=6,
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EF ?


1 1 AC ? 3, EH ? BD ? 2 2 2

又∵ EF // AC , EH // BD ,AC、BD 成 30?角, ∴EF、EH 成 30?角, ∴四边形 EFGH 的面积 S ? EF ? EH sin 30 ? 3 .
0

解(5) :分别取 AC 与 BD 的中点 M、N,连接 MN、MB、MD、NA、NC, ∵AB=BC=CD=DA=AC=BD=2, ∴MB=MD=NA=NC= 3 ∴ MN ? AC, MN ? BD ∴MN 是 AC 与 BD 的公垂线段 且 MN ?

A

M B N C D

MB2 ? NB 2 ? 2

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∴AC 与 BD 间的距离为 2 .

例 3 空间四边形 ABCD 中, AD ? BC ? 2 , E , F 分别是 AB, CD 的中点, EF ? 3 ,求
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异面直线 AD, BC 所成的角

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解:取 BD 中点 G ,连结 EG, FG, EF ,∵ E , F 分别是 AB, CD 的中点,

1 1 EG ? AD ? 1, FG ? BC ? 1 2 2 ∴ EG // AD, FG // BC, 且 ,
∴异面直线 AD, BC 所成的角即为 EG, FG 所成的角,

A E B

G
F

D

在 ?EGF 中,

cos ?EGF ?
?

EG ? FG ? EF 1 ?? 2 EG ? FG 2,
2 2 2
?

C

∴ ?EGF ? 120 ,异面直线 AD, BC 所成的角为 60 . 说明:异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形 ?EGF 内角 ?EGF 是钝角时,表示异面 直线 AD, BC 所成的角是它的补角

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例 4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求(1)A1B 与 B1D1 所成角;(2)AC 与 BD1 所成角. 解(1)如图,连结 BD,A1D, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体,∴DD1 平行且相等 BB1. ∴DBB1D1 为平行四边形,∴BD//B1D1. ∴A1B,BD,A1D 是全等的正方形的对角线. ∴A1B=BD=A1D,△A1BD 是正三角形, ∴∠A1BD=60o, ∵∠A1BD 是锐角, ∴∠A1BD 是异面直线 A1B 与 B1D1 所成的角. ∴A1B 与 B1D1 成角为 60o. (2)连 BD 交 AC 于 O,取 DD1 中点 E,连 EO,EA,EC. ∵O 为 BD 中点,∴OE//BD1. ∵∠EDA=90o=∠EDC,ED=ED,AD=DC,∴△EDA≌△EDC,∴EA=EC.

在等腰△EAC 中,∵O 是 AC 的中点,∴EO⊥AC,∴∠EOA=90o. 又∴∠EOA 是异面直线 AC 与 BD1 所成角,∴AC 与 BD 成角 90o. 三、课堂练习: 1.判断题(对的打“√” ,错的打“×” ) (1)垂直于两条异面直线的直线有且只有一条 ( ) (2)两线段 AB、CD 不在同一平面内,如果 AC=BD,AD=BC,则 AB⊥CD( ) (3)在正方体中,相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为 60? ( ) (4)四边形的一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直 ( ) 2.右图是正方体平面展开图,在这个正方体中 N ①BM 与 ED 平行; D C M ②CN 与 BE 是异面直线; ③CN 与 BM 成 60?角; E A B ④DM 与 BN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是 ( ) F (A)①②③ (B)②④ (C)③④ (D)②③④ 3 平行四边形 ABCD 的内角 C=60°,CD=2BC,沿对角线 BD 将平行四边形所在平面折成直二 面角;求 AC、BD 所成的角.翰林汇
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4.在长方体 ABCD ? A?B ?C ?D 中,已知 AB=a,BC=b, AA? =c(a>b),求异面直线 D ?B 与 AC 所成角的余弦值
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四、小结 :本节课我们学习了两条异面直线所成的角,以及两条异面直线间的距离和有关 概念.并学会如何求两条异面直线所成角及距离,懂得将其转化为平面几何问题来解决 空 间四边形的中点四边形为平行四边形、矩形、菱形的条件,以及与对角线的长度夹角有关的 问题的解法
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课时三:直线和平面平行与平面和平面平行
学习目标 1 掌握空间直线和平面的位置关系; 2 掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定 理实现“线线” “线面”平行的转化 3 掌握空间两个平面的位置关系,掌握两个平面平行的定义;
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4 掌握两个平面平行的判定定理及性质定理,灵活运用面面平行的判定定理和性质定理
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实现“线面” “面面”平行的转化
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知识点归纳 1.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点) ;符号表示为: a ? ? ,
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(2)直线和平面相交(有且只有一个公共点) ;符号表示为: a ? ? ? A , (3)直线和平面

平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. 符号表示为: a // ? . 2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行. 推理模式: l ? ? , m ? ? , l // m ? l // ? . 3 线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交, 那么这条直线和交线平行.
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推理模式: l // ? , l ? ? , ? ? ? ? m ? l // m . 4.平行平面:如果两个平面没有公共点,那么这两个平面互相平行. 5.图形表示:画两个平面平行时,通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画 成平行的. 6.平行平面的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面,那么 这两个平面互相平行. 推理模式: a ? ? , b ? ? , a ? b ? P , a // ? , b // ? ? ? // ? . : 7 平行平面的判定定理推论:如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两 条相交直线,那么这两个平面互相平行. 推理模式:
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a ? b ? P, a 刎? , b ? , a? ? b? ? P?, a? 刎? , b?

? , a // a?, b // b? ? ? // ? .

8.平行平面的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 推理模式: ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b ? a // b . 9 面面平行的另一性质: 如果两个平面平行, 那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
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推理模式: ? // ? , a ? ? ? a // ? . 题型讲解 例 1 如下图,两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于 AB,M∈AC,N∈ FB 且 AM=FN,求证:MN∥平面 BCE 证法一:过 M 作 MP⊥BC,NQ⊥BE,P、Q 为垂足,连结 PQ ∵MP∥AB,NQ∥AB,∴MP∥NQ
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2 2 BN= CM=MP, 2 2 ∴MPQN 是平行四边形 ∴MN∥PQ,PQ ? 平面 BCE
又 NQ=
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A D M P B Q N

F

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E

而 MN ? 平面 BCE, ∴MN∥平面 BCE 证法二:过 M 作 MG∥BC,交 AB 于点 G(如下图) ,连结 NG ∵MG∥BC,BC ? 平面 BCE,
C
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MG ? 平面 BCE, ∴MG∥平面 BCE
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A D M B C G N

F

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E



BG CM BN = = , GA MA NF
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∴GN∥AF∥BE, 同样可证明 GN∥平面 BCE 又面 MG∩NG=G, ∴平面 MNG∥平面 BCE 又 MN ? 平面 MNG ∴MN∥平面 BCE
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点评: 证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法: ①利用直线和平面平行的判定定 理,通过“线线”平行,证得“线面”平行;②利用两平面平行的性质定理,通过“面面” 平行,证得“线面”平行 例 2 如下图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1、BC1 上分别有两点 E、 F,且 B1E=C1F 求证:EF∥平面 ABCD 证法一:分别过 E、F 作 EM⊥AB 于点 M,FN⊥BC 于点 N,连结 MN ∵BB1⊥平面 ABCD, D1 C1 ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC A1 B1 ∴EM∥BB1,FN∥BB1 ∴EM∥FN F E G 又 B1E=C1F,∴EM=FN D C 故四边形 MNFE 是平行四边形 N A B ∴EF∥MN 又 MN 在平面 ABCD 中, M ∴EF∥平面 ABCD
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证法二:过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于点 G,连结 GF,则

B1 E B1G = B1 A B1 B

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∵B1E=C1F,B1A=C1B,∴
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C1 F B1G = C1 B B1 B

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∴FG∥B1C1∥BC 又∵EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴平面 EFG∥平面 ABCD 而 EF 在平面 EFG 中, ∴EF∥平面 ABCD 点评:证明线面平行的常用方法是:证明直线平行于平面内的一条直线;证明直线所在 的平面与已知平面平行 例 3 已知正四棱锥 P—ABCD 的底面边长及侧棱长均为 13,M、N 分别是 PA、BD 上 的点,且 PM∶MA=BN∶ND=5∶8 P (1)求证:直线 MN∥平面 PBC; (2)求直线 MN 与平面 ABCD 所成的角 M (1)证明:∵P—ABCD 是正四棱锥,∴ABCD 是正方形 连结 AN 并 C D 延长交 BC 于点 E,连结 PE N A ∵AD∥BC,∴EN∶AN=BN∶ND B
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又∵BN∶ND=PM∶MA, ∴EN∶AN=PM∶MA ∴MN∥PE 又∵PE 在平面 PBC 内,∴MN∥平面 PBC (2)解:由(1)知 MN∥PE,∴MN 与平面 ABCD 所
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P M C N E B

