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§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系


§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教材分析
空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系, 直线的异面关系是本节的重点和难点. 异面直线的定义与其他概念的定义不同,它是以否定形式给出的,因此它的证明方法也就与众不同.公理 4 是空间等角定理的基础,而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础,请注意知识之间的相互关系,准 确把握两异面直线所成角的概念.

二、教学目标
1.知识与技能 (1)了解空间中两条直线的位置关系; (2)理解异面直线的概念、画法,培养学生的空间想象能力; (3)理解并掌握公理 4; (4)理解并掌握等角公理; (5)异面直线所成角的定义、范围及应用。 2.过程与方法 让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识. 3.情感、态度与价值 让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣.

三、重点难点
两直线异面的判定方法,以及两异面直线所成角的求法.

四、课时安排
1 课时

五、教学设计
(一)导入新课 思路 1.(情境导入) 在浩瀚的夜空,两颗流星飞逝而过(假设它们的轨迹为直线) ,请同学们讨论这两直线的位置关系. 学生:有可能平行,有可能相交,还有一种位置关系不平行也不相交,就像教室内的日光灯管所在的直线 与黑板的左右两侧所在的直线一样. 教师:回答得很好,像这样的两直线的位置关系还可以举出很多,又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公 路所在的直线,它们既不相交,也不平行,即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置 关系. 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与线段 C′C 所在直线 的位置关系如何?

图1 (二)推进新课、新知探究、提出问题 ①什么叫做异面直线? ②总结空间中直线与直线的位置关系. ③两异面直线的画法. ④在同一平面内,如果两直线都与第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 .在空间这个结论成立 吗?

⑤什么是空间等角定理? ⑥什么叫做两异面直线所成的角? ⑦什么叫做两条直线互相垂直? 活动:先让学生动手做题,再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确 的学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果:①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的,以否定形式 给出的问题一般用反证法证明. ②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图 1),引导学生得出空间的两条直线的三 种位置关系:

? , 有且只有一个公共点 ; ?相交直线: 同一平面内 ?共面直线? , 没有公共点 ; ? ?平行直线: 同一平面内 ? , 没有公共点 . ?异面直线: 不同在任何一个平面内
③教师再次强调异面直线不共面的特点,作图时通常用一个或两个平面衬托,如图 2.

图2 ④组织学生思考: 长方体 ABCD—A′B′C′D′中,如图 1, BB′∥AA′,DD′∥AA′,BB′与 DD′平行吗? 通过观察得出结论:BB′与 DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理 4. 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为:a∥b,b∥c ? a∥c. 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用. 公理 4 是:判断空间两条直线平行的依据,不必证明,可直接应用. ⑤等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢?能否转化为用共面直线所成的角来表示呢? 可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图 3,异面直线 a、b,在空间中任取一点 O,过点 O 分别引 a′∥a,b′∥b,则 a′,b′所成的锐角(或直角)叫做两条异面直线所成的角.

图3 针对这个定义,我们来思考两个问题. 问题 1:这样定义两条异面直线所成的角,是否合理?对空间中的任一点 O 有无限制条件? 答: 在这个定义中, 空间中的一点是任意取的.若在空间中, 再取一点 O′ (图 4) , 过点 O′作 a″∥a, b″∥b, 根据等角定理,a″与 b″所成的锐角(或直角)和 a′与 b′所成的锐角(或直角)相等,即过空间任意一点引 两条直线分别平行于两条异面直线,它们所成的锐角(或直角)都是相等的,值是唯一的、确定的,而与 所取的点位置无关,这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意:有时,为了方便,可将点 O 取 在 a 或 b 上(如图 3).

图4 问题 2:这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾? 答:没有矛盾.当 a、b 相交时,此定义仍适用,表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛 盾,是相交直线所成角概念的推广. ⑦在定义中,两条异面直线所成角的范围是(0° ,90° ],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说 这两条异面直线互相垂直.例如,正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的,其中有的和 这条棱相交,有的和这条棱异面(图 5).

图5 (三)应用示例 思路 1 例 1 如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.

图6 求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线,所以 EH∥BD,且 EH= 同理,FG∥BD,且 FG=

1 BD . 2

1 BD . 2

所以 EH∥FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 变式训练 1.如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且 AC=BD. 求证:四边形 EFGH 是菱形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线,所以 EH∥BD,且 EH= 同理,FG∥BD,EF∥AC,且 FG=

1 BD . 2

1 1 BD ,EF= AC . 2 2

所以 EH∥FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD,所以 EF=EH. 所以四边形 EFGH 为菱形.

2.如图 6,空间四边形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点且 AC=BD,AC⊥BD. 求证:四边形 EFGH 是正方形. 证明:连接 EH,因为 EH 是△ ABD 的中位线, 所以 EH∥BD,且 EH=

1 BD . 2 1 1 BD ,EF= AC . 2 2

同理,FG∥BD,EF∥AC,且 FG=

所以 EH∥FG,且 EH=FG.所以四边形 EFGH 为平行四边形. 因为 AC=BD,所以 EF=EH. 因为 FG∥BD, EF∥AC, 所以∠FEH 为两异面直线 AC 与 BD 所成的角.又因为 AC⊥BD, 所以 EF⊥EH. 所以四边形 EFGH 为正方形. 点评:“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例 2 如图 7,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

图7 (1)哪些棱所在直线与直线 BA′是异面直线? (2)直线 BA′和 CC′的夹角是多少? (3)哪些棱所在直线与直线 AA′垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知,棱 AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与 BA′是异面直线. (2)由 BB′∥CC′可知,∠B′BA′是异面直线 BA′和 CC′的夹角,∠B′BA′=45°,所以直线 BA′和 CC′的夹 角为 45° . (3)直线 AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线 AA′垂直. 变式训练 如图 8,已知正方体 ABCD—A′B′C′D′.

