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非线性电路中的混沌现象_电子版实验报告_图文

基础物理研究性报告

关于混沌现象的进一步研究 关于混沌现象的进一步研究

学号:39133101 姓名:高含 日期:2011 年 5 月 16 日

摘要: 摘要:论文从基础物理实验《非线性电路中的混沌现象》出发,进一步研
究了复杂非线性系统中的混沌现象。从理论上阐述了混沌现象的概念以及 研究方法,并从原始数据上给予演示来验证混沌现象。

一:关于混沌现象的阐释 关于混沌现象的阐释
混沌现象是一种非常普遍的非线性现象。目前人们公认的基本特征是: 1. 宏观上的无序无律。混沌该运动的规律在宏观上观察是一种混乱、貌 似随机且对初始条件十分敏感的蝴蝶效应。 2. 局部不确定性。对具有内在随机性的混沌系统而言,从两个非常接近 的初值出发的两个轨线在经过长时间演化之后,可能变得相距“足够” 远,表现出对初值的极端敏感 3. 非规则的有序:混沌不是纯粹的无序,而是不具备周期性和其他明显 对称特征的有序态。 二.混沌研究方法 在混沌研究方法中,主要从离散、连续、统计三个角度讨论奇异吸引子 以及混沌。这里介绍两种方法。 1. 离散方法:一维映射法。是目前研究得最深入、最全面的方法。 在一维映射法中,认为 f(X)为含λ的一个动力系统。F 为非线性函数。 F’(X)<1 为稳定,>1 为不稳定。在等于 1 时λ值可出现分叉,变为奇异 吸引子并引发阵发混沌现象。 2. 统计方法:麦尼科夫法。这种方法给出了连续函数轨道经扰动后的稳 定流与不稳定流的关系。 三.KAM 定理 当系统由连续可积情况受到不可积的微小扰动变为近乎可积时,连续光 滑的同心圆将变形。KAM 定理指出,由于面积的保守性,同心圆出现双 曲点的个数将与椭圆点相同。 下图是有三个双曲点和三个椭圆点的示意图。 于是在每个双曲点附近形成混沌河。这种混沌河网络有无穷多个,外层有 混沌海,有些混沌河与海相连接。如单峰、双峰奇异吸引子就是小的混沌 河。但此时全局仍有界,如我们在试验中看到的奇异子是不规则椭圆或双 曲状。当系统自由度为 3,如实验中的示波器平面,就不再有“被包住”
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的概念,所有的混沌区都形成网络(即混沌河) ,初始点落入某个区域时, 在短时间内它似乎仍做规则运动,但实际上将来在某种意义上将沿这个网 络进行漂移,这种漂移速度可能极慢,但最终将导致定性的变化。如变成 无界、失稳,或明显的无规则。这种极慢的漂移称为“阿诺德扩散” 。即若 我们在实验的时候不关掉示波器,那么我们最初观察到的吸引子将沿着某 个方向缓慢漂移,形成阿诺德扩散现象。

四.实验现象应用
1.计算电感 L . 本实验采用相位测量。根据 RLC 谐振规律,当输入激励的频率

f =

1 2π LC

时,RLC 串联电路将达到谐振,L 和 C 的电压反相,在示

波器上显示的是一条过二四象限的 45 度斜线。 测量得:f=32.8kHz;实验仪器标示:C=1.095nF 由此可得:

L=

1 1 = = 21.50mH 2 2 4π f C 4 × 3.14 × 1.095 × 10 ?9 × (32.8 × 10 3 ) 2
2

估算不确定度: 估计 u(C)=0.005nF,u(f)=0.1kHz 则:

u ( L) u 2 ( f ) u 2 (C ) = 4 + = 7.6 × 10 ?3 2 2 L f C


u ( L) = 0.16mH

最终结果: L + u ( L ) = ( 21.5 ± 0.2) mH

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2.用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理: .用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理: (1)原始数据:

R 71200 21000 12150 8430 6390 5100 4215 3564 3070 2680 2369 2115 2103.1 2096.8 2090.2 2083.4 2076.3 2068.9 2061.2 2053.3

V -12 -11.8 -11.6 -11.4 -11.2 -11 -10.8 -10.6 -10.4 -10.2 -10 -9.8 -9.6 -9.4 -9.2 -9 -8.8 -8.6 -8.4 -8.2

R
2044.9 2036.2 2027.2 2017.8 2007.9 1997.5 1986.7 1975.3 1963.4 1950.9 1937.6 1923.7 1909 1893.4 1876.9 1859.5 1840.9 1821.2 1800.1 1777.6

V
-8 -7.8 -7.6 -7.4 -7.2 -7 -6.8 -6.6 -6.4 -6.2 -6 -5.8 -5.6 -5.4 -5.2 -5 -4.8 -4.6 -4.4 -4.2

R
1753.4 1727.5 1699.6 1669.4 1636.7 1601.2 1562.4 1519.7 1472.3 1420 1360.9 1295.1 1281.8 1276.7 1270.1 1261.1 1247.8 1226 1148.9 1075

V
-4 -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

(2)数据处理:

UR 根据 I R = 可以得出流过电阻箱的 R
电流,由回路 KCL 方程和 KVL 方程可知:

R1

R

I R1 = ? I R U R1 = U R
由此可得对应的 I R1 值。 V

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对非线性负阻 R1,将实验测得的每个(I,U)实验点均标注在坐标平 面上,可得:

I-V图(实验值)
0.005 0.0045

I

0.004

0.0035

0.003

0.0025

0.002

0.0015

0.001

0.0005

V
-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2

0 0

图中可以发现, (0.0046336,-9.8)和(0.0013899,-1.8)两个实验点 是折线的拐点。故我们在

? 12 ≤ U ≤ 9.8V 、 ? 9.8 < U ≤ ?1.8V 、

? 1.8 < U ≤ 0V 这三个区间分别使用线性回归的方法来求相应的 I-U 曲
线。 使用 Excel 的 Linest 函数可以求出这三段的线性回归方程:

? 0.002032U - 0.024530932 ? I = ?- 0.00041U + 0.000651953 ? - 0.00079U ?

- 12 ≤ U ≤ ?9.78 - 9.78 ≤ U ≤ -1.72 - 1.72 ≤ U ≤ 0

经计算可得,三段线性回归的相关系数均非常接近 1(r=0.99997) ,证 明在区间内 I-V 线性符合得较好。 应用相关作图软件可以得出非线性负阻在 U<0 区间的 I-U 曲线。
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I-V图(线性回归)

I
5.00E-03

4.50E-03

4.00E-03

3.50E-03

3.00E-03

2.50E-03

2.00E-03

1.50E-03

1.00E-03

5.00E-04

U

0.00E+00 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0

将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在 U>0 区间的 I-U 曲线:

I-V图(线性回归)
5.00E-03

I/A
4.00E-03

3.00E-03

2.00E-03

1.00E-03

-15.00

-12.50

-10.00

-7.50

-5.00

0.00E+00 -2.50 0.00 -1.00E-03

U
2.50 5.00 7.50 10.00 12.50 15.00

-2.00E-03

-3.00E-03

-4.00E-03

-5.00E-03

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3.观察混沌现象: .观察混沌现象: (1)一倍周期:

一倍周期 (2)两倍周期:

Vc1-t

两倍周期 (3)四倍周期:

Vc1-t

四倍周期 (4)单吸引子:

Vc1-t

单吸引子

阵发混沌
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三倍周期 (5)双吸引子:

Vc1-t

双吸引子

Vc1-t

I-Uc1-Uc2 图 同时可以使用 Plot 做出 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线: 改变 G 值,使 G=0.35,数值仿真出现单吸引子: Uc1-Uc2 图 使用 matlab 的 Plot3 可以做出 I-Uc1-Uc2 的三维图: 同时可以使用 Plot 做出 I、Uc1 和 Uc2 对时间的曲线:

六、选做实验: 选做实验:
费根鲍姆常数的测量: 以 G 作为系统参数,将 RV1+RV2 由一个较大值逐渐减小,记录出现倍 周期分岔时的参数值 Gn,得到倍周期分岔之间相继参量间隔之比:

δ = lim

Gn ? Gn ?1 n →∞ G n +1 ? Gn
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测量时 n 越大 δ 值越趋近于费根鲍姆常数。 在本实验中由于条件限制, 费根鲍姆常数的近似值可取:

δ≈

( R1 ? R2 ) R3 ( R2 ? R3 ) R1

实验测得:R1=8700 ? ;R2=11060 ? ;R3=11829 ? 。代入上述公式, 可得:

δ ≈ 4.1728
七、实验后思考题: 实验后思考题:
1. 什么叫相图?为什么要用相图来研究混沌现象?本实验中的相图是怎么 获得的? 答:将电路方程 x=V1(t)和 y=V2(t)消去时间变量 t 而得到的空间曲线, 在非线性理论中这种曲线称为相图。 在非线性理论中,我们会看到使用运动状态之间的关系,更有利于揭 示事物的本质,它突出了电路系统运动的全局概念。 在本实验中,示波器 CH1 端接 Vc1 电压,CH2 端接 Vc2 电压,这样就 能获得 Vc1-Vc2 相图。 2.什么叫倍周期分岔,表现在相图上有什么特点? 答:系统在改变某些参数后,运动周期变为原先的两倍,即系统需要 两倍于原先的时间才能恢复原状。这在非线性理论中称为倍周期分岔。 倍周期分岔在相图上表现为原先的一个椭圆变为两个分岔的椭圆,运 动轨线从其中的一个椭圆跑到另一个椭圆,再在重叠处又跑到原来的椭圆 上。 3.什么叫混沌?表现在相图上有什么特点? 答:混沌大体包含以下一些主要内容: (1) 系统进行着貌似无归律的运动, 但决定其运动规律的基础动力 学却是决定论的; (2) 具体结果敏感地依赖初始条件,从而其长期行为具有不可测 性; (3) 这种不可预测性并非由外界噪声引起的; (4) 系统长期行为具有某些全局和普适性的特征, 这些特征与初始 条件无关。 混沌在相图上的表现为轨道在某侧绕几圈似乎是随机的,但这种随机 性和真正随机系统中不可预测的无规律又不相同。因为相点貌似无规律 地游荡,不会重复已走过的路,但并不是以连续概率分布在相平面上随
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机行走,类似“线圈”的轨道本身是有界的,显然其中有某些规律。 4. 什么叫吸引子?什么是非奇异吸引子?什么是奇异吸引子?表现在相图 上有什么特点? 答:在系统条件一定下,无论个它什么样的初始条件,最终都将落入 到各自的终态集上,这些终态集被称为“吸引子” 。 周期解的吸引子称为非奇异吸引子,非周期解的吸引子称为奇异吸引 子。 5.什么是费根鲍姆常数?在本实验中如何测量它的近似值? 答:对于某一系统,改变参量 r,当 r=r1 时可以看到系统由稳定的周 期一变为周期二,继续改变 r,当当 r=r2 时周期二失稳,同时出现周期四, 如此继续下去。定义:

δ = lim

rn ? rn ?1 n →∞ r n +1 ? rn

测量时 n 越大 δ 值越趋近于费根鲍姆常数。 在本实验中由于条件限制, 费根鲍姆常数的近似值可取:

常数 δ 被命名为费根鲍姆常数。

δ≈

( R1 ? R2 ) R3 ( R2 ? R3 ) R1

6.非线性电阻 R 的伏安特性如何测量?如何对实验数据进行分段拟合? 实验中使用的是哪一段曲线? 答:测量非线性电阻 R 时,把电感从电路中取出,这样可以把有源非 线性负阻 R 与移相器的连线隔开。将电阻箱 R0 和有源非线性负阻并联, 改变电阻箱 R0 的电阻值,用数字电压表测 URO,获得有源非线性负阻在 U<0V 时的伏安特性。 分段时,先将实验点画在坐标平面上,确定拐点的位置,然后分组进 行一元线性回归拟合。 实验中使用的是 U<0V 时的伏安特性曲线,需要和原点对称,获得 U>0V 时的伏安特性曲线。

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