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D A

成 的

角就是 PE 与平面 ABCD 所成的角 设点 P 在底面 ABCD 上的射影为 O,连结 OE,则∠PEO 为 PE 与平面 ABCD 所成的角
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由正棱锥的性质知 PO= PB 2 ? OB 2 = 由(1)知,BE∶AD=BN∶ND=5∶8, ∴BE=

13 2 2

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65 8

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在△PEB 中,∠PBE=60°,PB=13,BE= 根据余弦定理,得 PE=
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65 , 8
P M C N E B

91 8 13 2 91 在 Rt△POE 中,PO= ,PE= , 2 8 PO 4 2 ∴sin∠PEO= = 7 PE 4 2 故 MN 与平面 ABCD 所成的角为 arcsin 7
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D A

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点评:证线面平行,一般是转化为证线线平行 求直线与平面所成的角一般用构造法, 作出线与面所成的角 本题若直接求 MN 与平面 ABCD 所成的角,计算困难,而平移转化为 PE 与平面 ABCD 所成的角则计算容易 可见平移是求线线角、线面角的重要方法 当然,也可以建 立坐标系,用向量法求角,后面有专门的介绍 例 4 如下图,设 a、b 是异面直线,AB 是 a、b 的公垂线,过 AB 的中点 O 作平面α 与 a、b 分别平行,M、N 分别是 a、b 上的任意两点,MN 与α 交于点 P,求证:P 是 MN 的中点 M a A 证明:连结 AN,交平面α 于点 Q,连结 PQ ∵b∥α ,b ? 平面 ABN,平面 ABN∩α =OQ, O ∴b∥OQ 又 O 为 AB 的中点, P Q ? ∴Q 为 AN 的中点 B ∵a∥α ,a ? 平面 AMN 且平面 AMN∩α =PQ,
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∴a∥PQ ∴P 为 MN 的中点 点评:本题重点考查直线与平面平行的性质 例 5 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点, 求证:EF∥平面 ABC; A1 (2)求证:A1C1⊥AB; B1 (3)求点 B1 到平面 ABC1 的距离 F E (1)证明:∵E、F 分别为 AB1、BC1 的中点, ∴EF∥A1C1 ∵A1C1∥AC,∴EF∥AC ∴EF∥平面 ABC A B (2)证明:∵AB=CC1,∴AB=BB1 又三棱柱为直三棱柱, ∴四边形 ABB1A1 为正方形 连结 A1B,则 A1B⊥AB1 又∵AB1⊥BC1,∴AB1⊥平面 A1BC1
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N

b

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C1 G

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C

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∴AB1⊥A1C1 又 A1C1⊥AA1,∴A1C1⊥平面 A1ABB1 ∴A1C1⊥AB (3)解:∵A1B1∥AB,∴A1B1∥平面 ABC1 ∴A1 到平面 ABC1 的距离等于 B1 到平面 ABC1 的距离 过 A1 作 A1G⊥AC1 于点 G, ∵AB⊥平面 ACC1A1, ∴AB⊥A1G 从而 A1G⊥平面 ABC1,
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故 A1G 即为所求的距离,即 A1G=

a b

b2 ? a2

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评述:本题(3)也可用等体积变换法或向量法求解 例 6 如图,正方形 ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互相垂直,
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点 M 在直线 AC 上移动,点 N 在 BF 上移动,若 CM=BN=a, (0<a< 2 ) ⑴求证: MN∥平面 CBE ⑵求 MN 的长度 ⑶当 a 为何值时,MN 的长度最小 分析:证明直线与平面平行的基本方法是, 在平面内找一条直线与平面外的已知直线平行 证明(1) :作 MP∥AB 交 BC 于 P,作 NQ∥AB 交 BE 于 Q,连结 PQ,依题意易证△CMP≌△BNQ,所以 MP∥NQ, 从而 MNPQ 是平行四边形, ? MN∥PQ,从而得 MN∥平面 CBE
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z
C D M B N P Q F E

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y

x

A

2 2 (2)由(1)知 MN=PQ= PB ? BQ ,

由 CM=BN=a,CB=AB=BE=1,得 AC=BF= 2 ,CP=

2 2 a ,BQ= a, 2 2

? MN=PQ= (a ?

2 2 1 ) ? 2 2 2 2 1 ) ? 2 2

(3)由(2)有:MN= (a ?

所以,当 a=

2 2 时,MN 取最小值 (即 M,N 分别在 AC,BF 的中点时,MN 的长度 2 2

最小) 另解: (1)建立空间直角坐标系如图,则 M(

2 2 2 2 a,0,1 ? a), N ( a, a,0), 2 2 2 2 2 2 a, a ? 1) 2 2

∴ MN ? (0,

???? ?

又∵平面 CBE 的一个法向量 n ? (1, 0, 0)

?

∴ MN ? n ? 1? 0 ? 0 ? ∴ MN ? n

???? ? ?

2 2 a ? 0? ( a ? 1) ? 0 2 2

???? ?

? ???? ?

又点 M ? 平面 CBE,? MN ∥平面 CBE (2)由两点距离公式得 | MN |? (

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???? ?

2 2 2 2 2 1 a) ? ( a ? 1)2 ? (a ? ) ? ,(0 ? a ? 2) 2 2 2 2
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课堂练习
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1 已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在α 上的射影有可能是①两 条平行直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点 在上面结论中,正确结论的编号是______ (写出所有正确结论的编号) 2 如下图,四棱锥 P—ABCD 的底面 是边长为 a 的正方形, 侧棱 PA⊥底面 ABCD, 侧面 PBC 内有 BE⊥PC 于 E,
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6 a,试在 AB 上找一点 F, 3 使 EF∥平面 PAD 3 如下图,设 P 为长方形 ABCD 所在平面外一点, M、N 分别为 AB、PD 上的点, AM DN 且 = , MB NP 求证:直线 MN∥平面 PBC
且 BE=
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4 如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F,G,M,N,Q 分别是 棱 A1A,A1B1,A1D1,CB,CC1,CD 的中点, 求证:平面 EFG∥平面 MNQ
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z
G A1 E A D1 F B1 N B M Q D C C1

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y

小结: 1 证明两直线平行的常用的方法有(1)定义法,即证两线共面且无公共点 (2)证明两 直线都与第三条直线平行 (3)同一法,即先过一直线上的一点作另一条直线的平行线,然 后证明所作直线与第一条直线重合 (4)应用两平面平行的性质定理,设法使两直线成为两平行平面与第三个平面的交线 2 证明直线与平面平行的常用方法有: (1)根据定义,用反证法证明 (2)证明直线在
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x

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平面外且与平面内的某一条直线平行 (3)证明直线在与已知平面平行的平面内 (4)向量 法,证明直线的一个方向向量,能用已知平面内的一个基底表示, 或与平面的法向量垂直 3 证明两平面平行的常用方法有: (1)根据定义用反证法证明(2)证明一平面内的两 相交直线与另一平面平行(或与另一平面内的两条相交直线平行) (3)证明两平面都垂直于 同一条直线 4 解题中,要注意灵活地实施下面的转化,使立体几何问题转化为平面几何问题,从而 使问题简化
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课时四:直线和平面垂直
教学目的: 1 线面垂直定义及判定定理 2.掌握三垂线定理及其逆定理的证明 3.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 教学重点:三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点: 用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 教学过程: 二、讲解新课: 1 线面垂直定义: 如果一条直线和一个平面相交, 并且和这个平面内的任意一条直线都垂直, 我们就说这条直线和这个平面互相垂直 其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面 交 点叫做垂足 直线与平面垂直简称线面垂直,记作:a⊥α 2 直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这 条直线垂直于这个平面 3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行 4 三垂线定理 在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它 也和这条斜线垂直
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P

已知: PO, PA 分别是平面 ? 的垂线和斜线, OA 是

PA 在平面 ? 内的射影, a ? ? ,且 a ? OA
求证: a ? PA ; 证明:∵ PO ? ? ∴ PO ? a ,又∵ a ? OA, PO ? OA ? O ∴ a ? 平面 POA , ∴ a ? PA .

O A

?

a

说明: (1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系;

(2)推理模式:

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? ? A ? ? a ? PA a ? ? , a ? OA ? ?

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5.三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那麽它 也和这条斜线的射影垂直
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推理模式:

PO ? ? , O ? ? ? ? PA ? ? ? A ? ? a ? AO a ? ? , a ? AP ? ?