图8 (1)求异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数; (2)求异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数. 解: (1)由 A′B′∥C′D′可知,∠BC′D′是异面直线 BC′与 A′B′所成的角, ∵BC′⊥C′D′,∴异面直线 BC′与 A′B′所成的角的度数为 90° . (2)连接 AD′,AC,由 AD′∥BC′可知,∠AD′C 是异面直线 CD′和 BC′所成的角, ∵△AD′C 是等边三角形. ∴∠AD′C=60°,即异面直线 CD′和 BC′所成的角的度数为 60° . 点评:“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.

思路 2 例 1 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 AA1 和棱 CC1 的中点. 求证:EB1∥DF,ED∥B1F. 活动:学生先思考或讨论,然后再回答,教师点拨、提示并及时评价学生. 证明:如图 9,设 G 是 DD1 的中点,分别连接 EG,GC1.

图9 ∵EG A1D1,B1C1 A1D1, ∴EG B1C1.四边形 EB1C1G 是平行四边形, ∴EB1 GC1. 同理可证 DF GC1,∴EB1 DF. ∴四边形 EB1FD 是平行四边形. ∴ED∥B1F. 变式训练 如图 10,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1、AB 的中点,试判断下列各对线段所在 直线的位置关系:

图 10 (1)AB 与 CC1; (2)A1B1 与 DC; (3)A1C 与 D1B; (4)DC 与 BD1; (5)D1E 与 CF. 解: (1)∵C∈平面 ABCD,AB ? 平面 ABCD,又 C ? AB,C1 ? 平面 ABCD,∴AB 与 CC1 异面. (2)∵A1B1∥AB,AB∥DC,∴A1B1∥DC. (3)∵A1D1∥B1C1,B1C1∥BC,∴A1D1∥BC,则 A1、B、C、D1 在同一平面内. ∴A1C 与 D1B 相交. (4)∵B∈平面 ABCD,DC ? 平面 ABCD,又 B ? DC,D1 ? 平面 ABCD,∴DC 与 BD1 异面. (5)如图 10,CF 与 DA 的延长线交于 G,连接 D1G, ∵AF∥DC,F 为 AB 中点,∴A 为 DG 的中点. 又 AE∥DD1, ∴GD1 过 AA1 的中点 E.∴直线 D1E 与 CF 相交. 点评:两条直线平行,在空间中不管它们的位置如何,看上去都平行(或重合).两条直线相交,总可 以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面,有时看上去像平行(如图中的 EB 与 A1C) ,有时看 上去像相交(如图中的 DC 与 D1B).所以要仔细观察,培养空间想象能力,尤其要学会两条直线异面判定 的方法.

例 2 如图 11,点 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF= 求异面直线 AD 和 BC 所成的角.

2 AD, 2

图 11 解:设 G 是 AC 中点,连接 EG、FG. 因 E、F 分别是 AB、CD 中点,故 EG∥BC 且 EG=

1 1 BC ,FG∥AD,且 FG= AD .由异面直线所成 2 2

角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为异面直线 AD、BC 所成角,即∠EGF 为所求. 由 BC=AD 知 EG=GF=

1 2 AD ,又 EF= AD,由勾股定理可得∠EGF=90° . 2 2

点评:本题的平移点是 AC 中点 G,按定义过 G 分别作出了两条异面直线的平行线,然后在△ EFG 中 求角.通常在出现线段中点时,常取另一线段中点,以构成中位线,既可用平行关系,又可用线段的倍半关 系. 变式训练 设空间四边形 ABCD,E、F、G、H 分别是 AC、BC、DB、DA 的中点,若 AB= 12 2 ,CD= 4 2 , 且 HG· HE· sin∠EHG= 12 3 ,求 AB 和 CD 所成的角. 解:如图 12,由三角形中位线的性质知,HG∥AB,HE∥CD,

图 12 ∴∠EHG 就是异面直线 AB 和 CD 所成的角. 由题意可知 EFGH 是平行四边形,HG= ∴HG· HE· sin∠EHG= 12 6 sin∠EHG. ∴ 12 6 sin∠EHG= 12 3 .

1 1 AB ? 6 2 ,HE= CD ? 2 3 , 2 2

∴sin∠EHG=

2 .故∠EHG=45° . 2

∴AB 和 CD 所成的角为 45° .

(四)知能训练 如图 13,表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原正方体中相 互异面的有对____________.

图 13 答案:三 (五)拓展提升 图 14 是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:

图 14 ①AB 与 CD 所在直线垂直;②CD 与 EF 所在直线平行;③AB 与 MN 所在直线成 60° 角;④MN 与 EF 所 在直线异面.其中正确命题的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.③④ 答案:D (六)课堂小结 本节学习了空间两直线的三种位置关系:平行、相交、异面,其中异面关系是重点和难点. 为了准确理解两异面直线所成角的概念,我们学习了公理 4 和等角定理. (七)作业 课本习题 2.1 A 组 3、4.



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