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高中新课标数学必修④模块 基础题型归类

高中新课标数学必修④模块 基础题型归类
1、运用诱导公式化简与求值: 、运用诱导公式化简与求值: 要求:掌握 2kπ + α , π + α , α , π α , 要求 例 1. (1)求值: cos 600o ;

π
2

α ,

π
2

+ α 等诱导公式. 记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.

(2)化简: cos2(

π
4

-α)+cos2(

π
4

+α)

1 3π <α<2π, 则 sin(2π-α)等于 练 1 (1)若 cos(π+α)= , 2 2 . (2)若 f (cos x) = cos3 x ,那么 f (sin 30°) 的值为
(3)sin(

.

17 π)的值为 . 6 运用同角关系化简与求值: 2、运用同角关系化简与求值: sin α ) ,并能灵活运用. 方法:平方法、切弦互化. cos α 1 (2)已知 sinx+cosx= , 且 0<x<π, 求 tanx 的值. 5

要求:掌握同角二式( sin 2 α + cos 2 α = 1 , tan α = 要求 例 2 (1)化简

sin x 1 + sin x ; tan x tan x sin x cos x

1 π π 练 2 (1)已知 sinαcosα= ,且 <α< ,则 cosα-sinα的值为 8 4 2 1 + 2sin α cos α ; (ii)sin2α-3sinαcosα+4cos2α. (2)已知 tanα=3, 计算: (i) 2 2 sin α cos α

.

3、运用和差角、倍角公式化简与求值: 运用和差角、倍角公式化简与求值: 要求:掌握和差角公式、倍角公式,能够顺用、逆用、活用,掌握基本方法(平方、1 的妙用、变角、 要求 切弦互化、方程思想). π 例 3 (1)已知 tan( +α)=2,求 sin2α+sin2α+cos2α的值. 4

(2)已知 0 < β <

π
4

<α <

3π π 3 3π 5 , cos( α ) = ,sin( + β ) = ,求 cos(2α + 2β ) 的值 4 4 5 4 13

练 3 (1)若 sin( (2)已知 tan(

π
2

-α)=

+ θ ) = 4, 且 π < θ < , 则 sin θ = 4 4 2 2 π 1 π (3)如果 tan(α + β ) = , tan( β ) = ,那么 tan(α + ) = . 5 4 4 4 3 (4)如果 cos 2 x = ,那么 sin4x+cos4x= . 5 3 5 (5)△ABC 中,已知 sinA= , cosB= , 则 sin(A+B)的值为 . 5 13 1 1 (6)已知α,β∈(0,π)且 tan(α β ) = , tan β = ,则 2α β 的值为 2 7 3 4 (7)已知 cos α + cos β = , sin α + sin β = ,则 cos (α -β ) 的值为 5 5 tan α 2 1 的值. (8)已知 sin(α+β)= ,sin(α-β)= ,求 tan β 3 5 θ ) + tan(

π

π

3 ,则 cos2α= 5

.

π

.

. .

结合三角变换研究三角函数性质: 4、结合三角变换研究三角函数性质: 要求:熟练进行三角变换,将 a sin x + b cos x 化为一个三角函数后研究性质. 方法:降次、化一、整体. 要求 例 4 已知函数 f ( x) = 2sin 2 x + 2sin x cos x 1, x ∈ R. . (i)求 f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最小值时 x 的集合; (ii)在平面直角坐标系中画出函数 f ( x) 在一个周期内的图象; (iii)说明 f ( x) 的图象如何由 y = sin x 变换得到; (iv)求 f ( x) 的单调区间、对称轴方程.

. 练 4 (1)若函数 y=2sinx+ a cosx+4 的最小值为 1,则 a= 2 1 tan 2 x x x (2)函数 的最小正周期为 ;函数 y = sin + sin(60o ) 的最大值是 . 2 1 + tan 2 x 2 2 5 (3)已知函数 f ( x) = 5sin x cos x 5 3 cos 2 x + 3 ( x ∈ R) . 求 f ( x) 的最小正周期、单调区间、图象 2 的对称轴,对称中心.

5、运用单位圆及三角函数线: 运用单位圆及三角函数线: 要求:掌握三角函数线,利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法:数形结合. 要求 ,则 sin θ 、 cos θ 、 tan θ 的大小顺序为 4 2 (2)函数 f ( x) = log 1 (sin x cos x) 的定义域为 . 例 5 (1)已知
2

π

<θ <

π

.