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注意:⑴三垂线指 PA,PO,AO 都垂直α 内的直线 a 其实质是:斜线和平面内一条直线垂 直的判定和性质定理 ⑵要考虑 a 的位置,并注意两定理交替使用
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三、讲解范例:
例 1 已知:点 O 是 ?ABC 的垂心, PO ? 平面ABC ,垂足为 O , 求证: PA ? BC .
P

证明:∵点 O 是 ?ABC 的垂心, ∴ AD ? BC 又∵ PO ? 平面ABC ,垂足为 O ,
A O B D C

PA ? 平面ABC ? A
所以,由三垂线定理知, PA ? BC . 例 2 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等, 那么这点在平面内的射影在这个 角的平分线上 已知:∠BAC 在α 内,P??,PE?AB 于 E,PF?AC 于 F 且 PE=PF,PO?? 求证:O 在∠BAC 的平分线上(即∠BAO=∠CAO ) P 证明:连接 OE,OF ∵PO?? E B ∴EO,FO 分别为 PE,PF 在?上的射影 O A ∵PE=PF ∴OE=OF F C ? ∵PE?AB,PF?AC ∴OE?AB,OF?AC(三垂线定理的逆定理 ) ∴O 到∠BAC 两边距离相等 ∴O 在∠BAC 的平分线上 变式:
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已 知 : ?BAC 在 平 面

? ? 内 , 点 P ?? , P E? A ,B P F

A C ?P O, 垂 足 分 别 为 , ?

E, F , O, P ? E

PF ,

求证: ?BAO ? ?CAO . 证明:∵ PE ? AB, PF ? AC, PO ? ? , ∴ AB ? OE, AC ? OF (三垂线定理逆定理) ∵ PE ? PF , PA ? PA , ∴ Rt ?PAE ? Rt ?AOF , ∴ AE ? AF ,又∵ AO ? AO , ∴ Rt ?AOE ? Rt ?AOF ∴ ?BAO ? ?CAO .
A

P

E O F C

B

?

推广:经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线的这个角两边夹角相等,那麽 斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线 例 3.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心 求证:⑴PH?底面 ABC ⑵△ABC 是锐角三角形. P 证明:⑴∵PA?PB PA?PC 且 PB∩PC=P ∴PA?侧面 PBC 又∵BC?平面 PBD ∴PA?BC A C ∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH?BC H E ∵PA∩AH=A ∴BC?截面 PAH 又 PH?平面 PAH ∴BC?PH B 同理可证:AB?PH 又 AB?BC=B ∴PH?面 ABC ⑵设 AH 与直线 BC 的交点为 E,连接 PE 由⑴知 PH?底面 ABC ∴AE 为 PE 在平面 ABC 的射影 由三垂线定理:PE?BC ∵PB?PC 即△BPC 是直角三角形,BC 为斜边 ∴E 在 BC 边上 由于 AE?BC,故 B∠C 都是锐角 同理可证:∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形
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课堂练习
1.(1)下列命题中正确的是 () ①两条异面直线在同一平面内的射影必相交. ②与一条直线成等角的两条直线必平行. ③与一条直线都垂直的两直线必平行. ④同时平行于一个平面的两直线必平行. (A)①、②; (B)①、③; (C)②、④; (D)以上都不对. (2)平面?过△ABC 的重心,B、C 在?的同侧,A 在?的另一侧,若 A、B、C 到平面?的 距离分别为 a、b、c,则 a、b、c 间的关系为()

2a=b+c; (B)a=b+c; (C)2a=3(b+c); (D)3a=2(b+c). (3)若斜线和平面所成的角为?,此斜线与此平面内任一直线所成的角为?,则 (A)?≤?; (B)?=?; (C)?≥?; (D)?与?的大小关系不确定.

4 3 (4)已知正△ABC 的边长为 3 ,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有 ()
(A)1 个; (B)3 个; (C)5 个; (D)7 个. (5)若空间??的两边分别与??的两边互相垂直,则??与??的关系为 ( ) (A)相等; (B)互补; (C)相等或互补; (D)不确定. 2.如图,已知 CD 是异面直线 CA、DB 的公垂线, D CA??于 A,DB??于 B,?∩?=EF.求证:CD∥EF. δ ? B B C F 1 A ? ? A1 E 3.如图,已知 AO 是四面体 ABCD 的高,M 是 AO 的中点,连结 BM、CM、DM.求证: BM、CN、DM 两两垂直. A M B O C 4.如图,PA、PB、PC 两两垂直,PA=PB=PC,G 是△PAB 的重心,E 是 BC 上的一点,且 D

1 1 BE= 3 BC,F 是 PB 上的一点,且 PF= 3 PB.求证: (1)GF?平面 PBC; (2)FE?BC; (3)
GE 是异面直线 PG 与 BC 的公垂线. M A G D B P F N Q E C

5.如图,已知 ABCD 是矩形,AB=a,AD= b,PA?平面 ABCD,PA=2c,Q 是 PA 的中点. 求(1)Q 到 BD 的距离; (2)P 到平面 BQD 的距离. P Q H A B :线面垂直定义及判定定理
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D C

E

五、小结

三垂线定理及其逆定理的证明 用三垂线定理及其逆定理的应用

课时五:空间向量及其运算
学习目标 1 理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘 2 了解空间向量的基本定理; 3 掌握空间向量的数量积的定义及其性质; 4 理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念 5 握空间向量平行、垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件 知识点归纳 1.空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2.空间向量的运算 空间向量的加法、减法与数乘向量运算:
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??? ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b ; BA ? OA ? OB ? a ? b ; OP ? ?a(? ? R)
运算律:⑴加法交换律: a ? b ? b ? a

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⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ⑶数乘分配律: ? (a ? b ) ? ?a ? ?b
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3 平面向量共线定理 方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量. 由于任何一组平行向量都可以平移到同一
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条直线上, 所以平行向量也叫做共线向量. 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有 一个实数 λ,使 b =λ a
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4 共线向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量. a 平行于 b 记作 a // b . 当我们说向量 a 、 b 共线(或 a // b )时,表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同 一直线,也可能是平行直线. 5. 共线向量定理:空间任意两个向量 a 、 b ( b ≠ 0 ) a // b 的充要条件是存在实数 λ, , 使 a =λ b

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推论:如果 l 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线,那么对于任意一点 O, 点 P 在直线 l 上的充要条件是存在实数 t 满足等式

?

???? ???? ? ? OP ? OA ? t a .其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量

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6 空间直线的向量参数表示式:
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???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? OP ? OA ? t a 或 OP ? OA ? t (OB ? OA ) ? (1 ? t )OA ? tOB ,
中点公式. OP ?

????

1 ???? ???? (OA ? OB ) 2
?

7.向量与平面平行:已知平面 ? 和向量 a ,作 O ?a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内, A ? ? 那么我们说向量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .通常我们把平行于同一平面的向量,叫做 共面向量 说明:空间任意的两向量都是共面的
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? ? ? ? ? 8.共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的充要条件是存在实数 ? ? ? x , y 使 p ? xa ? yb
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???? ??? ? ???? MP ? x MA y MB ① ? ??? ? ??? ? ??? ?

推 论: 空间一 点 P 位 于平面 MAB 内 的 充分必 要条 件是存 在有 序实数 对 x , y , 使 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ② 或 OP ? xOA ? yOB ? zOM ,( x ? y ? z ? 1) 上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式
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????

????


???? ?

? ? ? ? 9 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 p ,存在一个唯
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一的有序实数组 x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc

?

?

?

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若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基向量,空 间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底
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???

? ? ?

? ? ?

推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC
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??? ?

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空 间 向 量 的 夹 角 及 其 表 示 : 已 知 两 非 零 向 量 a, b , 在 空 间 任 取 一 点 O , 作

? ?

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? O 记作 且规定 0 ?? a, b ?? ? , OA? a OB b则 ?AB 叫做向量 a 与 b 的夹角, ? a, b ? ; , ? ,
显然有 ? a, b ??? b , a ? ;若 ? a , b ??

? ?

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2 ??? ? ? ??? ? ? ? 11.向量的模:设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a |
12. 向量的数量积: 已知向量 a, b , | a| |? b c s 则 | o ? 即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? .

,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b

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? ? ? ? ? ? 记作 a ? b , ? a b ? 叫做 a, b 的数量积, ,

? ?

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已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量,作点 A 在 l 上的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影

??? ?

?

?

???? ?

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???? ? A?B? 的长度

???? ??? ? ? ? ? ? ? | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
13.空间向量数量积的性质: (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? . (2) a ? b ? a ? b ? 0 . (3) | a |2 ? a ? a . 14.空间向量数量积运算律: (1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (2) a ? b ? b ? a (交换律) . (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律)
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题型讲解 例 1 证明空间任意无三点共线的四点 A、B、C、D 共面的充分必要条件是:对于空间
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任一点 O,存在实数 x、y、z 且 x+y+z=1,使得 OA =x OB +y OC +z OD

??? ?

??? ?

????

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分析:要寻求四点 A、B、C、D 共面的充要条件,自然想到共面向量定理 解:依题意知,B、C、D 三点不共线,则由共面向量定理的推论知:四点 A、B、C、
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D 共面 ? 对空间任一点 O, 存在实数 x1、 1, y 使得 OA = OB +x1 BC +y1 BD = OB +x1 OC (

??? ??? ? ?

