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【金版学案】2015-2016高中数学 2.2.3平面与平面平行的性质课件 新人教A版必修2_图文

2.2.3

平面与平面平行的性质

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理解并掌握两平面平行的性质定理,能够应用性质 定理解决问题.

典 例 精 析

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题型一 面面平行性质的应用

例 1 如图,已知平面 α∥β,直线 AB 分别交 α,β于点 A, B,直线 CD 分别交 α,β于点 C,D,M,N 分别在线段 AB,CD AM CN 上,且 = .求证:MN∥平面 β. MB ND
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分析:本题应分两种情况分别研究,当 AB,CD 共面时,易得 MN∥BD,可推出 MN∥平面 β.当 AB,CD 异面时,可通过作辅助 平面,由面面平行推出线线平行. 证明:(1)当 AB,CD 共面时,平面 ABDC∩平面 α=AC,平面 ABDC∩平面 β=BD. 又 α∥β,∴AC∥BD. 在平面 ABDC 内,∵ ∴AC∥MN∥BD. ∵BD?β,MN?β,∴MN∥平面 β; AM CN = , MB ND
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(2)当 AB,CD 异面时,如图,过点 A 作 AD′∥CD 交平面 β 于 AE AM 点 D′,在平面 ABD′内作 ME∥BD′交 AD′于点 E,则 = . ED′ MB AM CN AE CN 又 = ,∴ = , MB ND ED′ ND 连接 EN,设 AD′,CD 确定的平面为 γ, 则 γ∩α=AC,γ∩β=DD′. 又 α∥β,∴AC∥DD′, ∴AC∥EN∥D′D, ∵ME∥BD′,BD′?β,ME?β, ∴ME∥平面 β,同理 EN∥平面β, ∴平面 MEN∥平面 β,又∵MN?平面 MEN, ∴MN∥平面 β. 点评:本例通过过点 A 作 AD′∥CD,实现化异为共,借助 AD′ 实现 AB 与 CD 的联系.
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1.如右图所示,在底面是菱形的四棱锥PABCD 中,点E在PD上,且PE∶ED= 2∶1.在棱PC上是 否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结 论.

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解析:当F是棱PC的中点时,BF∥平面AEC.证明如下. 如右图所示,取PE的中点M,连接FM,则FM∥CE. ① 由EM=PE=ED,知E是MD的中点, 连接BM,BD,设BD∩AC=O,则O为BD的中点.
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所以BM∥OE.②
由①②知,平面BFM∥平面AEC.

所以BF∥平面AEC.

题型二 线面平行、面面平行的综合 应用 例2 如图,有一△ABC,AB=24 cm,BC=32 cm, AC=40 cm,它所在的平面α与墙面γ平行.在α,γ之 间有一个与它们平行的平面β上有一个小孔P,α,β相 距40 cm,β,γ之间相距60 cm,经小孔P,△ABC在墙 面上成像为△A′B′C′,求像的面积.

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解析:因为 AA′∩BB′=P, 所以 AA′与 BB′确定一个平面 M. 因为 α∥γ,α∩M=AB,γ∩M= A′B′, 所以 AB∥A′B′. 同理可证 BC∥B′C′,AC∥A′C′. 所以△PAC∽△PA′C′,△PBC∽△PB′C′, △PAB∽△PA′B′. 所以 PA AC PC = = , PA′ A′ C′ PC′
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PC PB BC PB AB PA = = , = = , PC′ PB′ B′ C′ PB′ A′ B′ PA′ 40 2 且均等于 α,β,γ三个平面的距离比 = . 60 3

S△ A′B′ C′ 9 所以△ABC∽△A′B′C 且 = . S△ ABC 4 因为 AB2+BC2=AC2, 1 所以 S△ABC= AB· BC=384 (cm2). 2 9 所以 S△A′B′ C′= ×384=864 (cm2). 4 即像的面积为 864 cm2.
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点评:面面平行可得线面平行或线线平行,这样就把空 间问题转化成了平面问题,此时应熟练掌握平面几何的 有关知识,从而使问题得到解决.
在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平 行关系的转化过程: 栏
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?跟踪训练 2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点N在BD上,点M在 B1C上,并且MN∥平面AA1B1B,求证:CM=DN. 证明:作ME∥CB交BB1于点E,作NF∥DA交AB于点F. ∵BC∥AD,

∴ME∥NF,
∴M,E,F,N四点共面. ∵MN∥平面AA1B1B,

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∴MN∥EF. ∴四边形 MEFN 为平行四边形. ∴ME=NF. B1M ME BN NF ∵ = , = ,BC=AD, B1C BC BD AD B1M BN ∴ = . B1C BD 又 B1C=BD, ∴B1M=BN.从而 CM=DN.
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例3 如右图所示,棱锥A-BCD被一平面所 截,截面为平行四边形EFGH.

求证:CD∥平面EFGH.
证明:∵四边形 EFGH 为平行四边形, ∴EF∥GH. 又 GH?平面 BCD,∴EF∥面 BCD. 而面 ACD∩面 BCD=CD,EF?平面 ACD. ∴EF∥CD,而 EF?平面 EFGH, CD?平面 EFGH. ∴CD∥平面 EFGH.
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3.如图,异面直线AB,CD被三个平行平面α,β,γ所截, A,D∈α,B,C∈γ,AC,AB,DB,DC分别交β于点E, F,G,H.
(1)判定四边形EFGH的形状,并说明理由. (2)如果AD=6,BC=8,E是线段AC的中点,当四边形 EFGH的面积等于6时,试求异面直线AD与BC所成的角 的大小.
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解析:(1)四边形 EFGH 是平行四边形. ∵β∥γ,平面 ABC∩平面 β=EF, 平面 ABC∩平面 γ=BC, ∴EF∥BC,同理可证 HG∥BC, ∴EF∥HG. 同理 EH∥FG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形. (2)∵E 是线段 AC 的中点, ∴EF 是△ABC 的中位线. 1 1 ∴EF= BC= ×8=4,且 EF∥BC. 2 2 1 1 同理 EH= AD= ×6=3,且 EH∥AD. 2 2
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∴直线 EF,EH 所成的角为异面直线 BC,AD 所成的角. 1 1 ∵S△EFH= S?EFGH= ·EF·EH·sin∠FEH=6sin∠FEH=3 3, 2 2 3 ∴sin∠FEH= . 2 又 0°<∠FEH≤90°, ∴∠FEH=60°. 即异面直线 BC 与 AD 所成的角为 60°.

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