1 练 5 (1)若 cos α > , 则角α的取值集合为____________. 2 (2)在区间(0,2 π )内,使 sinx<cosx 成立的 x 的取值范围 . 弧度制与扇形弧长、面积公式: 6、弧度制与扇形弧长、面积公式: 要求:掌握扇形的弧长与面积计算公式,掌握弧度制. 方法:方程思想. 要求
. 例 6 某扇形的面积为 1 cm ,它的周长为 4 cm ,那么该扇形圆心角的弧度数为 , 其中在-2π~2π间的角有 终边在直线 y = 3x 上的所有角的集合为 练 6 (1) (2)若α为第三象限角,那么-α,
2

.

α
2

、2α为第几象限的角?

三角函数的定义、定义域与值域: 7、三角函数的定义、定义域与值域: 要求:掌握三角函数定义(单位圆、终边上点) ,能求定义域与值域. 方法:定义法、数形结合、整体. 要求 4 . 例 7 (1)角α的终边过点 P(-8m,-6cos60°)且 cosα=- ,则 m 的值是 5

(2)当 x ∈ [

π π

, ] 时,函数 f ( x) = sin x + 3 cos x 的值域为 2 2

.

) + 1 的定义域为____________. 3 (2)函数 y = 4 2 sin x cos x + cos 2 x 的值域为 . 1 π π (3 ) 把函数 y=sin(2x+ )的图像上各点的横坐标变为原来的 , 再把所得图像向右平移 , 得到 . 3 3 8 三角函数的图象与性质: 8、 三角函数的图象与性质: 要求:掌握五点法作图、给图求式,由图象研究性质. 方法:五点法、待定系数法、数形结合、整体. 要求
例 8 (1)已知函数 f ( x) = tan(2 x +

练 7 (1)函数 f ( x) = tan(2 x

π

π
6

) + 2 .求 f ( x) 的最小正周期、定义域、单调区间.

(2)已知函数 y = 3sin(2 x +

) . (i)求此函数的周期,用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区 4 间上的简图. (ii)求此函数的最小值及取最小值时相应的 x 值的集合

π

函数 y = A sin(ω x + ) ( A > 0, ω > 0, < π ) 最高点 D 的坐标是 (2, 2) , 练 8 (1) 由最高点运动到相邻的最低点时,函数图象与 x 轴的交点坐标是(4,0),则函数 的表达式是 . (2)如图,它表示电流 I = A sin(ωt + ) ( A > 0, ω > 0) 在一个周期内的图象. 则 其解析式为 . (3)函数 y = log 1 sin(2 x +
2

. ) 的单调减区间为 4 (4)函数 y = 2 cos x, x ∈ [0, 2π ] 的图象和直线 y=2 所围成的封闭图形的面积为

π

.

(5)画出函数 y = 3sin(2 x +

π
3

) ,x∈R 的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.

向量基本运算(加减法、数乘、数量积、坐标运算) 9、向量基本运算(加减法、数乘、数量积、坐标运算) : 要求:掌握向量加减法几何意义,能熟练进行向量运算,运用向量的运算研究向量平行与垂直. 要求 r r r r r r r u r r r r u r 例 9 (1)已知 | a |= 4, | b |= 3, a, b 的夹角为 120°,且 c = a + 2b ,d = 2a + kb ,当 c ⊥ d 时,k=

.

r r r r r r r r r r (2)若 a =(1,2) b =( 3 ,2) k 为何值时:(i)k a + b 与 a -3 b 垂直; 2)k a + b 与 a -3 b 平行? , , (

r r r r 练 9 (1)若 | a b |= 41 20 3 , | a |= 4, | b |= 5 ,则 a与b 的数量积为 . r r (2)向量 a = ( x,1) 与 b = (4, x) 共线且方向相同,则 x = . (3)已知 A(3,y) ,B( 5 ,2) ,C(6, 9 )三点共线,则 y=_________. r r r r r (4)已知 a =(-3,4),若 | b | =1, b ⊥ a ,则 b = . 10、向量的模与夹角: 10、向量的模与夹角: 要求:能运用向量运算研究向量的模与夹角问题. 要求 r r r r r r r r r r ( 例 10 (1)已知| a |=4,| b |=3, 2 a -3 b )(2 a + b )=61,求:(i) a 与 b 的夹角θ; (ii) | a + 2b | .

(2)已知 ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2) ,B(2,3) ,C(-2,5) ,求 cos A .

r r r r r r r r r 练 10 (1)非零向量 a 和 b 满足: | a |=| b |=| a b | ,则 a 与 a + b 的夹角等于 r r r r r 1 r (2)已知| a |=10,| b |=12,且(3 a )( b )=-36,则 a 与 b 的夹角是 5 r r r r r r π (3)如果 | a | =1, | b | =2, a 与 b 的夹角为 ,则 |a b | 等于 . 4

.
.