??? ?

? ??? ??? ?

????

- OB )+y1( OD - OB )=(1-x1-y1)OB +x1 OC +y1 OD ,取 x=1-x1-y1、y=x1、z=y1, 则有 OA =x OB +y OC +z OD ,且 x+y+z=1

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点评: 向量基本定理揭示了向量间的线性关系, 即任一向量都可由基向量唯一的线性表 示,为向量的坐标表示奠定了基础 共(线)面向量基本定理给出了向量共(线)面的充要 条件,可用以证明点共(线)面 本题的结论,可作为证明空间四点共面的定理使用 例 2 在平行四边形 ABCD 中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线 AC 折起,使 AB 与 CD 成 60°角,求 B、D 间的距离 解:如下图,因为∠ACD=90°,
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所以 AC · CD =0

????

??? ?

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??? ???? ? 同理, BA · AC =0 ??? ?

A
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D C A B

D C

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因为 AB 与 CD 成 60°角, 所以〈 BA , CD 〉=60°或 120°
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B

??? ?

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因为 BD = BA + AC + CD ,

??? ??? ? ?

????

??? ?

所以 BD 2= BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · AC +2 BA · CD +2 AC · CD = BA 2+ AC 2+ CD 2+2 BA · CD =3+2×1×1×cos〈 BA , CD 〉=2 或 2 , 所以| BD |=2 或 2 ,

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即 B、D 间的距离为 2 或 2

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例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BD1 交平面 ACB1 于点 E,求证: (1)BD1⊥平面 ACB1; (2)BE=

1 ED1 2

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D1
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C1 B1

证明: (1)我们先证明 BD1⊥AC

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A1

? ???? ? ? ??? ??? ? ??? ??? ???? ???? ? ? ∵ BD1 = BC + CD + DD1 , AC = AB + BC , ??? ??? ???? ? ? ? ???? ???? ? ? ??? ??? ? ∴ BD1 · AC =( BC + CD + DD1 )( AB + BC ) ·
? ? ??? ??? ??? ??? ? ? = BC · BC + CD · AB
= BC · BC - AB · AB =| BC |2-| AB |2=1-1=0
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E D M A B C

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

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∴BD1⊥AC 同理可证 BD1⊥AB1,于是 BD1⊥平面 ACB1 (2)设底面正方形的对角线 AC、BD 交于点 M,
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则 BM =

???? ?

? 1 ????? ???? ????? ? 1 ??? BD = B1D1 ,即 2 BM = B1D1 2 2

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∴ BM ? B1D1 , 四点 B, B1 , D1 , M 共面, 所以,D1B 与平面 ACB1 之交点 E,就是 D1B 与 MB1 的交点
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???? ????? ? 由 2 BM = B1D1 知, ?EMB ∽ ?EB1D1 ,D1E∶EB=2∶1
1 ED1 2
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∴BE=

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点评:利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、 求夹角等问题 例 4 如图,点 A 是△ABD 所在平面外一点,G 是△BCD 的重心,
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? 1 ??? ???? ???? ( AB ? AC ? AD ) 3 ???? ??? ??? ???? ? ? 分析:想方设法把向量 AC 逐步用 AB, AC, AD 有关的向量的表示,
求证: AG ? 直至用它们表示为止 证明:∵ AG ? AC ? CG
D

????

A

E

B G C

????

??? ??? ? ?

?

??? 2 1 ??? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ???? ? ? ? 1 ??? ??? CG ? [ CB ? CD)] ? (CB ? CD) ? (CA ? AB ? CA ? AD) 3 2 3 3 ???? ???? 1 ??? ??? ???? 1 ??? ???? ???? ? ? ? AG ? AC ? (2CA ? AB ? AD) ? ( AB ? AC ? AD ) 3 3
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例 5 A 是△BCD 所在平面外一点,M、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心,若 BD=4, 试求 MN 的长
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解:连结 AM 并延长与 BC 相交于 E,连结 AN 并延长与 CD 相交于 E,则 E、F 分别 是 BC 及 CD 的中点
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???? ???? ???? 2 ??? 2 ??? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ??? 2 ??? ??? ? 2 ??? ??? AF - AE = ( AF - AE ) EF = ( CF - CE ) 现在 MN = AN - AM = =
3 3 3 3 3
=

? ? ? ? ? 1 ??? 2 1 ??? 1 ??? ??? 1 ??? ( CD - CB )= ( CD - CB )= BD 2 3 2 3 3 ???? ???? ? ? 1 ??? ? 1 4 ∴ MN =| MN |= | BD |= BD= 3 3 3
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A
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M B D F N E C

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点评:本题的关键是利用重心这一特殊位置逐步进行转 化 课堂练习 1 在以下四个式子中正确的有
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① a + b · c ,② a · b · c ) ( ,③ a ( b · c ) ,④| a · b |=| a || b |

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A1 个
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B2 个
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C3 个
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D0 个
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2 设向量 a 、 b 、 c 不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是
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?

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A{a +b ,b -a ,a }
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B{a +b ,b -a ,b }
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C{a +b ,b -a ,c }
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D{a +b +c ,a +b ,c }
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3 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中, 为 AC 和 BD 的交点, A1B1 = a ,A1D1 = b ,A A M 若 1
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???? ?

? ?????

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= c ,则下列式子中与 B1M 相等的是

?

?????

1 ? 1 ? ? a+ b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c C 2 2
A-
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1 ? 1 ? ? a + b +c 2 2 1 ? 1 ? ? a - b +c D- 2 2
B
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4 已知四边形 ABCD 中, AB = a -2 c , CD =5 a +6 b -8 c ,对角线 AC、BD 的中点
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??? ? ?

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??? ?

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分别为 E、F,则 EF =_____________

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5 已知 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直,且 a -4 b 与 7 a -2 b 垂直,则〈 a , b 〉=_______ 6 设 A、B、C 及 A1、B1、C1 分别是 异面直线 l1、l2 上的三点,而 M、N、P、Q 分别是线段 AA1、BA1、BB1、CC1 的中点 C 求证:M、N、P、Q 四点共面
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B A Q M A1 N P B1 C1

7 试用向量证明三垂线定理及其逆定理
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已知: PO、PA 分别是平面α 的垂线和斜线,OA 是 PA 在α 内的射影, a ? ? a ⊥PA ? a ⊥OA
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?

α ,求证:

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小结:
1 若表示向量 a 1, a 2,?, a n 的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形,
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则 a 1+ a 2+ a 3+?+ a n= 0
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2 应用向量知识解决几何问题时,一方面要选择恰当的基向量,另一方面要熟练地进行 向量运算 3 空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示,这三个向量也称为一个 基底 在证明两个向量平行、垂直或求其夹角时,往往把它们用同一个基底来表示,从而实 现解题的目的 4 要用向量法解题,所涉及判断位置或长度或所成角的向量,一般应能用关系明确的向 量表示,或较容易用坐标表示,否则应考虑用其它方法来解
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课时六、七:空间向量的坐标运算 1 空间直角坐标系
教学目标: ㈠知识目标: ⒈空间直角坐标系; ⒉空间向量的坐标表示; ⒊空间向量的坐标运算; ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系; 5.中点公式。 ㈡能力目标: ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念,会确定一些简单几何体(正方体、长方体)的顶 点坐标; ⒉掌握空间向量坐标运算的规律; 3.会根据向量的坐标,判断两个向量共线或垂直; 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点:空间右手直角坐标系,向量的坐标运算 教学难点:向量坐标的确定 教学过程: 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长都为 1,则这个基 底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系 O-xyz 在空间选定一点 O 和一个单位正交基底{i,j,k}, 以点 O 为 原点,分别以 i、j、k 的方向为正方向建立三条数轴:x 轴、y 轴、z 轴,它们都叫做坐标 轴,这时我们说建立了一个直角坐标系 O-xyz,点 O 叫做原 点,向量 i,j,k 叫做坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫 做坐标平面,分别称为 xOy 平面,yOz 平面,zOx 平面。

⑶空间直角坐标系的画法 作空间直角坐标系 O-xyz 时,一般使∠xOy=135°(或 45°),∠yOz=90°。 注:在空间直角坐标系 O-xyz 中,让右手拇指指向 x 轴的正方向,食指指向 y 轴的正 方向,如果中指能指向 z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示 给定一空间直角坐标系和向量 a, 且设 i,j,k 为坐标向量 (如 图) ,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3)叫做向量 a 在此直角坐标系 中的坐标,可简记作 a=(a1,a2,a3) 。 在空间直角坐标系 O-xyz 中,对于空间任一点 A,对应一个向量 OA ,若

OA ? xi ? y j ? zk , 则有序数组(x,y,z)叫做点 A 在
此空间直角坐标系中的坐标,记为 A(x,y,z),其中 x 叫做 A 的横坐标,y 叫做点 A 的纵坐标,z 叫做点 A 的竖坐标, 写点的坐标时, 三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点 P 的坐标的确定 过 P 分别作三 个与坐标平面平行的平面 (或垂面) 分别交坐标轴于 , A、 C 三点, B、 |x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当 OA 与 i 方向相同时, x>0, 反之 x<0, 同理可确定 y、(如 z 图) 2 向 量 的直 角 坐 标 运算
设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) λa=(λa1,λa2,λa3) a? b=a1b1+a2b2+a2b2 a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈ R) a//b a1b1+a2b2+a3b3=0 a? b 设A(x1,y1,z 1),B(x2,y2,z 2),则 AB= OB- OA=(x2- x1,y2- y1,z 2- z 1) 

注: 若a ? (a1 , a 2 , a 3 ), b ? (b1 , b 2 , b 3 ), b i ? 0(i ? 1,2,3), a// b ? 则

a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

反思应用 例 1 已知 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求 a+b,a-b,8a,a?b。 解:a+b=(2,-3,5)+(-3,1,-4)=(-1,-2,1) , a-b=(2,-3,5)-(-3,1,-4)=(5,-4,9) , 8a=8(2,-3,5)=(16,-24,40) , a?b=(2,-3,5) -3,1,-4)=-6+ ( ? (-3)+(-20)=-29 例 2 在正方体要 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 BB1、 的中点, CD 求证: 1F⊥平面 ADE D 证明:不妨设已知正方体的棱长为 2, 建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 则

AD ? (?2,0,0), D1 F ? (0,1,?2), AD ? D1 F ? (?2,0,0) ? (0,1,?2) ? 0 ? D1 F ? AD
又 AE ? (0,2,1),

AE ? D1 F ? (0,2,1) ? (0,1,?2) ? 2 ? 2 ? 0 ? D1 F ? AE,
∴D1F⊥AE,又 AD∩AE=A,∴D1F⊥平面 ADE 小结: ①本例中坐标系的选取具有一般性, 在今后会常用到, 这样选取可以使正方体各顶点的 坐标均为非负,且易确定。 ②原点的坐标为(0,0,0),x 轴上的坐标为(x,0,0),y 轴上的坐标为(0,y,0),z 轴上的 坐标为(0,0,z). ③要使一向量 a=(x,y,z)与 z 轴垂直,只要 z=0 即可。事实上,要使向量 a 与哪一个 坐标轴垂直,只要向量 a 的相应坐标为 0。 归纳总结 1、空间直角坐标系的概念 2、向量的坐标运算 3、实际问题中如何建系

2 夹角和距离公式
教学目标: ㈠知识目标: ⒈向量长度公式; ⒉两向量夹角公式; ⒊空间两点间的距离公式、中点坐标公式; ⒋平面的法向量. ㈡能力目标: ⒈掌握向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式,并会用这些公 式解决有关问题; ⒉了解平面的法向量的概念. 教学重点:夹角公式、距离公式. 教学难点:夹角公式、距离公式的应用. 教学过程: 复习回顾 上节课我们学习了空间直角坐标系、向量的直角坐标运算等知识内容,请回忆一下向 量的直角坐标运算法则. 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 ⑴a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑶λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (? ? R) ; 上述运算法则怎样证明呢? ⑵a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; ⑷a·b= a1b1 ? a2 b2 ? a3b3

与平面向量一样,将 a= a1 i+ a2 j+ a3 k 和 b= b1 i+ b2 j+ b3 k 代入即可. 怎样求一个空间向量的坐标呢? 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标. 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算,牢记运算公式是应用的关键.这些 公式为我们利用向量知识解决立体几何问题提供了有利的工具. 今天,我们将在以上运算法则的基础上,利用向量的数量积的意义,得出另外几个公 式,为今后应用向量解决问题提供方便. 探索研究 ⒈夹角公式 设 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1 , b2 , b3 ) ,我们怎样求这两个向量的模呢?
2 2 2 | a |? a12 ? a 2 ? a3 , | b |? b12 ? b2 ? b32 .

这两个式子我们称为向量的长度公式.这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的 长度. 请大家动手试一试,如果把上述结果代入两个向量的数量积,会得出什么结果呢? ∵ a·b=|a||b|cos<a,b> ∴
2 2 a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 = a12 ? a 2 ? a3 · b12 ? b22 ? b32 ·cos<a,b>

由此可以得出:

cos



a,b





a1b1 ? a 2 b2 ? a3 b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

这个公式成为两个向量的夹角公式.利用这个共识,我们可以求出两个向量的夹角, 并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系: 当 cos<a、b>=1 时,a 与 b 同向; 当 cos<a、b>=-1 时,a 与 b 反向; 当 cos<a、b>=0 时,a⊥b. 利用向量的长度公式,我们还可以得出空间两点间的距离公式: 在空间直角坐标系中,已知点 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z 2 ) ,则

d A、B ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( z1 ? z 2 ) 2

其中 d A、B 表示 A 与 B 两点间的距离. 反思应用 例 1 已知 A(3,3,1)、B(1,0,5),求: ⑴线段 AB 的中点坐标和长度; ⑵到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件.

解:⑴设 M ( x, y, z ) 是线段 AB 的中点,则

OM ?

1 1 3 (OA ? OB ) = [(3,3,1)+(1,0,5)]=(2, ,3). 2 2 2
3 ,3). 2

∴线段 AB 的中点坐标是(2,

d A、B ? (1 ? 3) 2 ? (0 ? 3) 2 ? (5 ? 1) 2 ? 29 .
⑵点 P( x, y, z ) 到 A、B 两点距离相等,则

( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 = ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 .
化简,得

4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 .

即到 A、B 两点距离相等的点 P( x, y, z ) 的坐标 x、y、z 满足的条件是

4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 .
; 例 2 求证:如果两条直线同垂直于一个平面,则这两条直线平行. 已知:直线 OA⊥平面 α,直线 BD⊥平面 α,O、B 为垂足. 求证:OA//BD. 证明:以点 O 为原点,以射线 OA 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz,i,j,k 为 沿 x 轴,y 轴,z 轴的坐标向量,且设 BD = ( x, y, z ) . ∵BD⊥α, ∴ BD ⊥i, BD ⊥j, ∴ BD ·i= ( x, y, z ) ·(1,0,0)=x=0, BD ·j= ( x, y, z ) ·(0,1,0)=y=0, ∴ BD =(0,0,z). ∴ BD =zk.即 BD //k. 由已知 O、B 为两个不同的点,∴OA//BD. 说明: ⑴请注意此例建立空间直角坐标系的方法,这是今后解题时常用的方法; ⑵如果表示一个向量的有向线段所在直线垂直于平面 α, 则表示该向量所有的有向线段 所在直线都垂直于 α. 如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α,则称这个向量垂直于平面 α,记作 a⊥α. 如果 a⊥α,那么向量 a 叫做平面 α 的法向量. 归纳总结

对于一些较特殊的几何体或平面图形中有关夹角,距离,垂直,平行的问题,都可以 通过建立坐标系将其转化为向量间的夹角,模,垂直,平行的问题,从而利用向量的坐标运 算求解,并可以使解法简单化.值得注意的是——坐标系的选取要合理、适当.

3

空间向量的坐标运算

教学目标 1、进一步理解向量的坐标表示和坐标运算 2、能建立适应的空间直角坐标系并利用坐标方法求空间两个向量的夹角、距离等 3、利用向量的数量积解决与立体几何有关的问题 复习回顾 1、空间向量的坐标表示 2、空间向量的坐标运算 探索研究 例 1 在Δ ABC 中,已知 AB=(2,4,0),BC=(-1,3,0),则∠ABC=___。

? BA ? (?2,?4,0), BC ? (?1,3,0), ? cos BA, BC ? BA ? BC | BA || BC | ? 2 ? 12 2 5 ? 10 ?? 2 2

∴∠ABC=45°。 例 2 (创 P42 12)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=a,BC=b,AA1=c,求异 面直线 BD1 和 B1C 所成角的余弦值。 D1 C
1

分析一:利用 BD1 ? BA ? BC ? BB1

A1

B1

B1C ? BC ? BB1 ,以及数量积的定义,可求出
cos< BD1 , B1C >,从而得到异面直线 BD1 和
D C

A B B1C 所成角的余弦值。 分析二:建立空间直角坐标系, 利用向量, 且将向量的运算转化为实数(坐标) 的运算, 以达到证明的目的。 解:建立如图所示空间直角坐标系,使 D 为坐标原点, z 则 B(b,a,0),D1(0,0,c),B1(b,a,c),C(0,a,0)

? BD1 ? (?b,?a, c), B1C ? (?b,0,?c) ? BD1 ? B1C ? (?b) 2 ? (?a) ? 0 ? c ? (?c) ? b 2 ? c 2

D1 A1 B1

C1

D A x B

C y

| BD1 |? b 2 ? a 2 ? c 2 , | B1C |? b 2 ? c 2 , cos BD1 , B1C ? BD1 ? B1C | BD1 || B1C | ? b2 ? c2 (a 2 ? b 2 ? c 2 )(b 2 ? c 2 )
b2 ? c2 (a 2 ? b 2 ? c 2 )( b 2 ? c 2 )


设异面直线 BD1 和 B1C 所成角为θ ,则 cos ? ?