11、向量与三角函数的交汇考查: 11、向量与三角函数的交汇考查: 要求:掌握向量与三角函数的交汇. 向量坐标运算是交汇点. 要求 r r r 2 2 , , ). (i)若 a 为单位向量,求 x 的值; 例 11 (1)设 a =(sinx-1,cosx-1) b =( 2 2 r r (ii)设 f(x)= a b ,则函数 y=f(x)的图象是由 y=sinx 的图象如何平移得到?(变式 变式:研究性质) 变式

r r 3 3 x x π (2)已知 a = (cos x,sin x), b = (cos , sin ) ,且 x ∈ [0, ] . 2 2 2 2 2 r r r r r r r r (i)求 a b 及 a + b ; (ii)求函数 f ( x) = a b a + b sin x 的最小值.

r r r uu 2 5 r . 练 11 已知向量 a = (cos α ,sin α ), b = (cos β ,sin β ),| a b | = 5
(i)求 cos(α β ) 的值; (ii)若 0 < α <

π

2

,

π

2

< β < 0, 且 sin β =

5 , 求 sin α 的值. 13

12、 12、向量与三角的应用模型 要求:掌握向量在物理、几何中的应用. 掌握三角模型在实践中的运用. 要求 uuu r uuuv r v 例 12 (1)已知平行四边形 ABCD , AB = a , AD = b . r r r r uuu v uuuv (i)若向量 a 与 b 的夹角为 60°, | a |= 2 , | b |= 1 ,求 | BD | , | AC | 的长. r r r r (ii)如果 | a + b |=| a b | ,求证四边形 ABCD 为矩形.

(2)某港口水深 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)函数,记为 y= f (t ) ,下面是某日水深数据: 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 0 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 y(米) 经过长期观察,y= f (t ) 的曲线可以近似看成 y=Asin ω t+b 的图象. (i)根据以上数据求出 y= f (t ) 的近似表达式; (ii)船底离海底 5 米或者 5 米以上是安全的,某船的吃水深度为 6.5 米(船底离水面距离) ,如果此船 在凌晨 4 点进港,希望在同一天安全出港,那么此船最多在港口停留多少时间?(忽略进出时间).

一艘船从 A 点出发以 2 3 km / h 的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时河水的流速为 2km / h , 练 12(1) 求船实际航行速度的大小为 ,其方向与水流方向的夹角为 . (2)已知 ABCD的三个顶点 A, B , C 的坐标分别为 ( 2,1) 、 (1,3) 、 (3, 4) , 则顶点 D 的坐标为 . (3)如图,表示电流强度 I 与时间 t 的关系式 I = A sin(ωt + ) ( A > 0, ω > 0), 在 一 个 周 期 内 的 图 象 . 根 据 图 象 得 到 I = A sin(ωt + ) 的 一 个 解 析 式 是 .

(4)已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,经过长期的观察, 该函数的图象可以近似地看成 y = A sin(ωt + ) + b . 下表是测得的某日各时的浪高数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 t(时) 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 y(米) 1.5 依规定,当浪高不低于 1 米时浴场才开放,试安排白天内开放浴场的具体时间段.

高中新课标数学必修③模块 基础题型归类
1、算法框图与语句: 、算法框图与语句: 要求:理解算法基本思想,掌握算法三种逻辑结构与 要求 五种基本语句(输入、输出、赋值、条件、循环). 例 1. (1)若输入 8 时,则右边程序执行后输出的结 果是 . (2)右图给出一个算法的程序框图,该程序框图的功 . 能是 (3)对任意正整数 n ,设计一个求S= 1 1 1 1 + + + L + 的程序框图,并编写出程序. 2 3 n INPUT t IF t<= 4 THEN c=0.2 ELES c=0.2+0.1(t-3) END IF PRINT c END

练 1 (1)右边程序为一个求 20 个数的平均数的 程序,在横线上应填充的语句为 . (2)右图输出的是的结果是 . (3)编写程序,计算 12+22+32+……+1002

S=0 i=1 DO INPUT x S=S+x i=i+1 LOOP UNTIL _____ a=S/20 PRINT a END

2、经典算法案例: 、经典算法案例: 要求:掌握进位制转化、辗转相除法与更相减损术求最大公约数、秦九韶算法. 要求 ,再化为八进制数为 例 2. (1)将二进制数 10101(2)化为十进制数为

.

(2)用辗转相除法求 80 和 36 的最大公约数,并用更相减损术检验所得结果.

(3)已知一个 4 次多项式 g ( x) = 6 x 4 3 x 3 + 5 x + 4 , 试用秦九韶算法求这个多项式在 x=2 的值.

练 2 (1)下列各数中最小的数是( (2)1001101(2)=
(10)

).