例 3(创 44,4)在棱长为 1 的正方体中 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、BD 的中点, G 在 CD 上,且 CG=CD/4,H 为 C1G 的中点,⑴求证:EF⊥B1C;⑵求 EF 与 C1G 所成角的余弦 值;⑶求 FH 的长。 z 解:以 D 为坐标原点,建立如图所示空间 直角坐标系 D-xyz,由题意知 E(0,0,1/2), D1 C1 F(1/2,1/2,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),C1(0,1,1), G(0,3/4,0),

1 1 1 ⑴? EF ? ( , ,? ), B1C ? (?1,0,?1). 2 2 2
,? EF ? B1C 即 EF⊥B1C

A1

E

B1

H

D F A x

G B

C

y



1 C1G ? (0,? ,1), 4

1 17 ?| C1G |? 0 2 ? (? ) 2 ? 12 ? 4 4
由⑴知 | EF |?

1 1 1 3 1 1 3 1 3 ( ) 2 ? ( ) 2 ? (? ) 2 ? , EF ? C1G ? ? 0 ? ? ? (? ) ? 0 ? 2 2 2 2 2 2 4 2 8
EF ? C1G | EF || C1G | ? 51 51 ,故 EF 与 C1G 所成角的余弦值为 。 17 17

? cos EF , C1G ?

⑶∵H 为 C1G 的中点,∴H(0,7/8.1/2),又 F(1/2,1/2,0)

1 7 1 1 41 41 ? FH |? (0 ? ) 2 ? ( ? ) 2 ? ( ? 0) 2 ? | , 即 FH= 8 2 8 2 2 8
归纳总结 运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时,关键是 建立适当的坐标系,进而将向量坐标化,建立坐标系时,要充分利用图形的几何性质。 掌握运用向量求角、距离的方法。

课堂练习 1 如图,在正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, B1 E1 ? D1 F1 ?

A1 B1 ,求 BE1 与 DF 所 1 4

成的角的余弦值.

2 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5) ⑴求以向量 AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; ⑵若向量 a 分别与向量 AB, AC 垂直,且|a|= 3 ,求向量 a 的坐标。 . 3.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD =2a,且 PA⊥底面 ABCD,PD 与底面成 30°(PD 和其在底面上的射影所成的角) 。⑴若 AE ⊥PD,垂足为 E,求证:BE⊥PD;⑵求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小。

z P E

A B X C

D

y

课时八:直线和平面所成的角与二面角
教学目的:
1.理解二面角及其平面角的概念,能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法: (1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理
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教学重点:二面角的概念和二面角的平面角的作法 教学难点:二面角的平面角的一般作法及其寻求 教学过程: 一、讲解新课: :
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1 斜线,垂线,射影 ⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫 做这点到这个平面的垂线段. ⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个 A 平 面 的斜线 斜线和平面的交点叫斜足;斜线上一点与斜足间的线段叫这 点到这个平面的斜线段 O ? B ⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的 直线 叫做斜线在这个平面内的射影 垂足和斜足间线段叫这点到这 个平面的斜线 段在这个平面内的射影 直线与平面平行,直线在平面由射影是一条直线 直线与平面垂直射影是点 斜线任一点在平 面内的射影一定在斜线的射影上 2.射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交;射影较长的斜线段也较长 A ⑵相等的斜线段射影相等,较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短 ? ⑴OB=OC?AB=AC OB?OC?AB?AC O B ⑵AB=AC?OB=OC AB?AC?OB?OC C
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⑶OA?AB,OA?AC 3.直线和平面所成角 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做 这条斜线和这个平面所成的角 一直线垂直于平面,所成的角是直角 一直线平行于平面或在平面内,所成角为 0?角.
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? 直线和平面所成角范围: ?0, 2 ?
(2)定理:斜线和平面所成角是这条斜线和平面 过斜足的直线所成的一切角中最小的角 4.公式:已知平面?的斜线 a 与?内一直线 b 相交 角,且 a 与?相交成?1 角,a 在?上的射影 c 与 b
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内经

P
a A ?1 ? ?2 B c

成θ 相交
O b

成?2 角,则有 cos?1 cos? 2 ? cos? .

5 二面角的概念:平面内的一条直线把平面分为 两个 部分, 其中的每一部分叫做半平面; 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,
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?

这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面 若棱为 l ,两个面分别为 ? , ? 的二
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面角记为 ? ? l ? ? ;二面角的图形表示: 第一种是卧式法,也称为平卧式:

A D B C F E

K G L H I J

第二种是立式法,也称为直立式:
l O O' B B'

?
A A'

?

6.二面角的平面角: (1) 过二面角的棱上的一点 O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 OA, OB , ?A B 则 O 叫做二面角 ? ? l ? ? 的平面角

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(2)一个平面垂直于二面角 ? ? l ? ? 的棱 l ,且与两半平面交线分别为 OA, OB, O 为垂足, 则 ?AOB 也是 ? ? l ? ? 的平面角

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说明: (1)二面角的平面角范围是 [0 ,180 ] ; (2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直
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?

?

三、讲解范例:
例 1 在正四面体 ABCD 中,求相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小
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解:取 BC 的中点 E ,连接 AE, DE , ∵正四面体 ABCD ,∴ BC ? AE, BC ? ED 于 E , ∴ ? AED 为二面角 A ? BC ? D 的平面角, 方法一:设正四面体的棱长为 1,

A

D B E C

AE ?


1 3 3 cos ?AED ? , DE ? , AD ? 1 3 2 2 ,由余弦定理得

? ??? ? ??? ? ???? ? ? AC ? b , AD ? c ,棱长为 1, 方法二: (向量运算)令 AB ? a ,
??? ??? ? ? 1 ? ? ? 1? 1? 1 EA ? ED ? [? (a ? b )] ? [c ? a ? b ] ? 2 2 2 4, ∵

??? ??? ? ? 1 3 cos ?AED ? | EA |?| ED |? 3 2 ,∴ 又∵
arccos
即相邻两个平面所成的二面角的平面角的大小为 例 2.在棱长为 1 的正方体 AC1 中, (1)求二面角 A ? B1D1 ? C 的大小; (2)求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角大小 解: (1)取 B1 D1 中点 O1 ,连接 AO1 , CO1 , ∵正方体 AC1 ,∴ B1D1 ? AO1 , CO1 ? B1D1 , ∴ ?AO1C 即为二面角 A ? B1D1 ? C 的平面角,
A1 D1

1 3.

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O1

C1 B1

D A B

C

6 AO1 ? CO1 ? , AC ? 2 2 在 ?AOC 中, ,
cos ?AO1C ?

可以求得

1 1 arccos A ? B1D1 ? C 的大小为 3 即二面角 3.

(2)过 C1 作 C1O ? BD 于点 O ,
D1

∵正方体 AC1 ,∴ CC1 ? 平面 ABCD , ∴ ?COC1 为 平 面 C1BD 与 平 面 ABCD 所 成 二 面 角

C1 B1

A1

D
O

C

C1 ? BD ? C 的平面角,
可以求得: tan ?COC1 ? 2

A

B

所以,平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角大小为 arctan 2 . 说明:求二面角的步骤:作——证——算——答
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例 3.已知:二面角 ? ? l ? ? 且 A ? ? , A 到平面 ? 的距离为 2 3 , A 到 l 的距离为 4 ,求 二面角 ? ? l ? ? 的大小
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?
l A O B

解: AO ? l 于点 O ,AB ? 平面 ? 于点 B , 作 连接 BO ,

?

∵ AB ? ? 于点 B , AO ? l 于点 O , ∴ l ? OB ,∴ ?AOB 即为二面角 ? ? l ? ? 的平面角, 易知, AB ? 2 3, AO ? 4 ,
? ? ∴ ?AOB ? 60 即二面角 ? ? l ? ? 的大小为 60 .

说明: 利用三垂线定理作二面角的平面角是解决二面角问题中一种重要的方法, 其特征是其 中一个平面内一点作另一个平面的垂线 则已经有三种作二面角的平面角的方法,即:定义 法、垂面法、三垂线法
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例 4.如图, AB ? 平面 BCD , BD ? CD ,若 AB ? BC ? 2 BD ,求二面角 B ? AC ? D 的正弦值 分析:要求二面角的正弦值,首先要找到二面角的平面角
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解:过 D 作 DE ? AC 于 E ,过 E 作 EF ? AC 交 BC 于 F ,连结 DF , 则 C 垂直于平面 DEF , ? FED 为二面角 B ? AC ? D 的平面角, ∴ AC ? DF , 又 AB ? 平面 BCD , ∴ AB ? DF , AB ? CD , ∴ DF ? 平面 ABC , ∴ DF ? EF , DF ? BC , 又∵ AB ? CD , BD ? CD , ∴ CD ? 平面 ABD ,∴ CD ? AD , 设 BD ? a ,则 AB ? BC ? 2a , 在 Rt ?BCD 中,

A

E
B F

C

D

S?BCD ?

1 1 3 BC ? DF ? BD ? CD DF ? a 2 2 2 , ,∴

同理, Rt ?ACD 中,

DE ?

15 a 2 2 , ∴

DF sin ?FED ? ? DE

3 a 10 2 ? 5 15 a 2 2 ,

10 所以,二面角 B ? AC ? D 的正弦值为 5 .

四、课堂练习:
1 ?如图所示,已知 PA ? 面 ABC ,
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P

S?PBC ? S , S?ABC ? S ? ,
二面角 P ? BC ? A 的平面角为 ? , 求证: S ? cos ? S ? 2.如图,在空间四边形 ABCD 中,

A D B

C

A

?BCD 是正三角形, ?ABD 是等腰直角三角形,
且 ?BAD ? 90 ,又二面角 A ? BD ? C 为直二面角,
?

B

H
E

D F C

求二面角 A ? CD ? B 的大小

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3 . 设 A 在 平面 BCD 内 的射 影是直 角三 角形 BCD 的 斜 边 BD 的 中点 O ,

AC ? BC ? 1, CD ? 2 ,求(1) AC 与平面 BCD 所成角的大小; (2)二面角 A ? BC ? D 的
大小; (3)异面直线 AB 和 CD 的大小
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五、小结 :
1.二面角的定义、画法. 2.二面角的平面角的定义、作法. 3.求简单的二面角的大小.

课时九:距离
教学目的: 1.掌握掌握点与平面、直线与平面、平面与平面间距离的概念,并能进行相互转化,通 过解三角形知识求出它们的距离. 2.培养学生辩证观,简单与复杂之间的转化,空间与平面之间的转化.1.了解距离的定 义; 3.弄清点到平面、平行直线到平面、平行平面之间的距离的定义; 3.了解以上三种距离的关系和相互转化,并会求这三种距离. 教学重点:点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法. 教学难点:点到平面、直线到与它平行的平面的距离的求法. 教学过程: 一、复习引入: 1.两个图形 F1 与 F2 之间距离的概念: 图形 F1 内的任一点与图形 F2 内的任一点间的距离中的最小值叫做图形 F1 与 F2 之间距 离. 如:一直线和一平面相交,这条直线到这个平面的距离等于多少? 两个相交平面的距离是多少?. 二、讲解新课: 1.点到平面的距离: 已知点 P 是平面 ? 外的任意一点,过点 P 作 PA ? ? ,垂足为 A ,则 PA 唯一,则 PA 是点 P 到平面 ? 的距离. 即:一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.(转化为点到点 的距离) 结论:连结平面 ? 外一点 P 与 ? 内一点所得的线段中,垂线段 PA 最短.
P
A B l

?

B

A
? C D

2.直线到与它平行平面的距离:一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离,叫做这条直 线到平面的距离(转化为点面距离). 如果一条直线 l 平行与平面 ? ,则直线 l 上的各点到平面的垂线段相等,即各点到 ? 的 距离相等;垂线段小于或等于 l 上任意一点与平面 ? 内任一点间的距离; 3.两个平行平面的公垂线、公垂线段: (1)两个平面的公垂线:和两个平行平面同时垂直的直线,叫做两个平面的公垂线. (2)两个平面的公垂线段:公垂线夹在平行平面间的的部分,叫做两个平面的公垂线 段. (3)两个平行平面的公垂线段都相等. (4)公垂线段小于或等于任一条夹在这两个平行平面间的线段长. 4.两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.

三、讲解范例: 例 2.如图,已知正三角形 ABC 的边形为 6cm , 点 D 到 ?ABC 各顶点的距离都是 4cm ,求点 D 到这个三角形所在平面的距离. 解:设 H 为点 D 在平面 ABC 内的射影,延长 AH ,交 BC 于 E , ? DA ? DB ? DC ,∴ HA ? HB ? HC , ∴即 H 是 ?ABC 的中心, AE 是边 BC 上的垂直平分线, 在 Rt ?BHE 中, BE ?

1 BE BC ? 3 , BH ? ?2 3, 2 cos 30?

DH ? OB 2 ? BH 2 ? 42 ? (2 3) 2 ? 2(cm) ,
即点 D 到这个三角形所在平面的距离是 2cm . 例 3.如图已知 ABCD 是边长为 4 的正方形, E , F 分别是 AB, AD的中点, GC 垂直于

ABCD所在平面,且 GC ? 2 ,求点 B 到平面 EFG 的距离.
解法一:连接 AC , BD 交点为 O , ∵ E , F 分别是 AB, AD 的中点,∴ EF // BD , EF 与 AC 的交点为 H ,则 H 为 AO 的中点,
G

? AC ? BD ,∴ AC ? EF , 连结 GH ,∵ GC ? 平面 ABCD ,∴ GC ? EF ,∴ EF ? 平面 GCH , ∴平面 EFG ? 平面 HCG , HG 是这两个平面的交线, 作 OK ? HG 交 HG 于 K ,∴ OK ? 平面 HCG , ∴线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离.

D F A H

K O E B

C

∵正方形 ABCD 的边长为 4 , GC ? 2 ,∴ AC ? 4 2 , HO ? 2 , HC ? 3 2 , ∴ HG ? ∴ OK ?

(3 2) 2 ? 22 ? 22 ,又? ?HKO ? ?HCG ,

2 11 HO ? GC 2 ? 2 2 11 ,即点 B 到平面 EFG 的距离为 . ? ? 11 HG 11 22

解法二: C 为原点,CD, CB, CG 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 以 则 A(4, 4,0) , B(0, 4, 0) , C (0,0,0) , D(4,0,0) , E (2, 4,0) , F (4, 2,0) , G(0,0, 2) 设 点

B





G

E 内 F









M ( x, y, z )





???? ? ??? ? ??? ? ? G ?? M ?? G E ?(

2G ,?F 4 ? ?

,? , 2

)

(

4

,

2

,

2

)

即 ( x, y, z ? 2) ? (2? ? 4? , 4? ? 2? , ?2? ? 2? ) , ∴ x ? 2? ? 4? , y ? 4? ? 2? ,

z ? ?2? ? 2? ? 2 ,
∴ BM ? (2? ? 4?, 4? ? 2? ? 4, ?2? ? 2? ? 2) ,

???? ?



??? ? EF ? (2, ?2,0)



??? ? GE ? (2,4, ?2)





???? ??? ???? ??? ? ? ? ? B M , E ? ? F B , ∴ G E M
? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B M ? E? F 0 , ?B , 0 G E M?
解得: ? ?

???? ? 15 7 2 2 6 2 11 , ? ? ? ,∴ BM ? ( , , ) ,∴ BM ? . 11 11 11 11 11 11
设 EFG 的 方 程 为 :

另 法 : ∵ B(0, 4, 0) , E (2, 4,0) , F (4, 2,0) , G(0,0, 2)

Ax ? By ? Cz ? D ? 0

?2 A ? 4 B ? D ? 0 D D ? 则 ?4 A ? 2 B ? D ? 0 ? A ? B ? ? , C ? ? ,取 D=-6,则 A=B=1,C=3 6 2 ?2C ? D ? 0 ?
所以 EFG 的方程为: x ? y ? 3z ? 6 ? 0 , 所以点 B(0, 4, 0) 到平面 EFG 的距离为: d ?

| Ax0 ? By0 ? Cz0 ? D | A ? B ?C
2 2 2

?