A. 85(9)
(5)

B. 210(6)

C. 1000(4)

D. 111111(2)

,318(10)=

3、抽样方法与频率分布: 、抽样方法与频率分布: 要求:掌握简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 能运用频率分布直方图. 要求 例 3. (1)某校 1000 名学生中,O 型血有 400 人,A 型血有 250 人,B 型血有 250 人,AB 型血有 100 人,为了研究血型与血弱的关系,要从中抽取一个容量为 40 的样本,按照分层抽样的方法抽取样本, 则 O 型血,A 型血,B 型血,AB 型血的人要分别抽取人数为 . (2) 200 辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图 所示,则时速在 [50,60 ) 的汽车大约有____________辆
频率/

0.04 0.03

练 3 (1)某单位有技工 18 人、技术员 12 人、工程师 6 人,需 0.02 要从这些人中抽取一个容量为 n 的样本;如果采用系统抽样和 分层抽样方法抽取,都不用剔除个体;如果容量增加一个,则 0.01 在采用系统抽样时,需要在总体中剔除 1 个个体,则样本容量 n . 为 40 50 60 70 80 (2)某公司生产三种型号的轿车, 产量分别为 1200 辆,6000 辆 和 2000 辆, 为检验该公司的产品质量, 现用分层抽样的方法抽取 46 辆进行检验, 这三种型号的轿车依 次应抽取 辆. 4、样本数字特征: 、样本数字特征: 要求:掌握样本中心位置特征数(平均数、中位数、众数)与离散程度特征数(标准差、方差)的计算. 要求 例 4. 给出下列四种说法: ① 3,3,4,4,5,5,5 的众数是 5; ② 3,3,4,4,5,5,5 的中位数是 4.5; ③ 频率分布直方图中每一个小长方形的面积等于该组的频率; ④ 频率分布表中各小组的频数之和等于 1 . 其中说法正确的序号依次是 练 4 甲乙两种棉花苗中各抽 10 株, 测得它们的株高分别如下(单位:cm) 甲: 25,41,40,37,22,14,19,39,21,42 乙: 27,16,44,27,44,16,40,40,16,40 (1)估计两种棉花苗总体的长势:哪种长的高一些? (2)哪种棉花的苗长得整齐一些?

5、概率基本性质: 、概率基本性质: 要求:掌握概率基本性质 0 ≤ P ( A) ≤ 1 等,能运用互斥事件的概率加法公式 P ( A U B ) = P( A) + P ( B ) ,对 要求 立事件的概率减法公式 P ( A) = 1 P ( A) . ,事件 B 为“恰有一次正面向上” ,事件 C 为 例 5. 一枚五分硬币连掷三次,事件 A 为“三次反面向上” “ 至 少 二 次 正 面 向 上 ” . 写 出 一 个 事 件 A 、 B 、 C 的 概 率 P ( A), P( B ), P (C ) 之 间 的 正 确 关 系 式 是 . 乙两人下棋, 甲获胜的概率为 30%, 甲不输的概率为 80%, 则甲、 乙下成和棋的概率为 练 5 甲、 乙获胜的概率为 . ;

6、古典概型与几何概型 、 要求:掌握两种概率模型的特征,能运用概率模型解决实际问题. 要求 例 6. (1)玻璃球盒中装有各色球 12 只,其中 5 红、4 黑、2 白、1 绿. (i)从中取 1 个球, 求取得红 或白的概率. (ii)若从中取 2 个球,求至少一个红球的概率.

(2)甲乙两人相约某天在某地点见面,甲计划在上午 8:30 至 9:30 之间到达,乙计划在上午 9:00 至 10:00 之间到达. (i)求甲比乙提前到达的概率; (ii)如果其中一人先到达后最多等候另一人 15 分钟,然后离去. 求两人能够会面的概率.

. 练 6 (1)某人一次掷出两枚骰子,点数和为 5 的概率是 (2)将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 64 个同样大小的正方体,从这些小正方体中任取一个, 其中恰有两面涂色的概率是 . (3)从一副扑克牌(没有大小王)的 52 张牌中任取 2 张,求: (i)2 张是不同花色牌的概率; (iii)至少有一张是红心的概率.

(4)在 10 件产品中,有 8 件是合格的,2 件是次品,从中任意抽 2 件进行检验,计算: (i)两件都是 次品的概率; (ii)2 件中恰好有一件是合格品的概率; (iii)至多有一件是合格品的概率

(5)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标 (m, n) ,则点 P 在圆 x 2 + y 2 = 25 外的 概率是 . (6)两人相约 7 点到 8 点在某地会面,先到者等候另一人 20 分钟,过时离去.求两人会面的概率.


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