2 2 11 . ? 11 11

异面直线距离
求异面直线的距离是立体几何的一个难点,主要原因是公垂线段较难找,那么如何求异 面直线的距离呢?为帮助同学们克服这一难点,本文介绍两种求异面直线距离的常用方法, 望能达到拓宽思路、扩大视野的目的。 一. 直接法 直接法就是根据定义,直接找出公垂线段,再求其长,这是解题时首先要考虑的方法。 例 1. 如图 1 所示, 已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1, E 在棱 D1D 上, 点 截面 EAC//D1B, 且平面 EAC 与底面 ABCD 所成的角为 45°,AB=a,求异面直线 A 1 B1 与 AC 之间的距离。

图1

解:连结 DB,设 DB 交 AC 于点 O 由题设知 ABCD ? A 1 B1C1 D1 是正四棱柱 则 A 1A?底面ABCD,即A 1A?AC,而A 1A?A 1 B1 所以 A 1A 是异面直线 A 1 B1 与 AC 的公垂线段 由题意分析知 ∠DOE为平面EAC与底面ABCD 所成的角 则∠DOE=45° 又∵截面 EAC//D1B,且平面 D1BD 与平面 EAC 的交线为 EO ∴D1B//EO,∠DBD1=∠DOE=45° ∴D1D=DB= 2a ∵AA1=D1D ∴异面直线 A1B1 与 AC 之间的距离为 2a

二. 间接法 间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时,可利用已知条件进行间接求解或证明的 方法。 (1)线面距离法 线面距离法就是选择异面直线中的一条,过它作另一条直线的平行平面,则此直线与平 行平面的距离即为异面直线间的距离。 例 2. 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,AD=3,AA1=4,求异面直线 AB 与 A1C 间的距离。 解:如图 2 所示,连结 A1D 由 AB//DC,得 AB//平面 A1DC 故 AB 到平面 A1DC 的距离即为 AB 与 A1C 间的距离 又平面 A1D ? 平面 A1DC 及平面 A1D ? AB 故可在平面 A1D 内过 A 作 AE ? A1D 于点 E 则 AE 为 AB 到平面 A1DC 的距离即为异面直线 AB 与 A1C 间的距离。

由 AD·AA 1 ? A 1 D·AE 可得 AE ?

12 5

图2

(2)面面距离法 面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间 的距离。 例 3. 如图 3 所示,正方体 ABCD ? A 1 B1C1 D1 的棱长为 1,求异面直线 A1D 与 AC 间的 距离。

图3 解:连结 A 1C、C1 D、AB1 、B1C,A 1 D与AC 分别在两个相互平行的平面 A 1 DC1 和

B1CA 内,则 A1D 与 AC 间的距离就是两个相互平行的平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离。
连结 BD,且交 AC 于点 O,作 OO1 ? 平面 AC 交平面 A1C1 于 O1

连结 DO1,作 OE ? DO1 于 E 可知 OE 为两平行平面 A1DC1 和 B1CA 之间的距离 在 Rt△DOO1 中, OO 1 ? 1,DO ?

2 6 ,DO 1 ? 。 2 2

∴OE ? OO1 ·

DO 3 ? DO1 3
3 3

∴异面直线 A1D 与 AC 间的距离为 四、课堂练习:

1 如图 4 所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,求异面直线 DB1 与 AC 间的距离。

图4 2.已知 Rt ?ABC ,斜边 BC //平面 ? ,

C B B1

A ? ? , AB, AC 分别与平面 ? 成 30 和 45 的角,
? ?

C1

已知 BC ? 6 ,试求 BC 到平面 ? 的距离. 3.已知棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,M、N 分别是 B1C1 和 C1D1 的中点. ⑴求证:B1D1//平面 CMN. ⑵求点 B1 到平面 CMN 的距离.

?

A

五、小结:点到面的距离的概念及求法;直线到与它平行的平面的距离的概念及求法.面面 距离的概念及求法 异面直线距离求法:一直接法、二. 间接法(1)线面距离法 (2)面面距离法

课时十:棱柱与棱锥、球
教学目标: 1. 了解多面体、凸多面体的概念 了解正多面体的概念 ,知道欧拉公式 V ? F ? E ? 2 和五种正多面体的顶点数、面数及棱数 2. 要使学生理解两点的球面距离,掌握球的表面积及球的体积公式、求球面面积、球的体
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积及两点的球面距离.

3. 球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面: ?1? 球的截面的性质;

? 2 ? 球的表面积和体积;? 3? 球面上两点间的球面距离;? 4 ? 球与其他几何体的组合体.而且
多以选择题和填空题的形式出现.第( 4 )方面有时用综合题进行考查. 教学重点: (一)1.有两个面互相平行,其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂 直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱. 2.棱柱的各侧棱相等, 各侧面都是平行四边形; 长方体的对角线的平方等于由一个顶点 出发的三条棱的平方和. 3.一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正 多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥. 4.棱锥中与底面平行的截面与底面平行,并且它们面积的比等于对应高的平方比. 在正棱锥中,侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形;斜高、高及斜高在底面上的 射影也构成直角三角形. 1. 每个面都是有相同边数的正多边形,每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体,叫做正多面体. 2. 正多面体有且只有 5 种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体. 3. 简单多面体:考虑一个多面体,例如正六面体,假定它的面是用橡胶薄膜做成的,如果 充以气体,那么它就会连续(不破裂)变形,最后可变为一个球面.如图:象这样,表面经 过连续变形可变为球面的多面体,叫做简单多面体. 说明:棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 4. 五种正多面体的顶点数、面数及棱数: 正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 顶点数 V 面数 F 棱数 E

4 8 6 20 12

4 6 8 12 20

6 12 12 30 30

5. 欧 拉 定 理 ( 欧 拉 公 式 ) 简 单 多 面 体 的 顶 点 数 V 、 面 数 F 及 棱 数 E 有 关 系 式 : :
V ? F ? E ? 2 计算棱数 E 常见方法: ?1? E ? V ? F ? 2 ; ? 2 ? E ? 各面多边形边数和
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的一半; ? 3? E ? 顶点数与共顶点棱数积的一半.

6. 球的概念: 与定点距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球 定点叫球心,定
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长叫球的半径 与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的 字母表示,例如球 O 7. 球的截面:用一平面 ? 去截一个球 O ,设 OO? 是平面 ? 的垂线段, O? 为垂足,且
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OO? ? d ,所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心,以 r ? R2 ? d 2 为半径的一个圆,
截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆,被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 8. 两点的球面距离:球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段 劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点的球面距离. l ? R? ( ? 为球心角的弧度数).

4 9. 球的表面积和体积公式: S ? 4? R2 , V ? ? R 3 . 3
(二)典例分析: 八面体的体积为 问题 1. ?1? ( 05 辽宁)棱长为 a 的正方体,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的

a2 A. 3

a2 B. 4

a2 C. 6

a2 D. 12

? 2 ? 已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等且为1 ,把它们拼起来,使一个表面重合,
所得的多面体有多少个面?

问题 2. ?1? ( 07 天津)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1, 2,3 ,则此球的表面积为

? 2 ? ( 07 全国Ⅰ文)正四棱锥 S ? ABCD 的底面边长和各侧棱长都为
同一个球面上,则该球的体积为

2 ,点 S , A, B, C , D 都在

? 3? ( 07 江西文)四面体 ABCD 的外接球球心在 CD 上,且 CD ? 2 , AB ?
在外接球面上两点 A 、 B 间的球面距离是

3,

A.

π 6

B.

π 3

C.

2π 3

D.

5π 6

? 4 ? ( 06 陕西)水平桌面 ? 上放有 4 个半径均为 2R 的球,且相邻的球都相切(球心的连线
构成正方形).在这 4 个球的上面放 1 个半径为 R 的小球,它和下面 4 个球恰好都相切,则小 球的球心到水平桌面 ? 的距离是 问题 3. ( 07 四川)设球 O 的半径是 1 , A 、 B 、C 是球面上三点,已知 A

? ? , 且二面角 B ? OA ? C 的大小为 , 则从 A 2 3 点沿球面经 B 、 C 两点再回到 A 点的最短距离是
到 B 、C 两点的球面距离都是

A.

7? 6

B.

5? 4

C.

4? 3

D.

3? 2

问题 4.三棱锥 A ? BCD 的两条棱 AB ? CD ? 6 ,其余各棱长均为 5 ,求三棱锥的内切球 半径和外接球半径.

问题 5.已知球的半径为 R ,在球内作一个内接圆柱,这个圆柱底面半径与高为何值时,它 的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?

(四)走向高考: 1. ( 07 陕西)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1 的球面上,其中底面的三个顶点在该 球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是

A. 3 3
4

B. 3
3

C.

3 4

D. 3
12

2.( 07 辽宁)若一个底面边长为
则此球的体积为

3 ,棱长为 6 的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上, 2

3. ( 07 全国Ⅱ)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为 2 cm 的球面上。如果正四棱柱的
底面边长为 1cm ,那么该棱柱的表面积为

2 cm2

4. ( 08 湖南)长方体 ABCD-A1B1C1D1 的 8 个顶点在同一球面上,且 AB=2,AD= 3 ,AA1=1,则
顶点 A、B 间的球面距离是( A.2 2? B. 2? ) C.

2? 2

D.

2? 4
3 , 3

5. ( 08 四川)已知正四棱柱的对角线的长为 6 ,且对角线与底面所成角的余弦值为
则该正四棱柱的体积等于

6. ( 08 海南)一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在

同一个球面上,且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8


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